Тропическая геометрия

редактировать

Скелетонизированная версия алгебраической геометрии

Тропическая кубическая кривая

В математике, тропическая геометрия - это изучение многочленов и их геометрических свойств, когда сложение заменяется минимизацией, а умножение заменяется обычным сложением:

x ⊕ y = min {x, y}, {\ стиль отображения x \ oplus y = \ min \ {x, y \},}

x \ oplus y = \ min \ {x, y \},

x ⊗ y = x + y. {\ displaystyle x \ otimes y = x + y.}

x \ otimes y = x + y.

Так, например, классический многочлен $x 3 + 2 xy + y 4 {\ displaystyle x ^ {3} + 2xy + y ^ {4} }$ ${\ displaystyle x ^ {3} + 2xy + y ^ {4}}$ станет $min {x + x + x, 2 + x + y, y + y + y + y} {\ displaystyle \ min \ {x + x + x, \; 2 + х + у, \; у + у + у + у \}}$ ${\ displaystyle \ min \ {x + x + x, \; 2 + x + y, \; y + y + y + y \}}$ . Такие многочлены и их решения имеют важные приложения в задачах оптимизации, например, в задаче оптимизации времени отправления для сети поездов.

Тропическая геометрия - это вариант алгебраической геометрии, в которой полиномиальные графы напоминают кусочно-линейные сетки, а числа в которой принадлежат тропическому полукольцу вместо поля. Поскольку классическая и тропическая геометрия тесно связаны, результаты и методы могут быть преобразованы между ними. Алгебраические многообразия можно сопоставить с тропическими аналогами, и, поскольку этот процесс все еще сохраняет некоторую геометрическую информацию об исходном многообразии, его можно использовать, чтобы помочь доказать и обобщить классические результаты алгебраической геометрии, такие как теорема Брилла – Нётер, используя инструменты тропической геометрии.

Содержание

1 История
2 Основы алгебры
3 Тропические многочлены
4 Тропические разновидности
- 4.1 Определения
  - 4.1.1 Пересечение тропические гиперповерхности
  - 4.1.2 Начальные идеалы
  - 4.1.3 Изображение оценочной карты
  - 4.1.4 Многогранный комплекс
- 4.2 Тропические кривые
5 Приложения
6 См. также
7 Примечания
8 Ссылки
9 Дополнительная литература
10 Внешние ссылки

История

Основные идеи тропического анализа были независимо разработаны математиками, работающими в различных областях, в одних и тех же обозначениях. Ведущие идеи тропической геометрии в различных формах проявились в более ранних работах. Например, Виктор Павлович Маслов представил тропический вариант процесса интеграции. Он также заметил, что преобразование Лежандра и решения уравнения Гамильтона – Якоби являются линейными операциями в тропическом смысле. Однако только с конца 1990-х годов была предпринята попытка закрепить основные определения теории. Это было мотивировано приложениями к перечислительной алгебраической геометрии, идеями Максима Концевича и работами Григория Михалкина, в том числе.

Прилагательное тропический в названии области было придумано французскими математиками в честь венгерского родившегося бразильского ученого-информатика Имре Симон, писавший на поле. Жан-Эрик Пин приписывает чеканку монеты Доминику Перрену, тогда как сам Саймон приписывает это слово Кристиану Чоффруту.

Совершенно независимо от использования термина `` тропический 'бразильской школы по новой математике, VP Маслов в связи с ситуацией, сложившейся в СССР в 80-е годы (годы «перестройки») и открытием «железного занавеса» между коммунистическими и капиталистическими странами, неоднократно употреблял этот термин, начиная с середины 1980-е гг. В многочисленных устных выступлениях (например, на Общих собраниях АН СССР) и статьях в советской прессе он предупреждал, что открытие занавеса между двумя группами стран неизбежно приведет к ситуации, аналогичной той, которая возникла. в 17 веке, когда океан перестал быть границей между Европой и Америкой, с одной стороны, и Африкой, с другой. В то время дешевые европейские и американские товары были обменены на дорогие африканские ресурсы, и началась работорговля. Этот неравный обмен можно описать правилами новой арифметики, которую Маслов и его последователи впервые назвали «идемпотентным (тропическим) анализом» или «Мин; + алгебра ''. Термин «идемпотентный» не сохранился в литературе, тогда как термин «тропический», будучи более выразительным и приятным для слуха, стал более популярным, хотя разные школы придавали ему несколько разные значения.

