Альфапедия

Операционное исчисление

редактировать

Оперативное исчисление, также известное как операционный анализ, - это метод, с помощью которого устраняются проблемы в анализ, в частности дифференциальные уравнения, преобразуются в алгебраические задачи, обычно в задачу решения полиномиального уравнения.

Содержание
  • 1 История
  • 2 Принцип
  • 3 Ссылки
  • 4 Внешние ссылки
История

Идея представления процессов вычисления, дифференцирования и интегрирования в виде операторов имеет долгую историю, восходящую к Готфриду Вильгельму Лейбницу. Математик Луи Франсуа Антуан Арбогаст был одним из первых, кто манипулировал этими символами независимо от функции, к которой они были применены.

Этот подход был далее развит Франсуа-Жозефом Сервуа, разработавший удобные обозначения. За Сервуа последовала школа британских и ирландских математиков, в том числе Чарльз Джеймс Харгрив, Джордж Буль, Боунин, Кармайкл, Дукин, Грейвс, Мерфи, Уильям Споттисвуд и Сильвестр.

Трактаты, описывающие применение операторных методов к обыкновенным и дифференциальным уравнениям с частными производными, были написаны Робертом Беллом Кармайклом в 1855 году и Булем в 1859 году.

Этот метод был полностью разработан физиком Оливер Хевисайд в 1893 году, в связи с его работой в телеграфии.

Во многом руководствуясь интуицией и своими обширными познаниями в области физики, лежащими в основе его исследований схем, [Хевисайд] разработал операционное исчисление, которое теперь приписывается его имени

В то время методы Хевисайда не были строгими, и его работа не получила дальнейшего развития математиками. Операционное исчисление впервые нашло применение в задачах электротехники для расчета переходных процессов в линейных цепях после 1910 года под воздействием Эрнста Джулиуса Берга, Джон Реншоу Карсон и Ванневар Буш.

Строгое математическое обоснование операционных методов Хевисайда появилось только после работы Бромвича, который связал операционное исчисление с методами преобразования Лапласа (подробное описание см. в книгах Джеффриса, Карслоу или Маклахлана). Другие способы обоснования операционных методов Хевисайда были введены в середине 1920-х годов с использованием методов интегрального уравнения (как это сделал Карсон) или преобразования Фурье (как сделано Норбертом Винером ).

Другой подход к операционному исчислению был разработан в 1930-х годах польским математиком Яном Микусинским с использованием алгебраических рассуждений.

Норберт Винер заложил основы теории операторов в своем обзоре экзистенциального статуса операционного исчисления в 1926 г.:

Блестящая работа Хевисайда носит чисто эвристический характер и лишена даже претензия на математическую строгость. Его операторы применяются к электрическим напряжениям и токам, которые могут быть прерывистыми и, конечно, не обязательно должны быть аналитическими. Например, любимый корпус мерзости, на котором он пробует свои операторы, - это функция, которая исчезает слева от начала координат и равна 1 справа. Это исключает какое-либо прямое применение методов Пинчерле…
Хотя разработки Хевисайда не были оправданы нынешним состоянием чисто математической теории операторов, существует много того, что мы можем назвать экспериментальными доказательствами их обоснованность, и они очень ценны для инженеров-электриков. Однако есть случаи, когда они приводят к неоднозначным или противоречивым результатам.
Принцип

Ключевым элементом операционного исчисления является рассмотрение дифференцирования как оператора p = d / dt действует на функции. Затем линейные дифференциальные уравнения можно преобразовать в форму «функций» F (p) оператора p, действующего на неизвестную функцию, равную известной функции. Здесь F определяет что-то, что принимает оператор p и возвращает другой оператор F (p). Затем решения получаются, если обратный оператор F действует на известную функцию. Операционное исчисление обычно представлено двумя символами: оператором p и единичной функцией 1. Используемый оператор, вероятно, больше математический, чем физический, а функция единицы - более физическая, чем математическая. Оператор p в исчислении Хевисайда изначально должен представлять дифференциатор времени d / dt. Кроме того, желательно, чтобы этот оператор имел взаимную связь, так что p обозначает операцию интегрирования.

В теории электрических цепей пытаются определить реакцию электрической цепи на импульс. Из-за линейности достаточно рассмотреть единичный шаг :

ступенчатую функцию Хевисайда : H (t) такую, что H (t) = 0, если t < 0 and H(t) = 1 if t>0.

