Комплексный логарифм

редактировать

Логарифм комплексного числа

Отдельная ветвь комплексного логарифма. оттенок цвета используется для отображения arg (полярный координатный угол) комплексного логарифма. Насыщенность и значение (интенсивность и яркость) цвета используются для отображения модуля комплексного логарифма.

В комплексном анализе, комплексный логарифм ненулевого комплексного числа z, обозначенного w = log z, определяется как любое комплексное число w, для которого e = z. Эта конструкция аналогична реальной логарифмической функции ln, которая является обратной действительной экспоненциальной функции e, удовлетворяющей условию e = x для положительных действительных чисел x.

Если ненулевое комплексное число z задано в полярной форме как z = re (действительные числа r и θ, с r>0), то w 0 = ln (r) + iθ - один логарифм z. Поскольку z = re точно для всех целых k, добавление целых чисел, кратных 2π, к аргументу θ дает все числа, являющиеся логарифмами z:

wk= ln (r) + i (θ + 2kπ).

Все эти комплексные логарифмы z находятся на вертикальной прямой в комплексной плоскости с вещественной частью ln (r).

Поскольку у любого ненулевого комплексного числа бесконечно много комплексных логарифмов, комплексный логарифм не может быть определен как однозначная функция для комплексных чисел, а только как многозначная функция. Настройки для формальной обработки этого, среди прочего, связаны с римановой поверхностью, ветвями или частичными обратными комплексной экспоненциальной функции .

Иногда при обращении к комплексному логарифму используется обозначение ln вместо log.

Содержание

1 Проблемы с обращением комплексной экспоненциальной функции
2 Определение главного значения
3 Ответвления комплексного логарифма
- 3.1 Разрезы ветвей
- 3.2 Производная комплексного логарифма
- 3.3 Построение ветвей посредством интегрирования
4 Комплексный логарифм как конформное отображение
5 Ассоциированная риманова поверхность
- 5.1 Построение
- 5.2 Функция логарифма на римановой поверхности
- 5.3 Склеивание всех ветвей логарифма z
- 5.4 Риманова поверхность как универсальная оболочка
6 Приложения
7 Обобщения
- 7.1 Логарифмы для других оснований
- 7.2 Логарифмы голоморфных функций
8 См. также
9 Примечания
10 Список литературы

Проблемы с обращением комплексной экспоненциальной функции

График многозначной мнимой части функции комплексного логарифма, показывающий ветви. Когда комплексное число z обходит начало координат, мнимая часть логарифма увеличивается или уменьшается. Это делает исходную точку точкой ветвления функции.

Чтобы функция имела обратный, она должна отображать различные значения в различные значения, которые есть, это должно быть инъективное. Но комплексная экспоненциальная функция не является инъективной, потому что e = e для любого w, поскольку добавление iθ к w приводит к вращению e против часовой стрелки на θ радиан. Итак, точки

…, w - 4 π i, w - 2 π i, w, w + 2 π i, w + 4 π i,…, {\ displaystyle \ ldots, \; w-4 \ pi i, \; w-2 \ pi i, \; w, \; w + 2 \ pi i, \; w + 4 \ pi i, \; \ ldots,}

\ ldots, \; w-4 \ pi i, \; w-2 \ pi i, \; w, \; w + 2 \ pi i, \ ; вес + 4 \ пи я, \; \ ldots,

на равном расстоянии вдоль вертикальной линии, все отображается на то же число экспоненциальной функцией. Это означает, что экспоненциальная функция не имеет обратной функции в стандартном смысле. Есть два решения этой проблемы.

Один состоит в том, чтобы ограничить область экспоненциальной функции областью, которая не содержит никаких двух чисел, различающихся на целое число, кратное 2πi: это естественным образом приводит к определению ветвей журнала z, которые представляют собой определенные функции, которые выделяют один логарифм каждого числа в своей области. Это аналогично определению arcsin x на [−1, 1] как обратному ограничению sin θ на интервал [−π / 2, π / 2]. : существует бесконечно много действительных чисел θ с sin θ = x, но один произвольно выбирает одно из [−π / 2, π / 2].

Другой способ устранить неопределенность - это рассматривать логарифм как функцию, домен которой не является областью на комплексной плоскости , а является римановой поверхностью, которая покрывает проколотую комплексную плоскость бесконечным числом к 1.

Преимущество ветвей в том, что их можно вычислять комплексными числами. С другой стороны, функция на римановой поверхности элегантна тем, что объединяет все ветви логарифма и не требует произвольного выбора в качестве части своего определения.

