Гиперфункция

В математике, гиперфункции являются обобщение функций, как «прыжок» из одной голоморфной функции к другому на границе, и можно рассматривать неформально распределения бесконечного порядка. Гиперфункции были введены Микио Сато в 1958 году на японском языке ( 1959, 1960 на английском языке), основываясь на более ранних работах Лорана Шварца, Гротендика и других.

• 1 Состав
  • 1.1 Определение в одном измерении
• 2 Примеры
• 3 Операции над гиперфункциями
• 4 См. Также
• 5 ссылки
• 6 Внешние ссылки

Гиперфункцию на действительной прямой можно представить как «различие» между одной голоморфной функцией, определенной на верхней полуплоскости, и другой на нижней полуплоскости. То есть гиперфункция задается парой ( f,  g), где f - голоморфная функция на верхней полуплоскости, а g - голоморфная функция на нижней полуплоскости.

Неформально гиперфункция - это разница в самой реальной линии. На это различие не влияет добавление одной и той же голоморфной функции как к f, так и к g, поэтому, если h является голоморфной функцией на всей комплексной плоскости, гиперфункции ( f,  g) и ( f  +  h,  g  +  h) определяются как быть эквивалентным. ${\ displaystyle fg}$

Определение в одном измерении

Мотивация может быть конкретно реализована с использованием идей из когомологий пучков. Пусть будет пучок из голоморфных функций на Определим гиперфункции на реальной линии в качестве первой локальной гомологии группы: ${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$

${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}) = H _ {\ mathbb {R}} ^ {1} (\ mathbb {C}, {\ mathcal {O}}).}$

Конкретно, пусть и - верхняя полуплоскость и нижняя полуплоскость соответственно. Тогда так ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {+}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {-}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {+} \ чашка \ mathbb {C} ^ {-} = \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle H _ {\ mathbb {R}} ^ {1} (\ mathbb {C}, {\ mathcal {O}}) = \ left [H ^ {0} (\ mathbb {C} ^ {+}, {\ mathcal {O}}) \ oplus H ^ {0} (\ mathbb {C} ^ {-}, {\ mathcal {O}}) \ right] / H ^ {0} (\ mathbb {C}, {\ mathcal {O}}).}$

Так как группа нулевых когомологий любого пучка - это просто глобальные сечения этого пучка, мы видим, что гиперфункция - это пара голоморфных функций, по одной на верхней и нижней комплексных полуплоскостях по модулю целых голоморфных функций.

В более общем смысле для любого открытого набора можно определить частное, где находится любое открытое множество с. Можно показать, что это определение не зависит от выбора другой причины думать о гиперфункциях как о «граничных значениях» голоморфных функций. ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (U)}$${\ Displaystyle U \ substeq \ mathbb {R}}$${\ displaystyle H ^ {0} ({\ tilde {U}} \ setminus U, {\ mathcal {O}}) / H ^ {0} ({\ tilde {U}}, {\ mathcal {O}})}$${\ Displaystyle {\ тильда {U}} \ substeq \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle {\ тильда {U}} \ cap \ mathbb {R} = U}$${\ displaystyle {\ tilde {U}}}$

• Если f - любая голоморфная функция на всей комплексной плоскости, то ограничение f на действительную ось является гиперфункцией, представленной либо ( f, 0), либо (0, - f).
• Функция Хевисайда можно представить в виде $${\ displaystyle H (x) = \ left (1 - {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ log (z), - {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ log (z)\верно).}$$ где это главное значение комплексного логарифма от г.${\ Displaystyle \ журнал (г)}$
• Дельта «функция» Дирак представлена $${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {1} {2 \ pi iz}}, {\ tfrac {1} {2 \ pi iz}} \ right).}$$ На самом деле это повторение интегральной формулы Коши. Чтобы проверить это, можно вычислить интегрирование f чуть ниже реальной линии и вычесть интегрирование g чуть выше реальной линии - слева направо. Обратите внимание, что гиперфункция может быть нетривиальной, даже если компоненты являются аналитическим продолжением одной и той же функции. Также это можно легко проверить, дифференцируя функцию Хевисайда.
• Если g - непрерывная функция (или, в более общем смысле, распределение ) на вещественной прямой с носителем, содержащимся в ограниченном интервале I, то g соответствует гиперфункции ( f, - f), где f - голоморфная функция на дополнении к I определяется $${\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {x \ in I} g (x) {\ frac {1} {zx}} \, dx.}$$ Эта функция f подскакивает в значении на g ( x) при пересечении вещественной оси в точке x. Формула для f следует из предыдущего примера, записав g как свертку самой себя с дельта-функцией Дирака.
• Используя разбиение единицы, любую непрерывную функцию (распределение) можно записать в виде локально конечной суммы функций (распределений) с компактным носителем. Это может быть использовано для расширения вышеупомянутого вложения до вложения.${\ displaystyle \ textstyle {\ mathcal {D}} '(\ mathbb {R}) \ to {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}).}$
• Если f - любая функция, голоморфная всюду, кроме существенной особенности в 0 (например, e ^{1 / z}), то это гиперфункция с носителем 0, которая не является распределением. Если f имеет полюс конечного порядка в 0, тогда это распределение, поэтому, когда f имеет существенную особенность, тогда выглядит как «распределение бесконечного порядка» в 0. (Обратите внимание, что распределения всегда имеют конечный порядок в любой точке.)${\ displaystyle (f, -f)}$ ${\ displaystyle (f, -f)}$${\ displaystyle (f, -f)}$

Позвольте быть любое открытое подмножество. ${\ Displaystyle U \ substeq \ mathbb {R}}$

• По определению - это векторное пространство, в котором хорошо определены сложение и умножение с комплексными числами. Ясно:${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (U)}$ $${\ displaystyle a (f _ {+}, f _ {-}) + b (g _ {+}, g _ {-}): = (af _ {+} + bg _ {+}, af _ {-} + bg _ {-})}$$
• Очевидные ограничительные карты превращаются в пучок (который на самом деле дряблый ).${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$
• Умножение на вещественные аналитические функции и дифференцирование четко определены:${\ displaystyle h \ in {\ mathcal {O}} (U)}$ $${\ displaystyle {\ begin {align} h (f _ {+}, f _ {-}) amp;: = (hf _ {+}, hf _ {-}) \\ [6pt] {\ frac {d} {dz}} (f _ {+}, f _ {-}) amp;: = \ left ({\ frac {df _ {+}} {dz}}, {\ frac {df _ {-}} {dz}} \ right) \ end { выровнено}}}$$ Благодаря этим определениям становится D-модулем, а вложение - морфизмом D-модулей.${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (U)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} '\ hookrightarrow {\ mathcal {B}}}$
• Точка называется голоморфной точкой в случае ограничивает к реальной аналитической функции в некоторых малых окрестностях If два -голоморфных точек, то интегрирование хорошо определенно:${\ displaystyle a \ in U}$${\ displaystyle f \ in {\ mathcal {B}} (U)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a.}$${\ displaystyle a \ leqslant b}$ $${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f: = - \ int _ {\ gamma _ {+}} f _ {+} (z) \, dz + \ int _ {\ gamma _ {-}} f_ {-} (z) \, dz}$$ где - произвольные кривые с. Интегралы не зависят от выбора этих кривых, поскольку верхняя и нижняя полуплоскости односвязны. ${\ displaystyle \ gamma _ {\ pm}: [0,1] \ to \ mathbb {C} ^ {\ pm}}$${\ displaystyle \ gamma _ {\ pm} (0) = a, \ gamma _ {\ pm} (1) = b.}$
• Позвольте быть пространство гиперфункций с компактным носителем. Через билинейную форму${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {c} (U)}$ $${\ displaystyle {\ begin {case} {\ mathcal {B}} _ {c} (U) \ times {\ mathcal {O}} (U) \ to \ mathbb {C} \\ (f, \ varphi) \ mapsto \ int f \ cdot \ varphi \ end {case}}}$$ один сопоставляет каждому гиперфункции с компактным носителем непрерывной линейная функции на Это вызывает идентификацию сопряженного пространства, с особым случай, стоит рассмотреть случай непрерывных функций или распределений с компактным носителем: Если рассматривать (или) как подмножество с помощью указанного выше вложения, то это точно вычисляет традиционный интеграл Лебега. Кроме того: если - распределение с компактным носителем, - вещественная аналитическая функция, а затем${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (U).}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} '(U),}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {c} (U).}$${\ displaystyle C_ {c} ^ {0} (U)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} '(U)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (U)}$${\ Displaystyle и \ в {\ mathcal {E}} '(U)}$${\ displaystyle \ varphi \ in {\ mathcal {O}} (U)}$${\ Displaystyle \ OperatorName {supp} (и) \ подмножество (а, б)}$ $${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} u \ cdot \ varphi = \ langle u, \ varphi \ rangle.}$$ Таким образом, это понятие интеграции придает точный смысл формальным выражениям типа $${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ delta (x) \, dx}$$ которые в обычном смысле не определены. Более того: поскольку вещественные аналитические функции плотны в подпространстве. Это альтернативное описание того же вложения.${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} (U), {\ mathcal {E}} '(U)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} '(U)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} '\ hookrightarrow {\ mathcal {B}}}$
• Если это реальная аналитическая карта между открытыми наборами, то композиция с является четко определенным оператором от до:${\ displaystyle \ Phi: U \ to V}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (V)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (U)}$ $${\ Displaystyle f \ circ \ Phi: = (f _ {+} \ circ \ Phi, f _ {-} \ circ \ Phi)}$$

