Логистическая функция

редактировать

S-образная кривая Стандартная логистическая сигмоидальная функция, т.е. L = 1, k = 1, x 0 = 0 {\ displaystyle L = 1, k = 1, x_ {0} = 0}{\displaystyle L=1,k=1,x_{0}=0}

A логистическая функция или логистическая кривая - это обычная S-образная кривая (сигмовидная кривая ) с уравнением

f (x) = L 1 + e - k (x - x 0), {\ displaystyle f (x) = {\ frac {L} {1 + e ^ {- k (x- x_ {0})}}},}{\displaystyle f(x)={\frac {L}{1+e^{-k(x-x_{0})}}},}

где

x 0 {\ displaystyle x_ {0}}x_{0}= x {\ displaystyle x}xзначение средней точки сигмовидной кишки,
L {\ displaystyle L}L= максимальное значение кривой,
k {\ displaystyle k}k= логистическая скорость роста или крутизна на кривой.

Для значений x {\ displaystyle x}xв области вещественных чисел из - ∞ {\ displaystyle - \ infty}-\infty до + ∞ {\ displaystyle + \ infty}+\infty , получается S-образная кривая, показанная справа, с графиком f {\ displaystyle f}fприближается к L {\ display стиль L}L, поскольку x {\ displaystyle x}xприближается к + ∞ {\ displaystyle + \ infty}+\infty и приближается к нулю как x {\ displaystyle x}xприближается к - ∞ {\ displaystyle - \ infty}-\infty .

Логистическая функция находит приложения в ряде областей, включая биологию (особенно экология ), биоматематика, химия, демография, экономика, геология, математическая психология, вероятность, социология, политология, лингвистика, статистика и искусственные нейронные сети. Обобщением логистической функции является гиперболастическая функция типа I.

Содержание

  • 1 История
  • 2 Математические свойства
    • 2.1 Производная
    • 2.2 Интеграл
    • 2.3 Логистическое дифференциальное уравнение
    • 2.4 Вращательная симметрия относительно (0, 1/2)
  • 3 Приложения
    • 3.1 В экологии: моделирование роста населения
      • 3.1.1 Изменяющаяся во времени пропускная способность
    • 3.2 В статистике и машинном обучении
      • 3.2.1 Логистическая регрессия
      • 3.2.2 Нейронные сети
    • 3.3 В медицине: моделирование роста опухолей
    • 3.4 В медицине: моделирование пандемии
    • 3.5 В химии: модели реакций
    • 3.6 В физика: распределение Ферми – Дирака
    • 3.7 В материаловедении: фазовые диаграммы
    • 3.8 В лингвистике: изменение языка
    • 3.9 В сельском хозяйстве: моделирование реакции сельскохозяйственных культур
    • 3.10 В экономике и социологии: распространение инноваций
  • 4 См. Также
  • 5 Примечания
  • 6 Ссылки
  • 7 Внешние ссылки

История

Исходное изображение логистической кривой в сравнении с логарифмической кривой

логистическая функция была представлена ​​в серии из трех статей Пьером Франсуа Ферхюльстом между 1838 и 1847 годами, который разработал ее как модель роста населения, скорректировав экспоненциальный рост модель под руководством Адольфа Кетле. Ферхюльст впервые разработал функцию в середине 1830-х годов, опубликовав краткую заметку в 1838 году, затем представил расширенный анализ и назвал функцию в 1844 году (опубликовано в 1845 году); третья статья скорректировала поправочный член в его модели роста населения Бельгии.

Начальная стадия роста приблизительно экспоненциальная (геометрическая); затем, когда начинается насыщение, рост замедляется до линейного (арифметического), а по достижении зрелости рост прекращается. Ферхюльст не объяснил выбор термина «логистический» (фр. Logistique), но он предположительно контрастирует с логарифмической кривой и по аналогии с арифметической и геометрической. Его модели роста предшествует обсуждение арифметического роста и геометрического роста (кривую которого он называет логарифмической кривой вместо современного термина экспоненциальный кривая ), и, таким образом, «логистический рост» предположительно назван по аналогии, логистика происходит от древнегреческого : λογῐστῐκός, латинизировано : logistikós, традиционного отдел греческой математики. Этот термин не имеет отношения к военному и управленческому термину «логистика», который вместо французского : logis «жилье», хотя некоторые считают, что греческий термин также повлиял на логистику; подробнее см. Логистика § Происхождение.