Определение главного значения

Для каждого ненулевого комплексного числа z = x + yi главное значение Log z - это логарифм, мнимая часть которого лежит в интервале (−π, π]. Выражение Log 0 остается неопределенным, так как не существует комплексного числа w, удовлетворяющего e = 0.

Главное значение можно описать и другими способами.

Чтобы дать формулу для Log z, начните с выражения z в полярной форме, z = re. Для данного z полярная форма не совсем уникальна из-за возможности добавления целого числа кратное 2π на θ, но его можно сделать уникальным, потребовав, чтобы θ лежал в интервале (−π, π]; это θ называется главным значением аргумента и иногда записывается как Arg z или (особенно в компьютерных языках) atan2 (y, x), что согласуется с arctan (y / x), когда x>0, но дает правильное значение для любого (x, y) ≠ (0, 0 Тогда главное значение логарифма можно определить как

Log ⁡ z = ln ⁡ r + i θ = ln ⁡ | z | + i Arg ⁡ z знак равно ln ⁡ x 2 + y 2 + i atan2 ⁡ (y, x). {\ displaystyle \ operatorname {Log} z = \ ln r + i \ theta = \ ln | z | + i \ operatorname {Arg} z = \ ln {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}} } + i \ operatorname {atan2} (y, x).}

{\ displaystyle \ operatorname {Log} z = \ ln r + i \ theta = \ ln | z | + i \ operatorname {Arg} z = \ ln {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} + i \ operatorname {atan2} (y, x).}

Например, Log (-3i) = ln 3 - πi / 2.

Другой способ описать Log z - это обратный ограничению комплексной экспоненциальной функции, как в предыдущем разделе. Горизонтальная полоса S, состоящая из комплексных чисел w = x + yi, таких что −π < y ≤ π is an example of a region not containing any two numbers differing by an integer multiple of 2πi, so the restriction of the exponential function to S has an inverse. In fact, the exponential function maps S биективно на проколотую комплексную плоскость $C × = C ∖ {0} {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ { \ times} = \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ times} = \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$ , а обратное этому ограничению - $Log: C × → S {\ displaystyle \ operatorname {Log} \ двоеточие \ mathbb {C} ^ {\ times} \ to S}$ $\ operatorname {Log} \ двоеточие \ mathbb {C} ^ \ раз \ к S$ . Раздел конформного отображения ниже объясняет геометрические свойства этой карты более подробно.

Когда журнал записи z появляется без указания какого-либо конкретного логарифма, обычно лучше предположить, что задано главное значение. В частности, это дает значение, согласующееся с действительным значением ln z, когда z - положительное действительное число. Некоторые авторы используют заглавные буквы в обозначении Log, чтобы отличить главное значение от других логарифмов z.

Не все тождества, удовлетворяемые ln, распространяются на комплексные числа. Верно, что e = z для всех z ≠ 0 (это означает, что Log z является логарифмом z), но тождество Log e = z не выполняется для z за пределами полосы S. По этой причине нельзя всегда применяйте Log к обеим сторонам тождества e = e, чтобы вывести z = w. Кроме того, тождество Log (z 1z2) = Log z 1 + Log z 2 может потерпеть неудачу: две стороны могут отличаться на целое число, кратное 2πi: например,

журнал ⁡ ((- 1) я) = журнал ⁡ (- я) = пер ⁡ (1) - π я 2 = - π я 2, {\ Displaystyle \ OperatorName {Log} ((-1) я) = \ operatorname {Log} (-i) = \ ln (1) - {\ frac {\ pi i} {2}} = - {\ frac {\ pi i} {2}},}

\ operatorname {Log} ((- 1) i) = \ operatorname {Log} (- i) = \ ln (1) - \ frac {\ pi i} {2} = - \ frac {\ pi i} {2},

но

Журнал ⁡ (- 1) + Журнал ⁡ (i) = (ln ⁡ (1) + π i) + (ln ⁡ (1) + π i 2) = 3 π i 2 ≠ - π i 2. {\ displaystyle \ Operatorname {Log} (-1) + \ Operatorname {Log} (i) = \ left (\ ln (1) + \ pi i \ right) + \ left (\ ln (1) + {\ frac {\ pi i} {2}} \ right) = {\ frac {3 \ pi i} {2}} \ neq - {\ frac {\ pi i} {2}}.}

\ operatorname {Log} (- 1) + \ operatorname {Log} (i) = \ left (\ ln (1) + \ pi i \ right) + \ left (\ ln (1) + \ frac {\ pi i} {2} \ right) = \ frac {3 \ pi i} {2} \ ne - \ frac {\ pi i} {2 }.

