Логистическое распределение

непрерывное распределение вероятностей

Логистика

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$\mu ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu,\}$местоположение (реальное ). $s>0,\; \{\backslash \; displaystyle\; s>0,\}$масштаб (реальный)
Поддержка 344>Икс ∈ (- ∞, ∞) {\ Displaystyle x \ in (- \ infty, \ infty)}
PDF	$e\; -\; (x\; -\; \mu )\; /\; ss\; (1\; +\; e\; -\; (x\; -\; \mu )\; /\; s)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; (x-\; \backslash \; mu)\; /\; s\}\}\; \{s\; \backslash \; left\; (1\; +\; e\; ^\; \{-\; (x-\; \backslash \; mu)\; /\; s\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\}$
CDF	$1\; 1\; +\; e\; -\; (x\; -\; \mu )\; /\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; e\; ^\; \{-\; (x-\; \backslash \; mu)\; /\; s\}\; \}\}\}$
Среднее	$\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$
Медиана	$\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$
Режим	$\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$
Дисперсия	$s\; 2\; \pi \; 2\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{s\; ^\; \{2\}\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\; \{3\}\}\}$
Асимметрия	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$
Пример. эксцесс	$6/5\; \{\backslash \; displaystyle\; 6/5\}$
Энтропия	$ln\; \; s\; +\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; s\; +\; 2\}$
MGF	$e\; \mu \; t\; B\; (1\; -\; st,\; 1\; +\; st)\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{\backslash \; mu\; t\}\; \backslash \; mathrm\; \{B\}\; (1-st,\; 1\; +\; st)\}$. для $t\; \in \; (-\; 1\; /\; s,\; 1\; /\; s)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; in\; (-1\; /\; s,\; 1\; /\; s)\}$. и $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{B\}\}$- это бета-функция
CF	$eit\; \mu \; \pi \; st\; sinh\; \; (\pi \; st)\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{it\; \backslash \; mu\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; st\}\; \{\backslash \; sh\; (\backslash \; pi\; st)\}\}\}$

В теории вероятностей и статистика, логистическое распределение представляет собой непрерывное распределение вероятностей. Ее кумулятивная функция распределения - это логистическая функция, которая появляется в логистической регрессии и нейронных сетях прямого распространения. По форме оно напоминает нормальное распределение, но имеет более тяжелые хвосты (более высокий эксцесс ). Логистическое распределение является частным случаем лямбда-распределения Тьюки.

Содержание

• 1 Спецификация
  • 1.1 Функция плотности вероятности
  • 1.2 Кумулятивная функция распределения
  • 1.3 Функция квантиля
  • 1.4 Альтернативная параметризация
• 2 Приложения
  • 2.1 Логистическая регрессия
  • 2.2 Физика
  • 2.3 Гидрология
  • 2.4 Шахматные рейтинги
• 3 Связанные распределения
• 4 Производные
  • 4.1 Моменты высшего порядка
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки

Спецификация

Функция плотности вероятности

Когда параметр местоположения μ равен 0, а параметр масштаба s равен 1, тогда функция плотности вероятности логистического распределения задается как

$f\; (x;\; 0,\; 1)\; =\; e\; -\; x\; (1\; +\; e\; -\; x)\; 2\; =\; 1\; (ex\; /\; 2\; +\; e\; -\; x\; /\; 2)\; 2\; =\; 1\; 4\; сек\; 2\; \; (х\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; f\; (x;\; 0,1)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; x\}\}\; \{(1\; +\; e\; ^\; \{-\; x\})\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \backslash \; [\; 4pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(e\; ^\; \{x\; /\; 2\}\; +\; e\; ^\; \{-\; x\; /\; 2\})\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \backslash \; [5pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; \}\}\; \backslash \; operatorname\; \{sech\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Таким образом, обычно плотность составляет:

$f\; (\; x;\; \mu ,\; s)\; =\; e\; -\; (x\; -\; \mu )\; /\; ss\; (1\; +\; e\; -\; (x\; -\; \mu )\; /\; s)\; 2\; =\; 1\; s\; (e\; (x\; -\; \mu )\; /\; (2\; s)\; +\; e\; -\; (x\; -\; \mu )\; /\; (2\; с))\; 2\; =\; 1\; 4\; с\; sech\; 2\; \; (x\; -\; \mu \; 2\; с).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; f\; (x;\; \backslash \; mu,\; s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; (x-\; \backslash \; mu)\; /\; s\}\}\; \{s\; \backslash \; left\; (1\; +\; e\; ^\; \{-\; (\; x-\; \backslash \; mu)\; /\; s\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \backslash \; [4pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{s\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{(x-\; \backslash \; mu)\; /\; (2s)\}\; +\; e\; ^\; \{-\; (x-\; \backslash \; mu)\; /\; (2s)\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \backslash \; [4pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4s\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{sech\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x-\; \backslash \; mu\}\; \{2s\}\}\; \backslash \; right).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Поскольку эта функция может быть выражена через квадрат функции гиперболического секанса "sech", его иногда называют распределением sech-square (d).

См. Также: гиперболическое секущее распределение

Кумулятивная функция распределения

Логистическое распределение получает свое имя из его кумулятивной функции распределения, которая является экземпляром семейства логистических функций. Кумулятивная функция распределения логистического распределения также является масштабированной версией гиперболического тангенса.

$F\; (x;\; \mu ,\; s)\; =\; 1\; 1\; +\; e\; -\; (x\; -\; \mu )\; /\; s\; =\; 1\; 2\; +\; 1\; 2\; tanh\; \; (x\; -\; \mu \; 2\; с).\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x;\; \backslash \; mu,\; s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; e\; ^\; \{-\; (x-\; \backslash \; mu)\; /\; s\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{tanh\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x-\; \backslash \; mu\}\; \{2s\}\}\; \backslash \; right).\}$

В этом уравнении x - это случайная величина, μ - это среднее, а s - параметр масштаба, пропорциональный стандартному отклонению.

Функция квантиля

обратное кумулятивное распределение функция (функция квантиля ) логистического распределения является обобщением функции logit. Его производная называется функцией плотности квантиля. Они определяются следующим образом:

$Q\; (p;\; \mu ,\; s)\; =\; \mu \; +\; s\; ln\; \; (p\; 1\; -\; p).\; \{\backslash \; Displaystyle\; Q\; (p;\; \backslash \; mu,\; s)\; =\; \backslash \; mu\; +\; s\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{1-p\}\}\; \backslash \; right).\}$

$Q\; \text{'}(p;\; s)\; =\; зр\; (1\; -\; п).\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; \text{'}(p;\; s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{s\}\; \{p\; (1-p)\}\}.\}$

Альтернативная параметризация

Альтернативная параметризация логистического распределения может быть получена с помощью выражение параметра масштаба, $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$, через стандартное отклонение, $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$, с использованием замены $s\; =\; q\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; q\; \backslash ,\; \backslash \; sigma\}$, где $q\; =\; 3\; /\; \pi \; =\; 0,551328895\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; /\; \{\backslash \; pi\}\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; 0.551328895\; \backslash \; ldots\}$. Альтернативные формы вышеуказанных функций достаточно просты.

Приложения

Логистическое распределение - и S-образный паттерн его кумулятивной функции распределения (логистическая функция ) и квантиля функция (функция логита ) - широко использовалась во многих различных областях.

Логистическая регрессия

Одно из наиболее распространенных приложений - это логистическая регрессия, которая используется для моделирования категорийных зависимых переменных (например, вариант «да-нет» или выбор из 3 или 4 возможностей), так же, как стандартная линейная регрессия используется для моделирования непрерывных переменных (например, дохода или населения). В частности, модели логистической регрессии можно сформулировать как модели скрытых переменных с переменными ошибок, следующих за логистическим распределением. Эта формулировка распространена в теории моделей дискретного выбора, где логистическое распределение играет ту же роль в логистической регрессии, что и нормальное распределение в пробит-регрессии. Действительно, логистическое и нормальное распределения имеют очень похожую форму. Однако логистическое распределение имеет более тяжелые хвосты, что часто увеличивает надежность основанного на нем анализа по сравнению с использованием нормального распределения.

Физика

PDF этого распределения имеет ту же функциональную форму, что и производная от функции Ферми. В теории свойств электронов в полупроводниках и металлах эта производная устанавливает относительный вес различных энергий электронов в их вкладах в перенос электронов. Те уровни энергии, энергии которых наиболее близки к "среднему" распределению (уровень Ферми ), доминируют в таких процессах, как электронная проводимость, с некоторым размытием, вызванным температурой. Однако обратите внимание, что соответствующее распределение вероятностей в статистике Ферми – Дирака на самом деле является простым распределением Бернулли с коэффициентом вероятности, заданным функцией Ферми.