Математические свойства

Стандартная логистическая функция - это логистическая функция с параметрами k = 1 {\ displaystyle k = 1}k=1, x 0 = 0 {\ displaystyle x_ {0} = 0}x_{0}=0, L = 1 {\ displaystyle L = 1}L=1, что дает

f (x) = 1 1 + e - x = exex + 1 = 1 2 + 1 2 tanh ⁡ (x 2). {\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {1 + e ^ {- x}}} = {\ frac {e ^ {x}} {e ^ {x} +1}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} \ tanh \ left ({\ frac {x} {2}} \ right).}{\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\tanh \left({\frac {x}{2}}\right).}

На практике из-за характера экспоненциальная функция e - x {\ displaystyle e ^ {- x}}e^{-x}, часто достаточно вычислить стандартную логистическую функцию для x {\ displaystyle x }xв небольшом диапазоне действительных чисел, таком как диапазон, содержащийся в [−6, +6], поскольку он быстро сходится очень близко к своим значениям насыщения 0 и 1.

Логистическая функция имеет свойство симметрии:

1 - f (x) = f (- x). {\ displaystyle 1-f (x) = f (-x).}{\displaystyle 1-f(x)=f(-x).}

Таким образом, x ↦ f (x) - 1/2 {\ displaystyle x \ mapsto f (x) -1/2}x \mapsto f(x) - 1/2- нечетная функция.

Логистическая функция - это смещенная и масштабированная функция гиперболического тангенса :

f (x) = 1 2 + 1 2 tanh ⁡ ( х 2), {\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} \ tanh \ left ({\ frac {x} {2}} \ right),}{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\tanh \left({\frac {x}{2}}\right),}

или

tanh ⁡ (x) = 2 f (2 x) - 1. {\ displaystyle \ tanh (x) = 2f (2x) -1.}{\displaystyle \tanh(x)=2f(2x)-1.}

Это следует из

tanh ⁡ (x) = ex - e - xex + e - x = ex ⋅ (1 - e - 2 x) ex ⋅ (1 + e - 2 x) = f (2 x) - e - 2 x 1 + е - 2 Икс знак равно е (2 Икс) - е - 2 Икс + 1-1 1 + е - 2 Икс = 2 е (2 Икс) - 1. {\ Displaystyle {\ begin {Выровнено} \ tanh (x) = {\ frac {e ^ {x} -e ^ {- x}} {e ^ {x} + e ^ {- x}}} = {\ frac {e ^ {x} \ cdot \ left (1- e ^ {- 2x} \ right)} {e ^ {x} \ cdot \ left (1 + e ^ {- 2x} \ right)}} \\ = f (2x) - {\ frac {e ^ { -2x}} {1 + e ^ {- 2x}}} = f (2x) - {\ frac {e ^ {- 2x} + 1-1} {1 + e ^ {- 2x}}} = 2f ( 2x) -1. \ End {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{x}\cdot \left(1-e^{-2x}\right)}{e^{x}\cdot \left(1+e^{-2x}\right)}}\\=f(2x)-{\frac {e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}=f(2x)-{\frac {e^{-2x}+1-1}{1+e^{-2x}}}=2f(2x)-1.\end{aligned}}}

Производная

Стандартная логистическая функция имеет легко вычисляемую производную. Производная известна как логистическое распределение :

f (x) = 1 1 + e - x = ex 1 + ex, {\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {1 + e ^ {-x}}} = {\ frac {e ^ {x}} {1 + e ^ {x}}},} {\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}},}
ddxf (x) = ex ⋅ (1 + ex) - ex ⋅ ex (1 + ex) 2 = ex (1 + ex) 2 = f (x) (1 - f (x)) = f (x) f (- x). {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} f (x) = {\ frac {e ^ {x} \ cdot (1 + e ^ {x}) - e ^ {x} \ cdot e ^ {x}} {(1 + e ^ {x}) ^ {2}}} = {\ frac {e ^ {x}} {(1 + e ^ {x}) ^ { 2}}} = f (x) {\ big (} 1-f (x) {\ big)} = f (x) f (-x).}{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)={\frac {e^{x}\cdot (1+e^{x})-e^{x}\cdot e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}={\frac {e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}=f(x){\big (}1-f(x){\big)}=f(x)f(-x).}

Производная логистической функции четная функция, то есть

f ′ (- x) = f ′ (x). {\ displaystyle f '(- x) = f' (x).}{\displaystyle f'(-x)=f'(x).}

