Теорема Титчмарша о свертке

редактировать

Теорема Титчмарша о свертке названа в честь Эдварда Чарльза Титчмарша, британского математика. Теорема описывает свойства опоры свертки двух функций.

Э. К. Титчмарш доказал следующую теорему, известную как теорема Титчмарша о свертке, в 1926 году:

Если $φ (t) {\ textstyle \ varphi (t) \,}$ ${\ textstyle \ varphi (t) \,}$ и $ψ (t) {\ textstyle \ psi (t)}$ ${\ textstyle \ psi (t)}$ - интегрируемые функции, такие что

∫ 0 x φ (t) ψ (x - t) dt = 0 {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {x} \ varphi (t) \ psi (xt) \, dt = 0}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {x } \ varphi (t) \ psi (xt) \, dt = 0}

почти всюду в интервале $0 < x < κ {\displaystyle 0$ $0 <x <\ kappa \,$ , то существует $λ ≥ 0 {\ displaystyle \ lambda \ geq 0}$ $\ lambda \ geq 0$ и $μ ≥ 0 {\ displaystyle \ mu \ geq 0}$ $\ mu \ geq 0$ удовлетворяет $λ + μ ≥ κ {\ displaystyle \ лямбда + \ mu \ geq \ kappa}$ $\ lambda + \ mu \ geq \ kappa$ такая, что $φ (t) = 0 {\ displaystyle \ varphi (t) = 0 \,}$ ${\ displaystyle \ varphi (t) = 0 \,}$ почти везде в $0 < t < λ {\displaystyle 0$ ${\ displaystyle 0 <t <\ lambda}$ и $ψ (t) = 0 {\ displaystyle \ psi (t) = 0 \,}$ $\ psi (t) = 0 \,$ почти всюду в $0 < t < μ. {\displaystyle 0$ ${\ displaystyle 0 <t <\ mu.}$

. Следствие следует:

Если интеграл выше равен 0 для все $x>0, {\ textstyle x>0,}$ ${\textstyle x>0,}$ , то либо $φ {\ textstyle \ varphi \,}$ ${ \ textstyle \ varphi \,}$ , либо $ψ {\ textstyle \ psi}$ ${\ textstyle \ psi}$ почти везде равно 0 в интервале $[0, + ∞). {\ textstyle [0, + \ infty).}$ ${\ textstyle [0, + \ infty).}$

Теорема может быть переформулирована в следующей форме:

Пусть

φ, ψ ∈ L 1 (R) {\ displaystyle \ varphi, \ psi \ в L ^ {1} (\ mathbb {R})}

{\ displaystyle \ varphi, \ psi \ in L ^ {1} (\ mathbb {R})}

. Тогда

inf supp ⁡ φ ∗ ψ = inf supp ⁡ φ + inf supp ⁡ ψ {\ displaystyle \ inf \ operatorname {supp} \ varphi \ ast \ psi = \ inf \ operatorname {supp} \ varphi + \ inf \ OperatorName {supp} \ psi}

{\ displaystyle \ inf \ operatorname {supp} \ varphi \ ast \ psi = \ inf \ operatorname {supp} \ varphi + \ inf \ имя оператора {supp} \ psi}

, если правая часть конечна.

Аналогично,

sup supp ⁡ φ ∗ ψ = sup supp ⁡ φ + sup supp ⁡ ψ { \ displaystyle \ sup \ operatorname {supp} \ varphi \ ast \ psi = \ sup \ operatorname {supp} \ varphi + \ sup \ operatorname {supp} \ psi}

{\ displaystyle \ sup \ operatorname {supp} \ varphi \ ast \ psi = \ sup \ operatorname {supp} \ varphi + \ sup \ operatorname {supp} \ psi}

, если правая часть конечна.

Эта теорема по существу утверждает, что хорошо известное включение

supp ⁡ φ ∗ ψ ⊂ supp ⁡ φ + supp ⁡ ψ {\ displaystyle \ operatorname {supp} \ varphi \ ast \ psi \ subset \ operatorname {supp } \ varphi + \ operatorname {supp} \ psi}

{\ displaystyle \ operatorname {supp} \ varphi \ ast \ psi \ subset \ operatorname {supp} \ varphi + \ operatorname {supp} \ psi}

резкий на границе.

многомерное обобщение в терминах выпуклой оболочки опор было доказано Ж.-Л. Львы в 1951 году:

Если

φ, ψ ∈ E ′ (R n) {\ displaystyle \ varphi, \ psi \ in {\ mathcal {E}} '(\ mathbb {R} ^ { n})}

\varphi,\psi \in {\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})

, затем

c. ч. ⁡ supp ⁡ φ ∗ ψ = c. ч. ⁡ supp ⁡ φ + c. ч. ⁡ supp ⁡ ψ. {\ displaystyle \ operatorname {ch} \ operatorname {supp} \ varphi \ ast \ psi = \ operatorname {ch} \ operatorname {supp} \ varphi + \ operatorname {ch} \ operatorname {supp} \ psi.}

{\ displaystyle \ operatorname {ch} \ operatorname {supp} \ varphi \ ast \ psi = \ op eratorname {ch} \ operatorname {supp} \ varphi + \ operatorname {ch} \ operatorname {supp} \ psi.}

Выше, $c. ч. {\ displaystyle \ operatorname {c.h.}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ch}}$ обозначает выпуклую оболочку набора. $E ′ (R n) {\ displaystyle {\ mathcal {E}} '(\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})$ обозначает пространство распределений с компактная опора.

Теорема не имеет элементарного доказательства. Первоначальное доказательство Титчмарша основано на принципе Фрагмена – Линделёфа, неравенстве Дженсена, теореме Карлемана и теореме Валирона. Дополнительные доказательства содержатся в [Хёрмандере, теорема 4.3.3] (стиль гармонического анализа ), [Йосида, глава VI] (стиль реального анализа ) и [Левин, лекция 16] (сложный анализ стиль).

Источники

Титчмарш, E.C. (1926). «Нули некоторых интегральных функций». Труды Лондонского математического общества. 25: 283–302. doi : 10.1112 / plms / s2-25.1.283.

Лайонс, Ж.-Л. (1951). «Поддерживает композицию продукции». Les Comptes rendus de l'Académie des Sciences (I и II) | format =требует | url =(). 232 : 1530–1532, 1622–1624.

Микусиньски, Дж. И Сверчковски, С. (1960). «Теорема Титчмарша о свертке и теория Дюфресного».. 4 : 59–76. CS1 maint: использует параметр авторов (ссылка )

Йосида, К. (1980). Функциональный анализ. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (Фундаментальные принципы математических наук)), том 123 (6-е изд.). Берлин: Springer-Verlag.

Hörmander, L. (1990). Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, I. Springer Study Edition (2-е изд.). Берлин: Springer-Verlag.

Левин Б. Я. (1996). Лекции по целым функциям. Переводы математических монографий, т. 150. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.

^Рота, Джан-Карло. «Десять уроков, которые я хотел бы выучить до того, как начал преподавать дифференциальные уравнения» (PDF). Стр. 9.