Логистическое распределение возникает как предельное распределение случайного движения с демпфированием конечной скорости, описываемого телеграфным процессом, в котором случайные моменты времени между последовательными изменениями скорости имеют независимые экспоненциальные распределения с линейно увеличивающимися параметрами.

Гидрология

Подобрано кумулятивное логистическое распределение для осадков в октябре с использованием CumFreq, см. Также Подгонка распределения

В гидрологии распределение долгосрочного речного стока и осадков (например, ежемесячные и годовые итоги, состоящие из суммы 30 или 360 дневных значений) часто считается почти нормальным в соответствии с центральной предельной теоремой. Однако для нормального распределения требуется числовое приближение. Поскольку логистическое распределение, которое может быть решено аналитически, похоже на нормальное распределение, его можно использовать вместо него. На синем рисунке показан пример подгонки логистического распределения к ранжированным дождевым осадкам в октябре - которые распределены почти нормально - и показан 90% доверительный пояс, основанный на биномиальном распределении. Данные об осадках представлены позициями как часть кумулятивного частотного анализа.

Шахматные рейтинги

Шахматная федерация США и ФИДЕ поменялись местами. его формула для расчета шахматных рейтингов от нормального распределения к логистическому распределению; см. статью о рейтинговой системе Эло (основанной на нормальном распределении).

Связанные распределения

• Логистическое распределение имитирует распределение sech.
• Если X ~ Logistic (μ, β), то kX + ℓ ~ Logistic (kμ + ℓ, kβ).
• Если X ~ U (0, 1), то μ + β (log (X) - log (1 - X)) ~ Logistic (μ, β).
• If $Икс\; \sim \; G\; зонтик\; (\alpha \; X,\; \beta )\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\; \backslash \; sim\; \backslash \; mathrm\; \{Gumbel\}\; (\backslash \; alpha\; \_\; \{X\},\; \backslash \; beta)\}$и $Y\; \sim \; G\; зонтик\; (\; \alpha \; Y,\; \beta )\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; \backslash \; sim\; \backslash \; mathrm\; \{Gumbel\}\; (\backslash \; alpha\; \_\; \{Y\},\; \backslash \; beta)\}$, затем $X\; -\; Y\; \sim \; L\; ogistic\; (\alpha \; X\; -\; \alpha \; Y,\; \beta )\; \{\backslash \; displaystyle\; XY\; \backslash \; sim\; \backslash \; mathrm\; \{Logistic\}\; (\backslash \; alpha\; \_\; \{X\}\; -\; \backslash \; alpha\; \_\; \{Y\},\; \backslash \; beta)\; \backslash ,\}$.
• Если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \sim \; G\; umbel\; (\alpha ,\; \beta )\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; \backslash \; sim\; \backslash \; mathrm\; \{Gumbel\}\; (\backslash \; alpha,\; \backslash \; beta)\}$, затем $X\; +\; Y\; \nsim \; Логистический\; (2\; \alpha ,\; \beta )\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; +\; Y\; \backslash \; nsim\; \backslash \; mathrm\; \{Logistic\}\; (2\; \backslash \; alpha,\; \backslash \; beta)\; \backslash ,\}$(сумма не является логистическим распределением). Обратите внимание, что $E\; (X\; +\; Y)\; =\; 2\; \alpha \; +\; 2\; \beta \; \gamma \; \ne \; 2\; \alpha \; =\; E\; (L\; ogistic\; (2\; \alpha ,\; \beta ))\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (X\; +\; Y)\; =\; 2\; \backslash \; alpha\; +2\; \backslash \; beta\; \backslash \; gamma\; \backslash \; neq\; 2\; \backslash \; alpha\; =\; E\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathrm\; \{Logistic\}\; (2\; \backslash \; alpha,\; \backslash \; beta)\; \backslash \; right)\}$.
• Если X ~ Logistic (μ, s), то exp (X) ~ LogLogistic $(\alpha \; =\; e\; \mu ,\; \beta \; =\; 1\; s)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; alpha\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; mu\},\; \backslash \; beta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{s\}\}\; \backslash \; right)\; \}$и exp (X) + γ ~ смещенный лог-логистический

$(\alpha \; =\; e\; \mu ,\; \beta \; =\; 1\; s,\; \gamma )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; alpha\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; mu\},\; \backslash \; beta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{s\}\},\; \backslash \; gamma\; \backslash \; right)\}$.

• Если X ~ Exponential (1), то

$\mu \; +\; \beta \; log\; \; (e\; X\; -\; 1)\; \sim \; Логистический\; \; (\mu ,\; \beta ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; +\; \backslash \; beta\; \backslash \; log\; (e\; ^\; \{X\}\; -1)\; \backslash \; sim\; \backslash \; operatorname\; \{Logistic\}\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; beta).\}$

• Если X, Y ~ Exponential (1), то

$\mu \; -\; \beta \; log\; \; (XY)\; \sim \; Логистический\; \; (\mu ,\; \beta ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; -\; \backslash \; beta\; \backslash \; log\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{X\}\; \{Y\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; sim\; \backslash \; operatorname\; \{Logistic\}\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; beta).\}$

Производные

Моменты высшего порядка

Центральный момент n-го порядка может быть выражен через функцию квантили:

$E\; \; [(X\; -\; \mu )\; n]\; =\; \int \; -\; \infty \; \infty \; (x\; -\; \mu )\; nd\; F\; (x)\; =\; \int \; 0\; 1\; (Q\; (p)\; -\; \mu )\; ndp\; =\; sn\; \int \; 0\; 1\; [ln\; (p\; 1\; -\; p)]\; ndp.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [(X-\; \backslash \; mu)\; ^\; \{n\}]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (x-\; \backslash \; mu)\; ^\; \{n\; \}\; \backslash ,\; dF\; (x)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; Q\; (p)\; -\; \backslash \; mu\; \{\backslash \; big)\}\; ^\; \{n\}\; \backslash ,\; dp\; =\; s\; ^\; \{n\; \}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; ln\; \backslash !\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{1-p\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; ^\; \{n\}\; \backslash ,\; dp.\; \backslash \; end\; \{\; выровненный\}\}\}$

Этот интеграл хорошо известен и может быть выражен через числа Бернулли :

$E\; \; [(X\; -\; \mu )\; n]\; =\; sn\; \pi \; n\; (2\; n\; -\; 2)\; \cdot \; |\; B\; n\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [(X-\; \backslash \; mu)\; ^\; \{n\}]\; =\; s\; ^\; \{n\}\; \backslash \; pi\; ^\; \{n\}\; (2\; ^\; \{n\}\; -2)\; \backslash \; cdot\; |\; B\_\; \{n\}\; |.\; \}$

См. Также

• Обобщенное логистическое распределение
• Лямбда-распределение Тьюки
• Логистическая регрессия
• Логистическое распределение
• Сигмоидная функция

Примечания

1. ^Johnson, Kotz Balakrishnan (1995, с.116).
2. ^Дэвис, Джон Х. (1998). Физика низкоразмерных полупроводников: Введение. Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521484916.
3. ^А. Ди Крещенцо, Б. Мартинуччи (2010) «Затухающий телеграфный случайный процесс с логистическим стационарным распределением», Дж. Appl. Проб., т. 47. С. 84–96.
4. ^Ритзема, Х.П., изд. (1994). Частотный и регрессионный анализ. Глава 6 в: Принципы и применение дренажа, Публикация 16, Международный институт мелиорации и улучшения земель (ILRI), Вагенинген, Нидерланды. С. 175–224. ISBN 90-70754-33-9.
5. ^OEIS : A001896

Ссылки

На Викискладе есть средства массовой информации, связанные с логистическим распределением.

• Джон С. ДеКани и Роберт А. Стайн (1986). «Примечание по созданию информационной матрицы для логистической дистрибуции». Американский статистик. Американская статистическая ассоциация. 40 : 220–222. doi : 10.2307 / 2684541.
• Н., Балакришнан (1992). Справочник по логистике. Марсель Деккер, Нью-Йорк. ISBN 0-8247-8587-8.
• Johnson, N.L.; Kotz, S.; Н., Балакришнан (1995). Непрерывные одномерные распределения. Vol. 2 (2-е изд.). ISBN 0-471-58494-0.

• Модис, Теодор (1992) Предсказания: контрольная подпись общества раскрывает прошлое и предсказывает будущее, Simon Schuster, Нью-Йорк. ISBN 0-671-75917-5