Интеграл

И наоборот, его первообразная может быть вычислена с помощью подстановки u = 1 + ex {\ displaystyle u = 1 + e ^ {x}}{\displaystyle u=1+e^{x}}, поскольку f (x) = ex 1 + ex = u ′ u {\ displaystyle f (x) = {\ frac {e ^ {x}} {1 + e ^ {x}}} = {\ frac {u '} {u}}}{\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}}}, поэтому (удаление константы интегрирования )

∫ ex 1 + exdx = ∫ 1 udu = ln ⁡ u = ln ⁡ (1 + ex). {\ displaystyle \ int {\ frac {e ^ {x}} {1 + e ^ {x} }} \, dx = \ int {\ frac {1} {u}} \, du = \ ln u = \ ln (1 + e ^ {x}).}{\displaystyle \int {\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\,dx=\int {\frac {1}{u}}\,du=\ln u=\ln(1+e^{x}).}

В искусственных нейронных сетях, это известно как функция softplus и (с масштабированием) представляет собой плавную аппроксимацию функции изменения скорости , так же как логистическая функция (с масштабированием) является гладкой аппроксимацией ступенчатая функция Хевисайда.

Логистическое дифференциальное уравнение

Стандартная логистическая функция - это решение простого нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

ddxf (x) = f (х) (1 - f (x)) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} f (x) = f (x) {\ big (} 1-f (x) {\ big)}}{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f(x){\big (}1-f(x){\big)}}

с граничным условием f (0) = 1/2 {\ displaystyle f (0) = 1/2}{\displaystyle f(0)=1/2}. Это уравнение является непрерывной версией логистической карты . Обратите внимание, что обратная логистическая функция является решением простого линейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Качественное поведение легко понять в терминах фазовой линии : производная равна 0, когда функция равна 1; и производная положительна для f {\ displaystyle f}fмежду 0 и 1 и отрицательна для f {\ displaystyle f}fбольше 1 или меньше 0 (хотя отрицательные популяции обычно не соответствуют физической модели). Это приводит к неустойчивому равновесию при 0 и устойчивому равновесию при 1, и, таким образом, для любого значения функции больше 0 и меньше 1 оно возрастает до 1.

Логистическое уравнение является частным случаем Дифференциальное уравнение Бернулли и имеет следующее решение:

f (x) = exex + C. {\ displaystyle f (x) = {\ frac {e ^ {x}} {e ^ {x} + C}}.}{\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+C}}.}

Выбор постоянной интегрирования C = 1 {\ displaystyle C = 1 }C=1дает другую хорошо известную форму определения логистической кривой:

f (x) = exex + 1 = 1 1 + e - x. {\ displaystyle f (x) = {\ frac {e ^ {x}} {e ^ {x} +1}} = {\ frac {1} {1 + e ^ {- x}}}.}{\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}={\frac {1}{1+e^{-x}}}.}

В количественном отношении, как видно из аналитического решения, логистическая кривая показывает ранний экспоненциальный рост для отрицательного аргумента, который замедляется до линейного роста с наклоном 1/4 для аргумента, близкого к 0, затем приближается к 1 с экспоненциально убывающая щель.

Логистическая функция является обратной функцией естественной логит и поэтому может использоваться для преобразования логарифма шансов в вероятность. В математической записи логистическая функция иногда записывается как expit в той же форме, что и logit. Преобразование из логарифмического отношения правдоподобия двух альтернатив также принимает форму логистической кривой.

Выведенное выше дифференциальное уравнение является частным случаем общего дифференциального уравнения, которое моделирует сигмовидную функцию только для x>0 {\ displaystyle x>0}x>0 . Во многих приложениях моделирования используется более общая форма

df (x) dx = kaf (x) (a - f (x)), f (0) = a / (1 + ekr) {\ displaystyle {\ frac {df (x)} {dx}} = { \ frac {k} {a}} f (x) {\ big (} af (x) {\ big)}, \ quad f (0) = a / (1 + e ^ {kr})}{\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}={\frac {k}{a}}f(x){\big (}a-f(x){\big)},\quad f(0)=a/(1+e^{kr})}

может быть желательным. Его решением является смещенный и масштабированный сигмоид a S (k (x - r)) {\ displaystyle aS {\ big (} k (xr) {\ big)}}{\displaystyle aS{\big (}k(x-r){\big)}}.

Гиперболический- касательная связь приводит к другой форме производной логистической функции:

ddxf (x) = 1 4 sech 2 ⁡ (x 2), {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} f (x) = {\ frac {1} {4}} \ operatorname {sech} ^ {2} \ left ({\ frac {x} {2}} \ right),}{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)={\frac {1}{4}} \operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right),}

, который связывает логистическую функцию с логистическое распределение.