Простейший пример применения операционного исчисление должно решить: py = H (t), что дает

y = p - 1 ⁡ H = ∫ 0 t H (u) d ⁡ u = t H (t) {\ displaystyle y = \ operatorname {p } ^ {- 1} H = \ int _ {0} ^ {t} H (u) \ operatorname {d} u = t \ H (t)}{\ displaystyle y = \ operatorname {p} ^ {- 1} H = \ int _ {0} ^ {t} H (u) \ operatorname {d} u = t \ H (t) } .

Из этого примера видно, что p - 1 {\ displaystyle \ operatorname {p} ^ {- 1}}{\ displaystyle \ operatorname {p} ^ {- 1}} представляет интеграцию. Кроме того, n повторных интеграций представлены как p - n, {\ displaystyle \ operatorname {p} ^ {- n},}{\ displaystyle \ operatorname {p} ^ {- n},} , так что

p - n ⁡ H (t) = tnn ! H (t). {\ displaystyle \ operatorname {p} ^ {- n} H (t) = {\ frac {t ^ {n}} {n!}} H (t).}{\ displaystyle \ operatorname {p} ^ {- n} H (t) = {\ frac {t ^ {n}} {n!}} H (t).}

Продолжая рассматривать p, как если бы это было переменная,

pp - a H (t) = 1 1 - ap H (t), {\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {p}} {\ \ operatorname {p} -a \}} H ( t) = {\ frac {1} {\ 1 - {\ frac {a} {\ operatorname {p}}} \}} \ H (t),}{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {p}} {\ \ operatorname {p} -a \}} H (t) = {\ frac {1} {\ 1 - {\ frac {a} {\ operatorname {p}}} \}} \ H (t),}

который можно переписать с помощью геометрический ряд разложение,

1 1 - ap H (t) = ∑ n = 0 ∞ anp - n ⁡ H (t) = ∑ n = 0 ∞ antnn! ЧАС (т) = есть ЧАС (т) {\ Displaystyle {\ гидроразрыва {1} {1 - {\ гидроразрыва {а} {\ operatorname {p}}}}} Н (т) = \ сумма _ {п = 0 } ^ {\ infty} a ^ {n} \ operatorname {p} ^ {- n} H (t) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {a ^ {n} t ^ {n}} {n!}} H (t) = e ^ {at} H (t)}{\ displaystyle {\ frac {1} {1 - {\ frac {a} {\ operatorname {p}}}}} H (t) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a ^ {n } \ operatorname {p} ^ {- n} H (t) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {a ^ {n} t ^ {n}} {n!}} H (t) = e ^ {at} H (t)} .

Используя разложение частичной дроби, можно определить любую дробь в операторе p и вычислить ее действие на H (t). Более того, если функция 1 / F (p) имеет разложение в ряд вида

1 F (p) = ∑ n = 0 ∞ anp - n {\ displaystyle {\ frac {1} {\ F (\ operatorname {p}) \}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ operatorname {p} ^ {- n}}{\ displaystyle {\ frac { 1} {\ F (\ operatorname {p}) \}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ operatorname {p} ^ {- n}} ,

легко найти

1 F ( p) H (t) = ∑ n = 0 ∞ antnn! ЧАС (т) {\ Displaystyle {\ гидроразрыва {1} {\ F (\ Operatorname {p}) \}} Н (т) = \ сумма _ {п = 0} ^ {\ infty} а_ {п} {\ frac {t ^ {n}} {n!}} H (t)}{\ displaystyle {\ frac {1} {\ F ( \ имя оператора {p}) \}} H (t) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} {\ frac {t ^ {n}} {n!}} H (t)} .

Применяя это правило, решение любого линейного дифференциального уравнения сводится к чисто алгебраической задаче.

Хевисайд пошел дальше и определил дробную степень p, таким образом установив связь между операционным исчислением и дробным исчислением.

Используя разложение Тейлора, можно также проверить Лагранжа -Бул формула преобразования, ef (t) = f (t + a), поэтому операционное исчисление также применимо к конечным разностным уравнениям и к задачам электротехники с задержанными сигналами.

Литература
Внешние ссылки
Последняя правка сделана 2021-06-01 13:12:29
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте