Войти
В поле Mathematical в комплексный анализ, точка ветвления многозначной функции (обычно называемая «многофункциональной» в контексте комплексного анализа) является такой точкой, что функция прерывистая при обходе произвольно малого контура вокруг этой точки. Многозначные функции строго изучаются с помощью римановых поверхностей, и формальное определение точек ветвления использует это понятие.
Точки ветвления делятся на три широкие категории: алгебраические точки ветвления, трансцендентные точки ветвления и логарифмические точки ветвления. Алгебраические точки ветвления чаще всего возникают из функций, в которых существует неоднозначность при извлечении корня, таких как решение уравнения w = z для w как функции от z. Здесь точка ветвления - это начало координат, потому что аналитическое продолжение любого решения вокруг замкнутого цикла, содержащего начало координат, приведет к другой функции: существует нетривиальная монодромия. Несмотря на алгебраическую точку ветвления, функция w хорошо определена как многозначная функция и в соответствующем смысле непрерывна в начале координат. Это контрастирует с трансцендентными и логарифмическими точками ветвления, то есть точками, в которых многозначная функция имеет нетривиальную монодромию и существенную особенность. В геометрической теории функций безоговорочное использование термина «точка ветвления» обычно означает предыдущий более ограничительный вид: алгебраические точки ветвления. В других областях комплексного анализа неквалифицированный термин может также относиться к более общим точкам ветвления трансцендентного типа.
Пусть Ω будет связным открытым множеством в комплексной плоскости Cи ƒ: Ω → Ca голоморфная функция. Если ƒ непостоянно, то множество критических точек функции, то есть нулей производной ƒ '(z), не имеет предельной точки в Ω. Таким образом, каждая критическая точка z 0 круга лежит в центре круга B (z 0, r), не содержащего другой критической точки в его замыкании.
Пусть γ - граница B (z 0, r), взятая с его положительной ориентацией. число витков (γ) по отношению к точке ƒ (z 0) является положительным целым числом, называемым индексом ветвления из z 0. Если индекс ветвления больше 1, то z 0 называется точкой разветвления ƒ, а соответствующее критическое значение ƒ (z 0) называется (алгебраической) точкой ветвления . Эквивалентно, z 0 является точкой ветвления, если существует голоморфная функция φ, определенная в окрестности z 0 такая, что ƒ (z) = φ (z) (z - z 0) для некоторого натурального числа k>1.
Обычно интересует не сам ƒ, а его обратная функция. Однако функция, обратная голоморфной функции в окрестности точки ветвления, не существует должным образом, и поэтому мы вынуждены определять ее во многозначном смысле как глобальную аналитическую функцию . Это обычное явление для языка злоупотреблений и относится к точке ветвления w 0 = ƒ (z 0) ƒ как точке ветвления глобальной аналитической функции ƒ. Более общие определения точек ветвления возможны для других видов многозначных глобальных аналитических функций, таких как те, которые определены неявно. Объединяющая структура для работы с такими примерами предоставляется на языке римановых поверхностей ниже. В частности, в этой более общей картине полюса порядка больше 1 также можно рассматривать как точки разветвления.
В терминах обратной глобальной аналитической функции ƒ точки ветвления - это те точки, вокруг которых существует нетривиальная монодромия. Например, функция ƒ (z) = z имеет точку ветвления при z 0 = 0. Обратной функцией является квадратный корень ƒ (w) = w, который имеет точку ветвления при w <29.>0 = 0. Действительно, обход замкнутого контура w = e начинается с θ = 0 и e = 1. Но после обхода контура до θ = 2π получается e = −1. Таким образом, вокруг этого цикла, охватывающего начало координат, существует монодромия.
Предположим, что g - глобальная аналитическая функция, определенная на проколотом диске около z 0. Тогда g имеет точку трансцендентного ветвления, если z 0 является существенной сингулярностью g, такой, что аналитическое продолжение функционального элемента один раз вокруг некоторая простая замкнутая кривая, окружающая точку z 0, создает другой функциональный элемент.
Примером трансцендентной точки ветвления является начало многозначной функции
для некоторого целого числа k>1. Здесь группа монодромии для обхода вокруг начала координат конечна. Аналитическое продолжение k полных схем возвращает функцию к исходной.
Если группа монодромии бесконечна, то есть невозможно вернуться к исходному функциональному элементу путем аналитического продолжения вдоль кривой с ненулевым числом намотки около z 0, то точка z 0 называется точкой логарифмического ветвления . Это так называется, потому что типичным примером этого явления является точка ветвления комплексного логарифма в начале координат. Обойдя один раз против часовой стрелки по простой замкнутой кривой, охватывающей начало координат, комплексный логарифм увеличивается на 2πi. Обводя петлю с номером витка w, логарифм увеличивается на 2πi w, а группа монодромии представляет собой бесконечную циклическую группу 
Логарифмические точки ветвления являются частными случаями трансцендентных точек ветвления.
Не существует соответствующего понятия ветвления для трансцендентных и логарифмических точек ветвления, поскольку ассоциированная накрывающая риманова поверхность не может быть аналитически продолжена до покрытия самой точки ветвления. Поэтому такие покрытия всегда неразветвлены.