Вращательная симметрия относительно (0, 1/2)

Сумма логистической функции и ее отражения относительно вертикальной оси, f (- x) {\ displaystyle f ( -x)}f(-x), равно

1 1 + e - x + 1 1 + e - (- x) = exex + 1 + 1 ex + 1 = 1. {\ displaystyle {\ frac { 1} {1 + e ^ {- x}}} + {\ frac {1} {1 + e ^ {- (- x)}}} = {\ frac {e ^ {x}} {e ^ {x } +1}} + {\ frac {1} {e ^ {x} +1}} = 1.}{\ displaystyle {\ frac {1} {1 + e ^ {- x}}} + {\ frac {1} { 1+e^{-(-x)}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}+{\frac {1}{e^{x}+1} }=1.}

Таким образом, логистическая функция осесимметрична относительно точки (0, 1/2).

Приложения

Линк создал расширение теории последовательного анализа Вальда до накопления случайных величин без распределения до тех пор, пока сначала не будет достигнута или превышена положительная или отрицательная граница. Link выводит вероятность первого достижения или превышения положительной границы как (1 + e - θ A) {\ displaystyle (1 + e ^ {- \ theta A})}{\displaystyle (1+e^{-\theta A})}, логистическая функция. Это первое доказательство того, что логистическая функция может иметь в основе стохастический процесс. Линк приводит столетние примеры «логистических» экспериментальных результатов и недавно выведенную связь между этой вероятностью и временем поглощения на границах.

В экологии: моделирование роста населения

Пьер-Франсуа Ферхюльст (1804–1849)

Типичное применение логистического уравнения - это общая модель роста населения (см. Также динамика населения ), первоначально обусловленная Пьером-Франсуа Верхюльстом в 1838 году, когда скорость воспроизводства пропорциональна как существующей численности населения, так и количеству доступных ресурсов, при прочих равных. Уравнение Ферхюльста было опубликовано после того, как Ферхюльст прочитал Томас Мальтус 'Эссе о принципе численности населения, в котором описывается мальтузианская модель роста простой (неограниченной) экспоненциальной рост. Ферхюльст вывел свое логистическое уравнение для описания самоограничивающегося роста биологической популяции. Уравнение было переоткрыто в 1911 году А. G. McKendrick для роста бактерий в бульоне и экспериментально протестирован с использованием метода нелинейной оценки параметров. Уравнение также иногда называют уравнением Ферхульста-Перла после его повторного открытия в 1920 году Раймондом Перлом (1879–1940) и Лоуэллом Ридом (1888–1966) из Джонса. Университет Хопкинса. Другой ученый, Альфред Дж. Лотка снова вывел это уравнение в 1925 году, назвав его законом роста населения.

Если P {\ displaystyle P}Pобозначает размер популяции (вместо этого в экологии часто используется N {\ displaystyle N}N) и t {\ displaystyle t}tпредставляют время, эта модель формализована дифференциальным уравнением :

d P dt = r P (1 - PK), {\ displaystyle {\ frac { dP} {dt}} = rP \ left (1 - {\ frac {P} {K}} \ right),}{\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=rP\left(1-{\frac {P}{K}}\right),}

где константа r {\ displaystyle r}rопределяет скорость роста и K {\ displaystyle K}K- это несущая способность.

В уравнении ранняя, беспрепятственная скорость роста моделируется первым член + r P {\ displaystyle + rP}{\displaystyle +rP}. Значение коэффициента r {\ displaystyle r}rпредставляет собой пропорциональное увеличение населения P {\ displaystyle P}Pза одну единицу времени. Позже, по мере роста численности населения, модуль второго члена (умноженный на - r P 2 / K {\ displaystyle -rP ^ {2} / K}{\displaystyle -rP^{2}/K}) становится почти таким же большим в качестве первого, поскольку некоторые представители населения P {\ displaystyle P}Pмешают друг другу, конкурируя за какой-то критический ресурс, такой как еда или жизненное пространство. Этот антагонистический эффект называется узким местом и моделируется значением параметра K {\ displaystyle K}K. Конкуренция снижает совокупную скорость роста до тех пор, пока значение P {\ displaystyle P}Pне перестанет расти (это называется зрелостью популяции). Решение уравнения (где P 0 {\ displaystyle P_ {0}}P_{0}является исходной совокупностью):

P (t) = KP 0 ert K + P 0 (ert - 1) знак равно К 1 + (К - п 0 п 0) е - rt, {\ displaystyle P (t) = {\ frac {KP_ {0} e ^ {rt}} {K + P_ {0} \ left ( e ^ {rt} -1 \ right)}} = {\ frac {K} {1+ \ left ({\ frac {K-P_ {0}} {P_ {0}}} \ right) e ^ {- rt}}},}{\ displaystyle P (t) = {\ frac {KP_ {0} e ^ {rt}} {K + P_ {0} \ left (e ^ {rt} -1 \ right)}} = {\ frac {K} {1+ \ left ({\ frac {K-P_ {0}} {P_ {0}}} \ right) e ^ {- rt}}},}

где

lim t → ∞ P (t) = K. {\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} P (t) = K.}{\displaystyle \lim _{t\to \infty }P(t)=K.}

Это означает, что K {\ displaystyle K}Kявляется предельным значением P {\ displaystyle P}P: максимальное значение, которого может достичь популяция за бесконечное время (или близкое к достижению за конечное время). Важно подчеркнуть, что несущая способность достигается асимптотически независимо от начального значения P (0)>0 {\ displaystyle P (0)>0}{\displaystyle P(0)>0} , а также в случае, если P (0)>K {\ displaystyle P (0)>K}{\displaystyle P(0)>K} .

В экологии виды иногда обозначаются как r {\ displaystyle r}r-strategist или K {\ displaystyle K }K-стратеги в зависимости от выборочных процессов, которые сформировали их стратегии жизненного цикла. Выбор переменных размеров так, чтобы n {\ displaystyle n}n измерял популяцию в единицах пропускной способности, а τ {\ displaystyle \ tau}\tau измеряет время в единицах 1 / r {\ displaystyle 1 / r}1/r, дает безразмерное дифференциальное уравнение

dnd τ = n (1 - n). {\ displaystyle {\ frac {dn} {d \ tau}} = n (1-n).}{\displaystyle {\frac {dn}{d\tau }}=n(1-n).}

Изменяющаяся во времени пропускная способность

Поскольку условия окружающей среды влияют на пропускную способность, как следствие он может изменяться во времени: K (t)>0 {\ displaystyle K (t)>0}{\displaystyle K(t)>0} , что приводит к следующей математической модели:

d P dt = r P ⋅ (1 - PK (t)). {\ displaystyle {\ frac {dP} {dt}} = rP \ cdot \ left (1 - {\ frac {P} {K (t)}} \ right).}{\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=rP\cdot \left(1-{\frac {P}{K(t)}}\right).}

Особенно важный случай - это пропускная способность, которая периодически изменяется с периодом T {\ displaystyle T}T:

K (t + T) = K (t). {\ displaystyle K (t + T) = K (t).}{\displaystyle K(t+T)=K(t).}

Можно показать, что в таком случае независимо от начального значения P (0)>0 {\ displaystyle P (0)>0}{\displaystyle P(0)>0} , P (t) {\ displaystyle P (t)}P(t)будет стремиться к уникальному периодическому решению P ∗ (t) {\ displaystyle P _ {*} (t)}{\displaystyle P_{*}(t)}, период которого равен T {\ displaystyle T}T.

Типичное значение T {\ displaystyle T}Tсоставляет один год: в таком случае K (t) {\ displaystyle K (t)}K(t)может отражать периодические изменения погодных условий.

Еще одно интересное обобщение состоит в том, чтобы учесть, что пропускная способность K (t) {\ displaystyle K (t)}K(t)является функцией численности населения в более раннее время, фиксируя задержка в том, как население изменяет окружающую среду. Это приводит к уравнению логистической задержки, которое имеет очень богатое поведение с бистабильностью в некотором диапазоне параметров, а также монотонным спадом до нуля, плавным экспоненциальным ростом, прерывистым неограниченным ростом (то есть множественными S-образными формами), прерывистым ростом или чередование к стационарному уровню, колебательное приближение к стационарному уровню, устойчивые колебания, особенности за конечное время, а также за конечное время смерти.

В статистике и машинном обучении

Логистические функции используются в нескольких ролях в статистике. Например, это кумулятивная функция распределения из семейства распределений, и они, немного упрощенные, используются для моделирования шансов, что шахматист должен победить своего противника в рейтинговой системы Эло. Теперь следуют более конкретные примеры.