Функция Log z прерывистый для каждого отрицательного действительного числа, но непрерывный везде в $C × {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ times}}$ $\ mathbb {C} ^ \ times$ . Чтобы объяснить разрыв, рассмотрим, что происходит с Arg z, когда z приближается к отрицательному действительному числу a. Если z приближается к a сверху, тогда Arg z приближается к π, что также является значением самого Arg a. Но если z приближается к a снизу, то Arg z приближается к −π. Таким образом, Arg z "прыгает" на 2π, когда z пересекает отрицательную действительную ось, и аналогично Log z перескакивает на 2πi.

Ветви комплексного логарифма

Есть ли другой способ выбрать логарифм каждого ненулевого комплексного числа, чтобы сделать функцию L (z) непрерывной на всех $С × {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ times}}$ $\ mathbb {C} ^ \ times$ ? Ответ - нет. Чтобы понять, почему, представьте себе отслеживание такой логарифмической функции вдоль единичной окружности , оценивая L в точке e по мере увеличения θ от 0 до 2π. Для простоты предположим, что начальное значение L (1) равно 0. Тогда для того, чтобы L (z) был непрерывным, L (e) должен согласовываться с iθ при увеличении θ (разница является непрерывной функцией θ, принимающей значения в дискретных установить $2 π я Z {\ displaystyle 2 \ pi i \ mathbb {Z}}$ $2 \ pi i \ mathbb {Z}$ ). В частности, L (e) = 2πi, но e = 1, поэтому это противоречит L (1) = 0.

Чтобы получить непрерывный логарифм, определенный на комплексных числах, необходимо ограничить область определения до меньшее подмножество U комплексной плоскости. Поскольку одна из целей состоит в том, чтобы иметь возможность различать функцию, разумно предположить, что функция определена в окрестности каждой точки своей области; другими словами, U должно быть открытым множеством. Кроме того, разумно предположить, что U связан с, поскольку в противном случае значения функций на разных компонентах U могут не быть связаны друг с другом. Все это мотивирует следующее определение:

A ветвь log z - это непрерывная функция L (z), определенная на связном открытом подмножестве U комплексной плоскости, такая что L (z) - это логарифм z для каждого z в U.

Например, главное значение определяет ветвь на открытом множестве, где оно непрерывно, а это множество $C - R ≤ 0 {\ displaystyle \ mathbb {C} - \ mathbb {R} _ {\ leq 0}}$ $\ mathbb {C} - \ mathbb {R} _ {\ le 0}$ , полученный удалением 0 и всех отрицательных действительных чисел из комплексной плоскости.

Другой пример: ряд Меркатора

ln ⁡ (1 + u) = ∑ n = 1 ∞ (- 1) n + 1 nun = u - u 2 2 + u 3 3 - ⋯ {\ displaystyle \ ln (1 + u) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} u ^ {n} = u - {\ frac {u ^ {2}} {2}} + {\ frac {u ^ {3}} {3}} - \ cdots}

{\ displaystyle \ ln (1 + u) = \ sum _ {n = 1} ^ { \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} u ^ {n} = u - {\ frac {u ^ {2}} {2}} + {\ frac {u ^ {3}} {3}} - \ cdots}

сходится локально равномерно для | u | < 1, so setting z = 1+u defines a branch of log z on the open disk of radius 1 centered at 1. (Actually, this is just a restriction of Log z, as can be shown by differentiating the difference and comparing values at 1.)

После того, как ветвь зафиксирована, ее можно обозначить как «log z», если это не приведет к путанице. Однако разные ветви могут давать разные значения для логарифма конкретного комплексного числа, поэтому ветвь должна быть зафиксирована заранее (иначе необходимо понять главную ветвь), чтобы «log z» имел точное однозначное значение.

Отрезки ветвей

Приведенный выше аргумент, касающийся единичной окружности, обобщает, чтобы показать, что нет ветви log z на открытом множестве U, содержащем замкнутую кривую, которая закручивает вокруг 0. Чтобы опровергнуть этот аргумент, U обычно выбирается как дополнение луча или кривой на комплексной плоскости, идущей от 0 (включительно) до бесконечности в каком-то направлении. В этом случае кривая называется отрезком ответвления . Например, у главной ветви есть ветвь, разрезанная вдоль отрицательной действительной оси.

