Войти
The Теорема Бэра (BCT) является важным результатом в общей топологии и функциональном анализе. Теорема имеет две формы, каждая из которых дает достаточные условия для того, чтобы топологическое пространство было бэровским пространством (топологическим пространством, такое, что пересечение из счетно многих плотных открытых множеств все еще плотные).
Теорема была доказана французским математиком Рене-Луи Бэром в его докторской диссертации 1899 года.
A Бэровское пространство - это топологическое пространство со свойством, что для каждого счетного набора открытых плотные множества (Un). n = 1, их пересечение ∩n ∈ ℕ U n плотно.
Ни одно из этих утверждений напрямую не подразумевает другого, поскольку существуют полные метрические пространства, которые не являются локально компактными (иррациональные числа с метрикой, определенной ниже; а также любое банахово пространство бесконечной размерности), и существуют локально компактные хаусдорфовы пространства, которые не являются метризуемыми (например, любое несчетное произведение нетривиальных компактные хаусдорфовы пространства; также несколько функциональных пространств, используемых в функциональном анализе; несчетное пространство Форта ). См. Стин и Зеебах в ссылках ниже.
Эта формулировка эквивалентен BCT1 и иногда более полезен в приложениях. Также: если непустое полное метрическое пространство является счетным объединением замкнутых множеств, то одно из этих замкнутых множеств имеет непустую внутренность.
Доказательство BCT1 для произвольных полных метрических пространств требует некоторой формы аксиомы выбора ; и фактически BCT1 эквивалентен над ZF аксиоме зависимого выбора, слабой форме аксиомы выбора.
Ограниченная форма теоремы Бэра о категориях, в котором полное метрическое пространство также предполагается сепарабельным, доказуемо в ZF без дополнительных принципов выбора. Эта ограниченная форма применяется, в частности, к вещественной прямой, пространству Бэра ω, пространству Кантора 2 и разделяемому гильбертову пространству например L (ℝ).
BCT1 используется в функциональном анализе для доказательства теоремы об открытом отображении, закрытого графа теорема и принцип равномерной ограниченности.
BCT1 также показывают, что каждое полное метрическое пространство без изолированных точек является несчетным. (Если X - счетное полное метрическое пространство без изолированных точек, то каждый одноэлемент {x} в X нигде не плотный, и поэтому X принадлежит первой категории сам по себе.) В частности, это доказывает, что множество всех действительных чисел несчетно.
BCT1 показывает, что каждое из следующего является пространством Бэра:
Согласно BCT2, любое конечномерное хаусдорфово многообразие является пространством Бэра, поскольку оно локально компактно и хаусдорфово. Это так даже для не- паракомпактных (следовательно, неметризуемых) многообразий, таких как длинная линия.
BCT используется для доказательства теоремы Хартогса, фундаментального результата в теории нескольких комплексных переменных.
Ниже приводится стандартное доказательство того, что полное псевдометрическое пространство 
Пусть U n - счетный набор открытых плотных подмножеств. Мы хотим показать, что пересечение ∩U n плотно. Подмножество плотно тогда и только тогда, когда каждое непустое открытое подмножество пересекает его. Таким образом, чтобы показать, что пересечение плотное, достаточно показать, что любое непустое открытое множество W в X имеет точку x, общую со всем U n. Поскольку U 1 плотно, W пересекает U 1 ; таким образом, существует точка x 1 и 0 < r1< 1 such that:
, где B (x, r) и B (x, r) обозначают открытый и закрытый шар, соответственно, с центром в x и радиусом r. Поскольку каждый U n плотный, мы можем продолжить рекурсивно, чтобы найти пару последовательностей x n и 0 < rn< 1/n such that:
(Этот шаг основан на аксиоме выбора и том факте, что конечное пересечение открытых множеств открыто, поэтому внутри него можно найти открытый шар с центром в точке x n.) Поскольку x n ∈ B (x m, r m), когда n>m, мы имеем, что x n равно Cauchy, и, следовательно, x n сходится к некоторому пределу x посредством полнота. Для любого n по замкнутости x ∈ B (x n, r n).
Следовательно, x ∈ W и x ∈ U n для всех n.
Существует альтернативное доказательство М. Бейкера для доказательства теоремы с использованием игры Шоке.