Логистическая регрессия

Логистические функции используются в логистической регрессии для моделирования вероятности p {\ displaystyle p}pсобытия могут быть затронуты одна или несколько независимых переменных : примером может быть модель

p = f (a + bx), {\ displaystyle p = f (a + bx),}{\displaystyle p=f(a+bx),}

, где x {\ displaystyle x}x- независимая переменная, a {\ displaystyle a}aи b {\ displaystyle b}b- параметры модели, которые необходимо подогнать, а f {\ displaystyle f}f- стандартная логистическая функция.

Логистическая регрессия и другие лог-линейные модели также широко используются в машинном обучении. Обобщение логистической функции на несколько входов - это функция активации softmax, используемая в полиномиальной логистической регрессии.

Еще одно применение логистической функции - в модели Раша, используется в теории ответа элемента. В частности, модель Раша формирует основу для оценки максимального правдоподобия местоположения объектов или людей в континууме на основе совокупностей категориальных данных, например способностей людей в континуум, основанный на ответах, которые были классифицированы как правильные и неправильные.

Нейронные сети

Логистические функции часто используются в нейронных сетях для введения нелинейности в модель или для ограничения сигналов в пределах указанного интервал. Популярный элемент нейронной сети вычисляет линейную комбинацию своих входных сигналов и применяет к результату ограниченную логистическую функцию; эту модель можно рассматривать как «сглаженный» вариант классического порогового нейрона.

Обычный выбор для функций активации или «раздавливания», используемых для ограничения больших значений, чтобы ограничить реакцию нейронной сети, это

g (h) = 1 1 + e - 2 β h, {\ displaystyle g (h) = {\ frac {1} {1 + e ^ {- 2 \ beta h}}},}{\displaystyle g(h)={\frac {1}{1+e^{-2\beta h}}},}

что является логистической функцией.

Эти отношения приводят к упрощенным реализациям искусственных нейронных сетей с искусственными нейронами. Практики предупреждают, что сигмоидальные функции, которые антисимметричны относительно начала координат (например, гиперболический тангенс ), приводят к более быстрой сходимости при обучении сетей с обратным распространением..

Логистическая функция сама по себе является производная другой предложенной функции активации, softplus.

В медицине: моделирование роста опухолей

Еще одно применение логистической кривой - в медицине, где логистическое дифференциальное уравнение используется для моделирования роста опухолей. опухоли. Это приложение можно рассматривать как расширение вышеупомянутого использования в рамках экологии (см. Также Обобщенную логистическую кривую, учитывающую больше параметров). Обозначая с помощью X (t) {\ displaystyle X (t)}X(t)размер опухоли в момент t {\ displaystyle t}t, ее динамика регулируется на

X ′ = r (1 - XK) X, {\ displaystyle X '= r \ left (1 - {\ frac {X} {K}} \ right) X,}{\displaystyle X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X,}

который относится к тип

X ′ = F (X) X, F ′ (X) ≤ 0, {\ displaystyle X '= F (X) X, \ quad F' (X) \ leq 0,}{\displaystyle X'=F(X)X,\quad F'(X)\leq 0,}

где F (X) {\ displaystyle F (X)}F(X)- скорость разрастания опухоли.

Если химиотерапия начинается с эффекта логарифмического уничтожения, уравнение может быть изменено на

X '= r (1 - XK) X - c (t) X, {\ displaystyle X' = r \ left (1 - {\ frac {X} {K}} \ right) Xc (t) X,}{\displaystyle X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X-c(t)X,}

где c (t) {\ displaystyle c (t)}c(t)- это уровень смертности, вызванной терапией. В идеализированном случае очень длительной терапии c (t) {\ displaystyle c (t)}c(t)можно смоделировать как периодическую функцию (периода T {\ displaystyle T}T) или (в случае непрерывной инфузионной терапии) как постоянную функцию, и мы имеем, что

1 T ∫ 0 T c (t) dt>r → lim t → + ∞ x (t) = 0, {\ displaystyle {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} c (t) \, dt>r \ to \ lim _ {t \ to + \ infty} x (t) = 0,}{\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}c(t)\,dt>r \ to \ lim _ {t \ to + \ infty} x (t) = 0,}

т.е. если средний уровень смертности, вызванной терапией, выше, чем исходный уровень распространения, то происходит искоренение болезнь. Конечно, это слишком упрощенная модель роста и терапии (например, она не принимает во внимание феномен клональной резистентности).