Если функцию L (z) расширить до определения в точке сечения ветви, она обязательно будет здесь разрывной; в лучшем случае он будет непрерывным «с одной стороны», как Log z с отрицательным действительным числом.

Производная комплексного логарифма

Каждая ветвь L (z) log z на открытом множестве U является обратной по отношению к ограничению экспоненциальной функции, а именно ограничению изображения U под L. Поскольку экспоненциальная функция голоморфна (то есть комплексно дифференцируема) с отличной от нуля производной, применяется комплексный аналог теоремы об обратной функции . Это показывает, что L (z) голоморфна в каждом z в U и L ′ (z) = 1 / z. Другой способ доказать это - проверить уравнения Коши – Римана в полярных координатах.

Построение ветвей интегрированием

Функция $ln ⁡ (x) {\ displaystyle \ ln (x) }$ $\ ln (x)$ для $x>0 {\ displaystyle x>0}$ $x>0$ можно построить по формуле

ln ⁡ (x) = ∫ 1 xduu. {\ displaystyle \ ln (x) = \ int _ {1} ^ {x} {\ frac {du} {u}}.}

{\ displaystyle \ ln (x) = \ int _ {1} ^ {x} {\ frac {du} {u}}.}

Если бы диапазон интегрирования начинался с положительного числа a, отличного от 1, формула должна была бы иметь вид

ln x (x) = пер (а) + ∫ axduu {\ displaystyle \ ln (x) = \ ln (a) + \ int _ {a} ^ {x} {\ frac {du} {u}}}

{\ displaystyle \ ln (x) = \ ln (a) + \ int _ {a} ^ {x} {\ frac {du} {u}}}

вместо.

При разработке аналога комплексного логарифма возникает дополнительная сложность: определение комплексного интеграла требует выбора пути. К счастью, если подынтегральное выражение голоморфно, то значение интеграла не меняется редактируется посредством деформации пути (при удерживании конечных точек фиксированными), и в односвязной области U (области без «отверстий») любой путь от a до z внутри U может быть непрерывно деформируемым внутри U в любое другое. Все это приводит к следующему:

Если U является односвязным открытым подмножеством

C {\ displaystyle \ mathbb {C}}

\ mathbb {C}

, не содержащим 0, то ветвь журнала z, заданная на U, может быть построена путем выбора начальной точки a в U, выбора логарифма b числа a и определения

L (z) = b + ∫ azdww {\ displaystyle L (z) = b + \ int _ {a} ^ {z} {\ frac {dw} {w}}}

{\ displaystyle L (z) = b + \ int _ {a} ^ {z} {\ frac {dw} {w}}}

для каждого z в U.

Комплексный логарифм как конформное отображение

Круги Re (Log z) = константа и лучи Im (Log z) = константа в комплексной плоскости Z.

Любое голоморфное отображение $f: U → C {\ displaystyle f \ двоеточие U \ to \ mathbb {C}}$ $f \ двоеточие U \ to \ mathbb {C}$ удовлетворение $f '(z) ≠ 0 {\ displaystyle f' (z) \ neq 0}$ $f'(z) \ne 0$ для всех $z ∈ U {\ displaystyle z \ in U}$ $z \ in U$ - это конформное отображение, что означает, что если две кривые, проходящие через точку a из U, образуют угол α (в том смысле, что касательные линии к кривым в a образуют угол α), то изображения двух кривых образуют один и тот же угол α в точке f (a). Поскольку ветвь log z голоморфна, и поскольку ее производная 1 / z никогда не равна 0, она определяет конформное отображение.

Например, главная ветвь w = Log z, рассматриваемая как отображение из $C - R ≤ 0 {\ displaystyle \ mathbb {C} - \ mathbb {R} _ {\ leq 0} }$ $\ mathbb {C} - \ mathbb {R} _ {\ le 0}$ к горизонтальной полосе, определяемой | Im z | < π, has the following properties, which are direct consequences of the formula in terms of polar form:

Окружности в z-плоскости с центром в 0 отображаются в вертикальные сегменты в w-плоскости, соединяющие a - πi с a + πi, где a - действительный логарифм радиуса окружности.
Лучи, исходящие из 0 в плоскости z, отображаются на горизонтальные линии в плоскости w.

Каждый круг и луч в плоскости z, как указано выше, пересекаются под прямым углом. Их изображения в разделе Log представляют собой вертикальный сегмент и горизонтальную линию (соответственно) в w-плоскости, и они также пересекаются под прямым углом. Это иллюстрация конформного свойства Log.

Соответствующая риманова поверхность

Визуализация римановой поверхности log z. Поверхность кажется спиральной вокруг вертикальной линии, соответствующей началу комплексной плоскости. Фактическая поверхность простирается произвольно далеко как по горизонтали, так и по вертикали, но на этом изображении обрезана.

Конструкция

Различные ветви log z не могут быть склеены для получения единой непрерывной функции $log: C × → C {\ displaystyle \ log \ двоеточие \ mathbb {C} ^ {\ times} \ to \ mathbb {C}}$ $\ log \ двоеточие \ mathbb {C} ^ \ times \ to \ mathbb {C}$ , потому что две ветви могут давать разные значения в точке, где оба определены. Сравните, например, главную ветвь Log (z) на $C - R ≤ 0 {\ displaystyle \ mathbb {C} - \ mathbb {R} _ {\ leq 0}}$ $\ mathbb {C} - \ mathbb {R} _ {\ le 0}$ с воображаемым часть θ в (−π, π) и ветвь L (z) на $C - R ≥ 0 {\ displaystyle \ mathbb {C} - \ mathbb {R} _ {\ geq 0}}$ $\ mathbb {C} - \ mathbb {R} _ {\ ge 0}$ , мнимая часть которого θ лежит в (0,2π). Они соответствуют верхней полуплоскости , но не нижней полуплоскости. Так что есть смысл приклеивать домены этих веток только по копиям верхней полуплоскости. Получившаяся склеенная область связная, но имеет две копии нижней полуплоскости. Эти две копии можно визуализировать как два уровня гаража, и можно перейти от уровня логарифма нижней полуплоскости до уровня L нижней полуплоскости, повернувшись на 360 ° против часовой стрелки вокруг 0, сначала пересекая положительное вещественное число. ось (уровня Log) в общую копию верхней полуплоскости, а затем пересекает отрицательную действительную ось (уровня L) в уровень L нижней полуплоскости.

Можно продолжить, склеивая ветви с мнимой частью θ в (π, 3π), в (2π, 4π) и т. Д., А в другом направлении - ветви с мнимой частью θ в (−2π, 0), в (−3π, −π) и т. Д. Конечный результат - соединенная поверхность, которую можно рассматривать как спиралевидный гараж с бесконечным количеством уровней, простирающихся как вверх, так и вниз. Это риманова поверхность R, связанная с log z.

Точку на R можно представить как пару (z, θ), где θ - возможное значение аргумента z. Таким образом, R может быть встроено в $C × R ≈ R 3 {\ displaystyle \ mathbb {C} \ times \ mathbb {R} \ приблизительно \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {C} \ times \ mathbb {R} \ приблизительно \ mathbb {R} ^ 3$ .

Логарифм функция на римановой поверхности

Поскольку области ветвей были склеены только вдоль открытых множеств, где их значения совпадали, ветви склеиваются, давая единственную четко определенную функцию $log R: R → C {\ displaystyle \ log _ {R} \ двоеточие R \ to \ mathbb {C}}$ $\ log_R \ двоеточие R \ to \ mathbb {C}$ . Он отображает каждую точку (z, θ) на R в ln | z | + iθ. Этот процесс расширения исходной ветви Log путем склеивания совместимых голоморфных функций известен как аналитическое продолжение.

Существует «карта проекции» от R вниз до $C × {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ times}}$ $\ mathbb {C} ^ \ times$ , который «выравнивает» спираль, отправляя (z, θ) в z. Для любого $z ∈ C × {\ displaystyle z \ in \ mathbb {C} ^ {\ times}}$ $z \ in \ mathbb {C} ^ \ times$ , если взять все точки (z, θ) R, лежащие "непосредственно над" "z и оценивает log R во всех этих точках, получается все логарифмы z.

Склеивание всех ветвей журнала z

Вместо склеивания только выбранных выше ветвей, можно начать со всех ветвей журнала z и одновременно склеить каждую пару ветвей $L 1: U 1 → C {\ displaystyle L_ {1} \ двоеточие U_ {1} \ to \ mathbb {C}}$ $L_1 \ двоеточие U_1 \ to \ mathbb {C}$ и $L 2: U 2 → C {\ displaystyle L_ {2} \ двоеточие U_ {2} \ to \ mathbb {C}}$ $L_2 \ двоеточие U_2 \ to \ mathbb {C}$ вдоль наибольшего открытого подмножества $U 1 ∩ U 2 {\ displaystyle U_ {1} \ cap U_ {2}}$ $U_1 \ cap U_2$ , в которых согласуются L 1 и L 2. Это дает ту же риманову поверхность R и функцию log R, что и раньше. Этот подход, хотя и немного сложнее для визуализации, более естественен, поскольку не требует выделения каких-либо конкретных ветвей.

Если U 'является открытым подмножеством R, биективно проецирующимся на его изображение U в $C × {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ times}}$ $\ mathbb {C} ^ \ times$ , то ограничение log R на U 'соответствует ветви log z, определенной на U. Каждая ветвь log z возникает таким образом.

Риманова поверхность как универсальное покрытие

Карта проекции $R → C × {\ displaystyle R \ to \ mathbb {C} ^ {\ times}}$ $R \ to \ mathbb {C} ^ \ times$ реализует R как покрывающее пространство из $C × {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ times}}$ $\ mathbb {C} ^ \ times$ . Фактически, это покрытие Галуа с помощью преобразования колоды группа, изоморфная $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ , сгенерированная гомеоморфизм, переводящий (z, θ) в (z, θ + 2π).

Как комплексное многообразие, R биголоморфно с $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ через log Р. (Обратная карта отправляет z в (e, Im z).) Это показывает, что R является односвязным, поэтому R является универсальным покрытием для $C × {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ times}}$ $\ mathbb {C} ^ \ times$ .

Приложения

Комплексный логарифм необходим для определения возведения в степень, в котором основание является комплексным числом. А именно, если a и b - комплексные числа с a ≠ 0, можно использовать главное значение для определения a = e. Можно также заменить Log a другими логарифмами a, чтобы получить другие значения a.
Поскольку отображение w = Log z преобразует круги с центром в 0 в вертикальные отрезки прямой линии, это полезно в инженерных приложениях, включающих кольцевое пространство.

Обобщения

Логарифмы для других оснований

Как и для действительных чисел, для комплексных чисел можно определить b и x

log b ⁡ (x) = log ⁡ x log ⁡ b, {\ displaystyle \ log _ {b} (x) = {\ frac {\ log x} {\ log b}},}

{\ displaystyle \ log _ { b} (x) = {\ frac {\ log x} {\ log b}},}

единственное предостережение, что его значение зависит от выбора ветвь журнала, определенная в точках b и x (с log b 0). Например, использование главного значения дает

log i ⁡ (e) = log ⁡ e log ⁡ i = 1 π i / 2 = - 2 i π. {\ displaystyle \ log _ {i} (e) = {\ frac {\ log e} {\ log i}} = {\ frac {1} {\ pi i / 2}} = - {\ frac {2i} {\ pi}}.}

{\ displaystyle \ log _ {i} (e) = {\ frac {\ log e} {\ log i}} = {\ frac {1} {\ pi я / 2}} = - {\ frac {2i} {\ pi}}.}

Логарифмы голоморфных функций

Если f является голоморфной функцией на связном открытом подмножестве U из $C {\ displaystyle \ mathbb {C }}$ $\ mathbb {C}$ , тогда ветвь log f на U является непрерывной функцией g на U, такой что e = f (z) для всех z в U. Такая функция g обязательно голоморфный с g ′ (z) = f ′ (z) / f (z) для всех z в U.

Если U является односвязным открытым подмножеством из $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ , и f - голоморфная функция, которая никуда не исчезает на U, то ветвь log f, определенная на U, может быть построена путем выбора начальной точки a в U, выбрав логарифм b числа f (a) и определив

g (z) = b + ∫ azf ′ (w) f (w) dw {\ displaystyle g (z) = b + \ int _ { a} ^ {z} {\ frac {f '(w)} {f (w)}} \, dw}

g(z)=b+\int _{a}^{z}{\frac {f'(w)}{f(w)}}\,dw

для каждого z в U.

См. также

Примечания

Ссылки

Конвей, Джон Б. (1978). Функции одной комплексной переменной (2-е изд.). Спрингер.
Лэнг, Серж (1993). Комплексный анализ (3-е изд.). Springer-Verlag.
Моретти, Джино (1964). Функции комплексной переменной. Прентис-Холл.
Сарасон, Дональд (2007). Теория сложных функций (2-е изд.). Американское математическое общество.
Уиттакер, Э. Т. ; Уотсон, Г. Н. (1927). Курс современного анализа (Четвертое изд.). Cambridge University Press.