Грубо говоря, точки ветвления являются точками, где сходятся различные листы многозначной функции. Ветви функции - это различные листы функции. Например, функция w = z имеет две ветви: в одной квадратный корень идет со знаком плюс, а в другой - со знаком минус. Разрез ветви - это кривая на комплексной плоскости, такая, что можно определить единственную аналитическую ветвь многозначной функции на плоскости за вычетом этой кривой. Срезы ветвей обычно, но не всегда, выполняются между парами точек ветвления.
Сечения ветвей позволяют работать с набором однозначных функций, «склеенных» вместе по сечению ветвей, вместо многозначной функции. Например, чтобы сделать функцию
одиночной -значный, выполняется разрезание ветви вдоль отрезка [0, 1] на вещественной оси, соединяющее две точки ветвления функции. Ту же идею можно применить и к функции √z; но в этом случае нужно понять, что бесконечно удаленная точка является подходящей «другой» точкой ветвления для соединения с 0, например, вдоль всей отрицательной действительной оси.
Устройство для обрезки ветвей может выглядеть произвольно (и это так); но это очень полезно, например, в теории специальных функций. Инвариантное объяснение явления ветвления разработано в теории римановых поверхностей (из которой она исторически является источником) и в более общем плане в теории ветвления и монодромии алгебраических функций. и дифференциальные уравнения.
График многозначной мнимой части функции комплексного логарифма, показывающий ветви. Когда комплексное число z обходит начало координат, мнимая часть логарифма увеличивается или уменьшается. Это делает исходную точку точкой ветвления функции. Типичным примером разветвления является комплексный логарифм. Если комплексное число представлено в полярной форме z = re, то логарифм z равен
Однако есть очевидная двусмысленность в определении угла θ: добавление к θ любого целого числа, кратного 2π, даст другой возможный угол. Ветвь логарифма - это непрерывная функция L (z), дающая логарифм z для всех z в связном открытом множестве на комплексной плоскости. В частности, ветвь логарифма существует в дополнении любого луча от начала координат до бесконечности: разрез ветки. Обычным выбором отрезания ответвления является отрицательная действительная ось, хотя выбор в значительной степени является вопросом удобства.
Логарифм имеет скачок 2πi при пересечении сечения ветви. Логарифм можно сделать непрерывным путем склеивания счетного множества копий, называемых листами, комплексной плоскости вдоль разреза ветви. На каждом листе стоимость бревна отличается от его основного значения на 2πi. Эти поверхности склеены друг с другом по разрезу ветки уникальным способом, чтобы логарифм был непрерывным. Каждый раз, когда переменная обходит начало координат, логарифм перемещается в другую ветвь.
Одна из причин, по которой сечения ветвей являются общими чертами комплексного анализа, заключается в том, что срез ветвей можно рассматривать как сумму бесконечного числа полюсов, расположенных вдоль линии в комплексной плоскости. с бесконечно малыми вычетами. Например,
- функция с простым полюсом в точке z = a. Интегрирование по положению полюса:
определяет функцию u (z) с разрезом от -1 до 1. Отрезок ветви можно перемещать, так как линию интегрирования можно смещать без изменения значения интеграла, пока линия не проходит через точку z.
Понятие точки ветвления определено для голоморфной функции ƒ: X → Y от компактной связной римановой поверхности X до компактной римановой поверхности Y (обычно сфера Римана ). Если она не постоянна, функция ƒ будет , покрывающей карту на свое изображение во всех точках, кроме конечного. Точки X, где не может быть покрытием, являются точками ветвления, а образ точки ветвления под называется точкой ветвления.
Для любой точки P ∈ X и Q = ƒ (P) ∈ Y существуют голоморфные локальные координаты z для X около P и w для Y около Q, в терминах которых функция ƒ (z) задается как
для некоторого целого числа k. Это целое число называется индексом ветвления P. Обычно индекс ветвления равен единице. Но если индекс ветвления не равен единице, то P по определению является точкой ветвления, а Q - точкой ветвления.
Если Y - это просто сфера Римана, а Q находится в конечной части Y, тогда нет необходимости выбирать специальные координаты. Индекс ветвления можно явно вычислить по интегральной формуле Коши. Пусть γ - простая спрямляемая петля в X вокруг P. Индекс ветвления ƒ в P равен
Этот интеграл представляет собой количество раз, когда ƒ (γ) наматывается вокруг точки Q. Как и выше, P - точка ветвления, а Q - точка ветвления, если e P>1.
В контексте алгебраической геометрии понятие точек ветвления может быть обобщено на отображения между произвольными алгебраическими кривыми. Пусть ƒ: X → Y - морфизм алгебраических кривых. Сведением рациональных функций на Y к рациональным функциям на X, K (X) является расширением поля поля K (Y). Степень определяется как степень этого расширения поля [K (X): K (Y)], а ƒ называется конечной, если степень конечна.
Предположим, что ƒ конечно. Для точки P ∈ X индекс ветвления e P определяется следующим образом. Пусть Q = ƒ (P) и пусть t будет локальным униформизирующим параметром в P; то есть t - регулярная функция, определенная в окрестности Q с t (Q) = 0, дифференциал которой отличен от нуля. Оттягивание t на ƒ определяет обычную функцию на X. Тогда
где v P - это оценка в локальном кольце регулярных функций в P. То есть e P - это порядок, в котором 