В медицине: моделирование пандемии

Новый инфекционный патоген, к которому у населения на ранних стадиях иммунитет обычно не распространяется экспоненциально, в то время как количество восприимчивых людей в изобилии. Вирус SARS-CoV-2, вызывающий COVID-19, демонстрировал экспоненциальный рост на ранних этапах инфицирования в нескольких странах в начале 2020 года. Многие факторы, в том числе отсутствие восприимчивых людей (либо в результате продолжающегося распространения инфекции пока он не преодолеет пороговое значение для коллективного иммунитета или уменьшения доступности восприимчивых за счет мер физического дистанцирования), экспоненциальные эпидемические кривые могут сначала линеаризоваться (воспроизводя «логарифмический» переход к «логистическому», впервые отмеченный Pierre-François Verhulst, как указано выше), а затем достигают максимального предела.

Логистическая функция или связанные функции (например, функция Гомперца ) обычно используются в описательным или феноменологическим образом, поскольку они хорошо подходят не только для раннего экспоненциального роста, но и для возможного выравнивания пандемии по мере того, как у населения развивается коллективный иммунитет. Это контрастирует с реальными моделями пандемий, которые пытаются сформулировать описание на основе динамики пандемии (например, частота контактов, время инкубации, социальное дистанцирование и т. Д.). Однако были разработаны некоторые простые модели, которые дают логистическое решение.

.

Обобщенная логистическая функция (кривая роста Ричардса) в эпидемиологическом моделировании

. A обобщенная логистическая функция, также называемая кривой роста Ричардса, является широко используется при моделировании траекторий заражения COVID-19. Траектория заражения - это ежедневные временные ряды данных для совокупного числа инфицированных случаев для такого субъекта, как страна, город, штат и т. Д. В литературе есть варианты перенараметрирования: одна из часто используемых форм -

f (t ; θ 1, θ 2, θ 3, ξ) знак равно θ 1 [1 + ξ ⋅ exp ⁡ {- θ 2 ⋅ (t - θ 3)}] 1 / ξ {\ displaystyle f (t; \ theta _ {1 }, \ theta _ {2}, \ theta _ {3}, \ xi) = {\ frac {\ theta _ {1}} {[1+ \ xi \ cdot \ exp \ {- \ theta _ {2} \ cdot (t- \ theta _ {3}) \}] ^ {1 / \ xi}}}}{\displaystyle f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi)={\frac {\theta _ {1}}{[1+\xi \cdot \exp\{-\theta _{2}\cdot (t-\theta _{3})\}]^{1/\xi }}}}

где θ 1, θ 2, θ 3 {\ displaystyle \ theta _ {1}, \ theta _ {2}, \ theta _ {3}}{\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}- действительные числа, а ξ {\ displaystyle \ xi}\xi - положительное действительное число. Гибкость кривой f {\ displaystyle f}fобусловлена ​​параметром ξ {\ displaystyle \ xi}\xi : (i) if ξ = 1 {\ displaystyle \ xi = 1}{\displaystyle \xi =1}, тогда кривая сводится к логистической функции, и (ii) если ξ {\ displaystyle \ xi}\xi сходится к нулю, тогда кривая сходится к функции Гомпертца. В эпидемиологическом моделировании θ 1 {\ displaystyle \ theta _ {1}}\ theta _ {1} , θ 2 {\ displaystyle \ theta _ {2}}\theta _{2}и θ 3 {\ displaystyle \ theta _ {3}}{\displaystyle \theta _{3}}представляют окончательный размер эпидемии, уровень инфицирования и лаг-фазу, соответственно. На правой панели показан пример траектории заражения, когда (θ 1, θ 2, θ 3) {\ displaystyle (\ theta _ {1}, \ theta _ {2}, \ theta _ {3})}{\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})}обозначаются (10, 000, 0.2, 40) {\ displaystyle (10,000,0.2,40)}{\displaystyle (10,000,0.2,40)}.

Одно из преимуществ использования функции роста, такой как обобщенная логистическая функция в эпидемиологическом моделировании - это его относительно простое расширение до структуры многоуровневой модели с помощью функции роста для описания траекторий заражения от нескольких субъектов (стран, городов, штатов и т. Д.). Такую структуру моделирования также можно широко называть нелинейной моделью смешанных эффектов или иерархической нелинейной моделью. Примером использования обобщенной логистической функции в байесовской многоуровневой модели является байесовская иерархическая модель Ричардса.

В химии: модели реакций

Концентрация реагентов и продуктов в автокаталитические реакции следуют логистической функции. Разложение безметаллового (без МПГ) катализатора реакции восстановления кислорода (ORR) платиновой группы в катодах топливных элементов следует за функцией логистического распада, предполагая механизм автокаталитического разложения.