Основы алгебры

Тропическая геометрия основана на тропическом полукольце. Это определяется двумя способами, в зависимости от соглашения о максимальном или минимальном значении.

Минимальное тропическое полукольцо - это полукольцо $(R ∪ {+ ∞}, ⊕, ⊗) {\ displaystyle (\ mathbb {R} \ cup \ {+ \ infty \}, \ oplus, \ otimes)}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {R} \ cup \ {+ \ infty \}, \ oplus, \ otimes)}$ , с операциями:

x ⊕ y = min {x, y}, {\ displaystyle x \ oplus y = \ min \ {x, y \},}

x \ oplus y = \ min \ {x, y \},

х ⊗ у = х + у. {\ displaystyle x \ otimes y = x + y.}

x \ otimes y = x + y.

Операции $⊕ {\ displaystyle \ oplus}$ $\ oplus$ и $⊗ {\ displaystyle \ otimes}$ $\ otimes$ называются тропическим сложением и тропическим умножением соответственно. Единица для $⊕ {\ displaystyle \ oplus}$ $\ oplus$ - $+ ∞ {\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ , а единица для $⊗ {\ displaystyle \ otimes}$ $\ otimes$ равно 0.

Точно так же максимальное тропическое полукольцо - это полукольцо $(R ∪ {- ∞}, ⊕, ⊗) {\ displaystyle (\ mathbb {R } \ cup \ {- \ infty \}, \ oplus, \ otimes)}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty \}, \ oplus, \ otimes)}$ , с операциями:

x ⊕ y = max {x, y}, {\ displaystyle x \ oplus y = \ max \ {x, y \},}

{\ displaystyle x \ oplus y = \ max \ {x, y \},}

x ⊗ y = x + y. {\ displaystyle x \ otimes y = x + y.}

x \ otimes y = x + y.

Единица измерения для $⊕ {\ displaystyle \ oplus}$ $\ oplus$ - $- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ , а единица измерения для $⊗ {\ displaystyle \ otimes}$ $\ otimes$ равна 0.

Эти полукольца изоморфны при отрицании $x ↦ - x {\ displaystyle x \ mapsto -x}$ $x \ mapsto -x$ , и обычно выбирается одно из них, которое называется просто тропическим полукольцом. Соглашения различаются между авторами и подполями: некоторые используют соглашение min, некоторые используют соглашение max.

Операции с тропическим полукольцом моделируют поведение оценок при сложении и умножении в -значном поле.

Некоторые общие оценочные поля, встречающиеся в тропической геометрии (с соглашением min): 286>Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}} $\ mathbb {Q}$ или $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ с тривиальной оценкой, $v (a) Знак равно 0 {\ displaystyle v (a) = 0}$ ${ \ Displaystyle v (а) = 0}$ для всех $a ≠ 0 {\ displaystyle a \ neq 0}$ ${\ displaystyle a \ neq 0}$ .

Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}

\ mathbb {Q}

или его расширения с p-адической оценкой,

v (pna / b) = n {\ displaystyle v (p ^ {n} a / b) = n}

{\ displaystyle v (p ^ {n} a / b) = n}

для a и b, взаимно простых с p.

Поле серии Лорана

C ((t)) {\ displaystyle \ mathbb {C} (\! (T) \!)}

{\ displaystyle \ mathbb {C} (\! (т) \!)}

(целые степени) или поле (комплексного) серии Пюизо

C {{t}} {\ displaystyle \ mathbb {C} \ { \! \ {t \} \! \}}

{\ displaystyle \ mathbb {C} \ {\! \ {t \} \! \}}

, с оценкой, возвращающей наименьший показатель t, появляющийся в ряду.

Тропические многочлены

A tr оптический многочлен - это функция $F: R n → R {\ displaystyle F \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle F \ двоеточие \ mathbb {R } ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ , которая может быть выражена как тропический сумма конечного числа мономиальных членов. Мономиальный член - это тропическое произведение (и / или частное) константы и переменных из $X 1,…, X n {\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$ ${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$ . Таким образом, тропический многочлен F является минимумом конечного набора аффинно-линейных функций, в которых переменные имеют целочисленные коэффициенты, поэтому он вогнутый, непрерывный, и кусочно-линейный.

F (X 1,…, X n) = (C 1 ⊗ X 1 ⊗ a 11 ⊗ ⋯ ⊗ X n ⊗ an 1) ⊕ ⋯ ⊕ (C s ⊗ X 1 ⊗ a 1 s ⊗ ⋯ X n ans) = min {C 1 + a 11 X 1 + ⋯ + an 1 X n,…, C s + a 1 s X 1 + ⋯ + ans X n}. {\ displaystyle {\ begin {align} F (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) = \ left (C_ {1} \ otimes X_ {1} ^ {\ otimes a_ {11}} \ otimes \ cdots \ otimes X_ {n} ^ {\ otimes a_ {n1}} \ right) \ oplus \ cdots \ oplus \ left (C_ {s} \ otimes X_ {1} ^ {\ otimes a_ {1s}} \ otimes \ cdots \ otimes X_ {n} ^ {\ otimes a_ {ns}} \ right) \\ = \ min \ {C_ {1} + a_ {11} X_ {1} + \ cdots + a_ {n1} X_ {n}, \; \ ldots, \; C_ {s} + a_ {1s} X_ {1} + \ cdots + a_ {ns} X_ {n} \}. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} F (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) = \ left (C_ {1} \ otimes X_ { 1} ^ {\ otimes a_ {11}} \ otimes \ cdots \ otimes X_ {n} ^ {\ otimes a_ {n1}} \ right) \ oplus \ cdots \ oplus \ left (C_ {s} \ otimes X_ { 1} ^ {\ otimes a_ {1s}} \ otimes \ cdots \ otimes X_ {n} ^ {\ otimes a_ {ns}} \ right) \\ = \ min \ {C_ {1} + a_ {11} X_ {1} + \ cdots + a_ {n1} X_ {n}, \; \ ldots, \; C_ {s} + a_ {1s} X_ {1} + \ cdots + a_ {ns} X_ {n} \ }. \ конец {выровнен}}}

Учитывая многочлен f в кольце многочленов Лорана $K [x 1 ± 1,…, xn ± 1] {\ displaystyle K [x_ {1} ^ {\ pm 1}, \ ldots, x_ {n} ^ {\ pm 1}]}$ ${\ displaystyle К [x_ {1} ^ {\ pm 1}, \ ldots, x_ {n} ^ {\ pm 1}]}$ где K - поле со значениями, тропикализация f, обозначенная $Trop ⁡ (f) {\ displaystyle \ operatorname {Trop} (f)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Trop} (f)}$ - тропический многочлен, полученный из f заменой умножения и сложения их тропическими аналогами, а каждой константы в K - ее оценкой. То есть, если

f = ∑ i = 1 scix A i с A 1,…, A s ∈ Z n, {\ displaystyle f = \ sum _ {i = 1} ^ {s} c_ {i} x ^ {A_ {i}} \ quad {\ text {with}} A_ {1}, \ ldots, A_ {s} \ in \ mathbb {Z} ^ {n},}

{\ displaystyle f = \ sum _ {i = 1} ^ {s} c_ {i} x ^ {A_ {i}} \ quad {\ text {with}} A_ {1}, \ ldots, A_ {s} \ in \ mathbb {Z} ^ {n },}

затем

Trop ⁡ (е) = ⨁ i = 1 sv (ci) ⊗ X ⊗ A i. {\ displaystyle \ operatorname {Trop} (f) = \ bigoplus _ {i = 1} ^ {s} v (c_ {i}) \ otimes X ^ {\ otimes A_ {i}}.}

{\ displaystyle \ operatorname {Trop} (f) = \ bigoplus _ {i = 1} ^ {s} v (c_ {i}) \ otimes X ^ {\ otimes A_ {i}}.}

Набор точек, в которых тропический многочлен F недифференцируем, называется связанной с ним тропической гиперповерхностью и обозначается $V (F) {\ displaystyle \ mathrm {V} (F)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {V} (F)}$ (по аналогии с исчезающее множество полинома). Эквивалентно, $V (F) {\ displaystyle \ mathrm {V} (F)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {V} (F)}$ - это набор точек, в которых минимум среди членов F достигается как минимум дважды. Когда $F = Trop ⁡ (f) {\ displaystyle F = \ operatorname {Trop} (f)}$ ${\ displaystyle F = \ operatorname {Trop} (f)}$ для полинома Лорана f, это последняя характеристика $V (F) {\ displaystyle \ mathrm {V} (F)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {V} (F)}$ отражает тот факт, что для любого решения $f = 0 {\ displaystyle f = 0}$ $f = 0$ минимальная оценка условий f должно быть достигнуто как минимум дважды, чтобы все они отменились.

Тропические разновидности

Определения

Для X алгебраическое разнообразие в алгебраический тор $(K ×) n {\ displaystyle (K ^ {\ times}) ^ {n}}$ ${\ displaystyle (K ^ {\ times}) ^ {n}}$ , тропическое многообразие X или тропикализация X, обозначенное $Trop ⁡ (X) {\ displaystyle \ operatorname {Trop} (X)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Trop} (X)}$ , является подмножеством $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , который можно определить несколькими способами. Эквивалентность этих определений называется фундаментальной теоремой тропической геометрии.

Пересечение тропических гиперповерхностей

Пусть $I (X) {\ displaystyle \ mathrm {I} (X)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {I } (X)}$ - идеал многочленов Лорана, обращающихся в нуль на X в $K [x 1 ± 1,…, xn ± 1] {\ displaystyle K [x_ {1} ^ {\ pm 1}, \ ldots, x_ {n} ^ {\ pm 1}]}$ ${\ displaystyle К [x_ {1} ^ {\ pm 1}, \ ldots, x_ {n} ^ {\ pm 1}]}$ . Определим

Trop ⁡ (X) = ⋂ f ∈ I (X) V (Trop ⁡ (f)) ⊆ R n. {\ displaystyle \ operatorname {Trop} (X) = \ bigcap _ {е \ in \ mathrm {I} (X)} \ mathrm {V} (\ operatorname {Trop} (f)) \ substeq \ mathbb {R} ^ {n}.}

{\ displaystyle \ operatorname {Trop} (X) = \ bigcap _ {f \ in \ mathrm {I} (X)} \ mathrm {V} (\ operatorname {Trop} (f)) \ substeq \ mathbb {R} ^ {n}.}

Когда X - гиперповерхность, ее исчезающий идеал $I (X) {\ displaystyle \ mathrm {I} (X)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {I } (X)}$ является главным идеалом порожден полиномом Лорана f, а тропическое многообразие $Trop ⁡ (X) {\ displaystyle \ operatorname {Trop} (X)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Trop} (X)}$ в точности является тропической гиперповерхностью $V ( Trop ⁡ (f)) {\ displaystyle \ mathrm {V} (\ operatorname {Trop} (f))}$ ${\ displaystyle \ mathrm {V} (\ operatorname {Trop} (f))}$ .

Каждое тропическое многообразие является пересечением конечного числа тропических гиперповерхностей. Конечный набор многочленов ${f 1,…, fr} ⊆ I (X) {\ displaystyle \ {f_ {1}, \ ldots, f_ {r} \} \ substeq \ mathrm {I} (X) }$ ${\ displaystyle \ {f_ {1}, \ ldots, f_ {r} \} \ substeq \ mathrm {I} (X)}$ называется тропическим базисом для X, если $Trop ⁡ (X) {\ displaystyle \ operatorname {Trop} (X)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Trop} (X)}$ является пересечением тропических гиперповерхностей $Троп ⁡ (f 1),…, Троп ⁡ (fr) {\ displaystyle \ operatorname {Trop} (f_ {1}), \ ldots, \ operatorname {Trop} (f_ {r})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Trop} (f_ {1}), \ ldots, \ operatorname {Trop} (f_ {r}) }$ . В общем, генерирующего набора $I (X) {\ displaystyle \ mathrm {I} (X)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {I } (X)}$ недостаточно для формирования тропической основы. Пересечение конечного числа тропических гиперповерхностей называется тропическим преобладанием и, как правило, не тропическим многообразием.

Исходные идеалы

Выбор вектора $w {\ displaystyle \ mathbf {w}}$ $\ mathbf {w}$ в $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ определяет карту из мономиальных членов $K [x 1 ± 1,…, xn ± 1] {\ displaystyle K [x_ {1} ^ {\ pm 1}, \ ldots, x_ {n} ^ {\ pm 1}]}$ от ${\ displaystyle К [x_ {1} ^ {\ pm 1}, \ ldots, x_ {n} ^ {\ pm 1}]}$ до $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , отправив термин m в $Trop ⁡ (m) (w) {\ displaystyle \ operatorname {Trop} (m) (\ mathbf {w})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Trop} (m) (\ mathbf {w})}$ . Для многочлена Лорана $f = m 1 + ⋯ + ms {\ displaystyle f = m_ {1} + \ cdots + m_ {s}}$ ${\ displaystyle f = m_ {1} + \ cdots + m_ {s}}$ , определите начальную форму f как сумму из терминов $mi {\ displaystyle m_ {i}}$ $m_ {i}$ из f, для которых $Trop ⁡ (mi) (w) {\ displaystyle \ operatorname {Trop} (m_ {i}) (\ mathbf {w})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Trop} (m_ {i}) (\ mathbf {w})}$ минимально. Для идеала $I (X) {\ displaystyle \ mathrm {I} (X)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {I } (X)}$ определите его начальный идеал относительно $w {\ displaystyle \ mathbf {w}}$ $\ mathbf {w}$ быть

в w ⁡ I (X) = (в w ⁡ (f): f ∈ I (X)). {\ displaystyle \ operatorname {in} _ {\ mathbf {w}} \ mathrm {I} (X) = (\ operatorname {in} _ {\ mathbf {w}} (f): f \ in \ mathrm {I } (X)).}

{\ displaystyle \ operatorname {in} _ {\ mathbf {w}} \ mathrm {I } (Икс) = (\ OperatorName {in} _ {\ mathbf {w}} (е): е \ in \ mathrm {I} (X)).}

Затем определим

Trop ⁡ (X) = {w ∈ R n: in w ⁡ I (X) ≠ (1)}. {\ displaystyle \ operatorname {Trop} (X) = \ {\ mathbf {w} \ in \ mathbb {R} ^ {n}: \ operatorname {in} _ {\ mathbf {w}} \ mathrm {I} ( X) \ neq (1) \}.}

{\ displaystyle \ operatorname {Trop} (X) = \ {\ mathbf {w} \ in \ mathbb {R} ^ {n}: \ operatorname {in} _ {\ mathbf {w}} \ mathrm {I} (X) \ neq (1) \}.}

Поскольку мы работаем в кольце Лорана, это то же самое, что и набор весовых векторов, для которых $в w ⁡ I (X) {\ displaystyle \ operatorname {in} _ {\ mathbf {w}} \ mathrm {I} (X)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {in} _ {\ mathbf {w}} \ mathrm {I} (X)}$ не содержит одночлена.

Когда K имеет тривиальную оценку, $в w ⁡ I (X) {\ displaystyle \ operatorname {in} _ {\ mathbf {w}} \ mathrm {I} (X)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {in} _ {\ mathbf {w}} \ mathrm {I} (X)}$ - это в точности исходный идеал $I (X) {\ displaystyle \ mathrm {I} (X)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {I } (X)}$ относительно мономиального порядка, заданного весом вектор $w {\ displaystyle \ mathbf {w}}$ $\ mathbf {w}$ . Отсюда следует, что $Trop ⁡ (X) {\ displaystyle \ operatorname {Trop} (X)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Trop} (X)}$ является вспомогательным вентилятором вентилятора Грёбнера из $I (X) {\ displaystyle \ mathrm {I} (X)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {I } (X)}$ .

Изображение карты оценки

Предположим, что X - многообразие над полем K с оценкой v, изображение которой плотно в $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ (например, поле из серии Puiseux). Действуя по координатам, v определяет отображение алгебраического тора $(K ×) n {\ displaystyle (K ^ {\ times}) ^ {n}}$ ${\ displaystyle (K ^ {\ times}) ^ {n}}$ в $R n {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Затем определите

Trop ⁡ (X) = {(v (x 1),…, v (xn)): (x 1,…, xn) ∈ X} ¯, {\ displaystyle \ operatorname {Trop} (X) = {\ overline {\ {(v (x_ {1}), \ ldots, v (x_ {n})) :( x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in X \}}},}

{\ displaystyle \ operatorname {Trop} (X) = {\ overline {\ {(v (x_ {1}), \ ldots, v (x_ {n})) :( x_ {1}, \ ldots, x_ { n}) \ in X \}}},}

где верхняя черта указывает на замыкание в евклидовой топологии. Если оценка K не является плотной в $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , то приведенное выше определение можно адаптировать путем расширения скаляров на большее поле, что иметь плотную оценку.

Это определение показывает, что $Trop ⁡ (X) {\ displaystyle \ operatorname {Trop} (X)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Trop} (X)}$ - неархимедова амеба над алгебраически замкнутое неархимедово поле K.

Если X является разновидностью более $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ , $Trop ⁡ (X) {\ displaystyle \ operatorname {Trop} (X)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Trop} (X)}$ можно рассматривать как ограничивающий объект амебы $Log t ⁡ (X) {\ displaystyle \ operatorname {Log} _ {t} (X)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Log} _ {t} (X)}$ как основание t логарифмического отображения стремится к бесконечности.

Многогранный комплекс

Следующая характеристика описывает тропические многообразия по существу без ссылки на алгебраические многообразия и тропикализацию. Множество V в $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ является неприводимым тропическим многообразием, если оно является носителем взвешенного полиэдрального комплекса чистая размерность d, удовлетворяющая условию нулевого напряжения и связная в коразмерности один. Когда d равно единице, условие нулевого натяжения означает, что вокруг каждой вершины взвешенная сумма выходных направлений ребер равна нулю. Для более высокого измерения вместо этого суммы берутся по каждой ячейке измерения $d - 1 {\ displaystyle d-1}$ $d-1$ после выделения аффинного диапазона ячейки. Свойство соединения V в коразмерности один означает, что для любых двух точек, лежащих в ячейках размерности d, существует путь, соединяющий их, который не проходит через ячейки с размерностью меньше $d - 1 {\ displaystyle d-1}$ $d-1$ .

Тропические кривые

Изучение тропических кривых (тропические разновидности размерности один) особенно хорошо развито и тесно связано с теорией графов. Например, теория делителей тропических кривых связана с играми по запуску чипов на графах, связанных с тропическими кривыми.

Многие классические теоремы алгебраической геометрии имеют аналоги в тропической геометрии, в том числе:

Олег Виро использовал тропические кривые для классификации реальных кривых степени 7 на плоскости до изотопии. Его метод лоскутного шитья дает процедуру построения реальной кривой данного изотопического класса по его тропической кривой.

Приложения

Тропическая линия появилась в Поле Клемперере в дизайне аукционов, используемых Банком Англии во время финансовый кризис 2007 года. Ёсинори Сиодзава определил субтропическую алгебру как полукольцо макс-раз или минимум-раз (вместо макс-плюс и мин-плюс). Он обнаружил, что теорию рикардианской торговли (международная торговля без торговли исходными ресурсами) можно интерпретировать как субтропическую выпуклую алгебру.

Более того, возникает несколько проблем оптимизации, возникающих, например, при планировании заданий, анализе местоположения, транспортных сетях, принятии решений и дискретных событиях. динамические системы могут быть сформулированы и решены в рамках тропической геометрии. Тропический аналог карты Абеля – Якоби можно применить к дизайну кристаллов. Веса в взвешенном преобразователе с конечным числом состояний часто требуется, чтобы оно было тропическим полукольцом. Тропическая геометрия может показать самоорганизованную критичность.

См. Также

Примечания

Ссылки

Дополнительная литература

Amini, Омид; Бейкер, Мэтью; Фабер, Ксандер, ред. (2013). Тропическая и неархимедова геометрия. Семинар Беллэрса по теории чисел, тропической и неархимедовой геометрии, Исследовательский институт Беллэрса, Хоултаун, Барбадос, США, 6–13 мая 2011 г. Современная математика. 605 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-1021-6. Zbl 1281.14002.

Внешние ссылки

Тропическая геометрия, I