• Алгебраический анализ
• Обобщенная функция
• Распределение (математика)
• Микролокальный анализ
• Псевдодифференциальный оператор
• Когомологии пучков

• Имаи, Исао (2012) [1992], Прикладная теория гиперфункций, математика и ее приложения (книга 8), Springer, ISBN   978-94-010-5125-5.
• Канеко, Акира (1988), Введение в теорию гиперфункций, математику и ее приложения (книга 3), Springer, ISBN   978-90-277-2837-1
• Кашивара, Масаки ; Кавай, Такахиро; Кимура, Тацуо (2017) [1986], Основы алгебраического анализа, Принстонская библиотека наследия (книга 5158), PMS-37, перевод Като, Горо (переиздание), Princeton University Press, ISBN   978-0-691-62832-5
• Комацу, Хикосабуро, изд. (1973), Гиперфункции и псевдодифференциальные уравнения, Труды конференции в Катате, 1971, Лекционные заметки по математике 287, Springer, ISBN   978-3-540-06218-9.
  • Комацу, Хикосабуро, Относительные когомологии пучков решений дифференциальных уравнений, стр. 192–261..
  • Сато, Микио; Кавай, Такахиро; Касивара, Масаки, Микрофункции и псевдодифференциальные уравнения, стр. 265–529.. - Это называется СКК.
• Мартино, Андре (1960–1961), Les hyperfonctions de M. Sato, Séminaire Bourbaki, Tome 6 (1960–1961), Exposé no. 214, MR   1611794, Zbl   0122.34902.
• Моримото, Мицуо (1993), Введение в гиперфункции Сато, Переводы математических монографий (Книга 129), Американское математическое общество, ISBN   978-0-82184571-4.
• Фам, Флорида, изд. (1975), гиперфункции и теоретическая физика, Rencontre de Nice, 21-30 мая 1973 г., лекции по математике 449, Springer, ISBN   978-3-540-37454-1.
  • Сересо, А.; Piriou, A.; Чазарайн Дж. Введение в гиперфункции, стр. 1–53..
• Сато, Mikio (1958), "Cyōkansū нет riron (Теория гиперфункции)", Sūgaku (на японском языке), математическое общество Японии, 10 (1): 1-27, DOI : 10,11429 / sugaku1947.10.1, ISSN   0039-470X
• Сато, Микио (1959), «Теория гиперфункций, I», журнал факультета естественных наук Токийского университета. Разд. 1. Математика, астрономия, физика, химия, 8 (1): 139–193, hdl : 2261/6027, MR   0114124.
• Сато, Микио (1960), "Теория гиперфункций, II", журнал факультета естественных наук Токийского университета. Разд. 1, Математика, астрономия, физика, химия, 8 (2): 387–437, hdl : 2261/6031, MR   0132392.
• Шапира, Пьер (1970), Теории гиперфункций, Лекционные заметки по математике 126, Springer, ISBN   978-3-540-04915-9.
• Schlichtkrull, Henrik (2013) [1984], Гиперфункции и гармонический анализ на симметричных пространствах, Progress in Mathematics (Перепечатка оригинального 1-го издания в мягкой обложке), Springer, ISBN   978-1-4612-9775-8

• Джейкобс, Брайан. «Гиперфункция». MathWorld.
• Канеко, А. (2001) [1994], «Гиперфункция», Энциклопедия математики, EMS Press