В физике: распределение Ферми – Дирака

Логистическая функция определяет статистическое распределение фермионов по энергетическим состояниям системы в тепловом равновесии. В частности, это распределение вероятностей того, что каждый возможный уровень энергии занят фермионом, согласно статистике Ферми – Дирака.

В материаловедении: Фазовые диаграммы

Диффузионная связь.

В лингвистике: изменение языка

В лингвистике логистическая функция может использоваться для моделирования языкового изменения : нововведение, которое сначала является маргинальным, начинает распространяться быстрее со временем, а затем медленнее по мере того, как более универсально принят.

В сельском хозяйстве: моделирование реакции растений

Логистическая S-кривая может использоваться для моделирования реакции культуры на изменения факторов роста. Есть два типа функций отклика: положительные и отрицательные кривые роста. Например, урожайность сельскохозяйственных культур может увеличиваться с увеличением значения фактора роста до определенного уровня (положительная функция) или снижаться с увеличением значений фактора роста (отрицательная функция из-за отрицательного фактора роста), что требует инвертированного S-образная кривая.

Логистическая S-кривая может использоваться для моделирования связи между урожайностью сельскохозяйственных культур и глубиной уровня грунтовых вод в почве.. Инвертированная логистическая S-кривая может может использоваться для моделирования взаимосвязи между урожайностью и засолением почвы. Модель S-кривой для зависимости урожайности от глубины водоема. Модель перевернутой S-кривой для зависимости урожайности от засоления почвы.

В экономика и социология: распространение инноваций

Логистическая функция может использоваться для иллюстрации прогресса распространения инновации на протяжении ее жизненного цикла.

В «Законах подражания» (1890) Габриэль Тард описывает возникновение и распространение новых идей через цепочки подражания. В частности, Тард выделяет три основных этапа, через которые распространяются инновации: первый соответствует сложным начинаниям, во время которых идея должна бороться во враждебной среде, полной противоположных привычек и убеждений; второй соответствует экспоненциальному взлету идеи: f (x) = 2 x {\ displaystyle f (x) = 2 ^ {x}}{\displaystyle f(x)=2^{x}}; наконец, третий этап является логарифмическим, с f (x) = log ⁡ (x) {\ displaystyle f (x) = \ log (x)}{\ displaystyle f (x) = \ log (x)} , и соответствует времени, когда импульс идеи постепенно замедляется, одновременно появляются новые идеи оппонента. Возникающая в результате ситуация останавливает или стабилизирует прогресс инновации, которая приближается к асимптоте.

В Суверенном государстве субнациональные единицы (Составляющие штаты или города) могут использовать ссуды для финансирования своих проектов. Однако этот источник финансирования обычно подчиняется строгим правовым нормам, а также ограничениям экономии дефицита, особенно ресурсов, которые банки могут предоставить в ссуду (из-за их капитала или Базель пределы). Эти ограничения, которые представляют собой уровень насыщения, наряду с экспоненциальным ростом экономической конкуренции за деньги, создают государственные финансы распространение просьб о предоставлении кредита, и совокупный национальный ответ составляет сигмовидная кривая.

В истории экономики, когда появляются новые продукты, проводится интенсивный объем исследований и разработок, которые приводят к значительному повышению качества и снижению затрат. Это приводит к периоду быстрого роста отрасли. Некоторые из наиболее известных примеров: железные дороги, лампы накаливания, электрификация, автомобили и авиаперелеты. В конце концов, возможности кардинального улучшения и сокращения затрат исчерпаны, продукт или процесс широко используются, и остается мало потенциальных новых клиентов, а рынки насыщаются.

Логистический анализ использовался в статьях нескольких исследователей из Международного института прикладного системного анализа (IIASA ). Эти документы касаются распространения различных инноваций, инфраструктуры и замены источников энергии, а также роли труда в экономике, а также длинного экономического цикла. Длинные экономические циклы были исследованы Робертом Эйресом (1989). Чезаре Маркетти опубликовал статьи о длительных экономических циклах и о распространении инноваций. Книга Арнульфа Грюблера (1990) дает подробный отчет о распространении инфраструктуры, включая каналы, железные дороги, шоссе и авиалинии, показывая, что их распространение следовало кривым логистической формы.

Карлота Перес использовала логистическую кривую, чтобы проиллюстрировать длинные ( Кондратьев ) бизнес-цикл со следующими ярлыками: начало технологической эры как вторжение, восхождение как безумие, быстрое развитие как синергия и завершение как зрелость.

См. Также

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с Логистическими функциями.
Последняя правка сделана 2021-05-28 05:34:32
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте