Функция шага Хевисайда с использованием соглашения о половине максимума
Функция шага Хевисайда или функция единичного шага, обычно обозначаемая H или θ (но иногда u, 1 или 𝟙), является прерывистой функцией, названной в честь Оливера Хевисайда (1850–1925), значение которой ноль для отрицательных аргументов и один для неотрицательных аргументов энц.
где в 0 выбирается значение .
Это пример общего класса ступенчатых функций, все из которых могут быть представлены как линейные комбинации переводов этой функции.
Функция была первоначально разработана в операционном исчислении для решения дифференциальных уравнений, где она представляет собой сигнал, который включается в определенное время и остается включенным неопределенное время.. Оливер Хевисайд, который разработал операционное исчисление в качестве инструмента для анализа телеграфных сообщений, представил функцию как 1.
Функцию Хевисайда можно определить как производную от линейной функции :
дельта-функция Дирака является производной функции Хевисайда
Следовательно, функцию Хевисайда можно рассматривать как интеграл дельта-функции Дирака. Иногда это записывается как
, хотя это разложение может не выполняться (или даже иметь смысл) для x = 0, в зависимости от того, какой формализм используется для придания значения интегралам, содержащим δ. В этом контексте функция Хевисайда - это кумулятивная функция распределения случайной величины, которая почти наверняка равна 0. (См. постоянная случайная величина.)
В операционном исчислении полезные ответы редко зависят от того, какое значение используется для H (0), поскольку H в основном используется как распределение . Однако такой выбор может иметь важные последствия для функционального анализа и теории игр, где рассматриваются более общие формы непрерывности. Некоторые общие варианты можно увидеть ниже.
Аппроксимации ступенчатой функции Хевисайда используются в биохимии и нейробиологии, где логистические аппроксимации шага функции (такие как Hill и уравнения Михаэлиса-Ментен ) могут использоваться для аппроксимации бинарных клеточных переключателей в ответ на химические сигналы.
Функцию Хевисайда также можно определить для как:
Содержание
- 1 Дискретная форма
- 2 Аналитические приближения
- 3 Интегральные представления
- 4 Нулевой аргумент
- 5 Первообразная и производная
- 6 Преобразование Фурье
- 7 Одностороннее преобразование Лапласа
- 8 Представление гиперфункции
- 9 См. Также
- 10 Ссылки
- 11 Внешние ссылки
Дискретная форма
Альтернативная форма единичного шага, определенная вместо этого как функция (т.е. принимая дискретную переменную n), составляет:
или с использованием соглашения о половинном максимуме :
, где n - целое число. В отличие от непрерывного случая, определение H [0] имеет значение.
Единичный импульс дискретного времени представляет собой первую разность шага дискретного времени
Эта функция представляет собой совокупное суммирование дельты Кронекера :
где
- это дискретная единичная импульсная функция.
Аналитические аппроксимации
для сглаженной приближение к ступенчатой функции, можно использовать логистическую функцию
где большее k соответствует более резкому переходу при x = 0. Если взять H (0) = 1/2, то в пределе выполняется равенство:
Есть много других гладких аналитических приближений ступенчатой функции. Среди возможных вариантов:
Эти ограничения удерживаются точечно и в смысле распределений. В общем, однако, поточечная сходимость не обязательно подразумевает сходимость по распределению, и наоборот, сходимость по распределению не обязательно означает поточечную сходимость. (Однако, если все элементы поточечно сходящейся последовательности функций равномерно ограничены некоторой "хорошей" функцией, то сходимость сохраняется и в смысле распределений.)
В общем, любая кумулятивная функция распределения непрерывного распределения вероятностей, которая имеет пик около нуля и имеет параметр, который контролирует дисперсию, может служить в качестве приближения, в пределе, когда дисперсия приближается к нулю. Например, все три из вышеупомянутых аппроксимаций являются кумулятивными функциями распределения общих распределений вероятностей: логистическим, Коши и нормальным распределениями, соответственно.
Интегральные представления
Часто бывает полезно интегральное представление ступенчатой функции Хевисайда:
где второе представление легко вывести из первого, учитывая, что функция шага действительна и, следовательно, является ее собственным комплексным сопряжением.
Нулевой аргумент
Поскольку H обычно используется при интегрировании, а значение функции в одной точке не влияет на ее интеграл, редко имеет значение, какое конкретное значение выбрано для H (0). Действительно, когда H рассматривается как распределение или элемент L (см. пространство L ), даже не имеет смысла говорить о нулевом значении, поскольку такие объекты только определены почти везде. При использовании некоторого аналитического приближения (как в примерах выше) часто используется то, что оказывается релевантным пределом в нуле.
Существуют разные причины для выбора определенного значения.
- H (0) = 1/2 часто используется, поскольку график тогда имеет вращательную симметрию; Другими словами, тогда H - 1/2 является нечетной функцией. В этом случае для всех x выполняется следующее соотношение со знаковой функцией :
- H (0) = 1 используется когда H должно быть непрерывным вправо. Например, кумулятивные функции распределения обычно считаются непрерывными справа, как и функции, интегрированные в интегрирование Лебега – Стилтьеса. В этом случае H является индикаторной функцией замкнутого полубесконечного интервала:
- Соответствующее распределение вероятностей является вырожденным распределением.
- H (0) = 0 используется, когда H должно быть непрерывным влево. В этом случае H является индикаторной функцией открытого полубесконечного интервала:
- В контексте функционального анализа из оптимизации и теории игр часто бывает полезно определить функцию Хевисайда как многозначная функция для сохранения непрерывности предельных функций и обеспечения существования определенных решений. В этих случаях функция Хевисайда возвращает полный интервал возможных решений, H (0) = [0,1].
Первообразная и производная
функция линейного изменения - это первообразная ступенчатой функции Хевисайда:
производной распределения ступенчатой функции Хевисайда является дельта-функция Дирака :
преобразование Фурье
преобразование Фурье шага Хевисайда функция - это распределение. Используя один выбор констант для определения преобразования Фурье, мы имеем
Здесь pv1 / s - это распределение, которое переводит тестовую функцию φ в главное значение Коши из ∫. −∞φ (s) / s ds. Предел, входящий в интеграл, также берется в смысле (умеренных) распределений.
Одностороннее преобразование Лапласа
преобразование Лапласа ступенчатой функции Хевисайда является мероморфной функцией. Используя одностороннее преобразование Лапласа, мы имеем:
При использовании двустороннего преобразования интеграл можно разделить на две части, и результат будет таким же.
Представление гиперфункции
Это может быть представлено как гиперфункция как
См. Также
Ссылки
Внешние ссылки
| На Викискладе есть материалы, связанные с функцией Хевисайда. |
- Цифровая библиотека Математические функции, NIST, [1].
- Берг, Эрнст Юлиус (1936). «Единичная функция». Операционное исчисление Хевисайда в применении к инженерии и физике. McGraw-Hill Education. п. 5.
- Калверт, Джеймс Б. (2002). «Хевисайд, Лаплас и инверсионный интеграл». Денверский университет.
- Дэвис, Брайан (2002). «Ступенчатая функция Хевисайда». Интегральные преобразования и их приложения (3-е изд.). Springer. п. 28.
- Дафф, Джордж Ф. Д. ; Нейлор, Д. (1966). «Функция единицы Хевисайда». Дифференциальные уравнения прикладной математики. Джон Уайли и сыновья. п. 42.