Набор волнового фронта

редактировать

тип анализа сингулярностей

В математический анализ, точнее в микролокальном анализе, волновой фронт (набор) WF (f) характеризует особенности обобщенной функции f не только в пробеле, но и в отношении его преобразования Фурье в каждой точке. Термин «волновой фронт» был придуман Ларсом Хёрмандером примерно в 1970 году.

Содержание

1 Введение
2 Определение
- 2.1 Обобщения
- 2.2 Пример
- 2.3 Приложения
3 См. Также
4 Ссылки

Введение

В более привычных терминах WF (f) сообщает не только о том, где функция f является сингулярной (что уже описано ее сингулярной поддержкой ), но также как и почему это особенность, точнее говоря о направлении, в котором возникает сингулярность. Эта концепция в основном полезна как минимум в двух измерениях, так как в одном измерении есть только два возможных направления. Дополнительным понятием невырожденности функции по направлению является микролокальная гладкость.

Интуитивно, в качестве примера, рассмотрим функцию, особый носитель которой сосредоточен на гладкой кривой на плоскости, на которой функция имеет скачкообразный разрыв. В направлении, касательном к кривой, функция остается гладкой. Напротив, в направлении, перпендикулярном кривой, функция имеет особенность. Чтобы решить, является ли функция гладкой в другом направлении v, можно попытаться сгладить функцию путем усреднения в направлениях, перпендикулярных v. Если полученная функция является гладкой, то мы считаем regard гладкой в направлении v., v входит в набор волнового фронта.

Формально в евклидовом пространстве набор волнового фронта из ƒ определяется как дополнение набора всех пар (x 0, v) такая, что существует тестовая функция $ϕ ∈ C c ∞ {\ displaystyle \ phi \ in C_ {c} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ phi \ in C_ {c} ^ {\ infty}}$ с $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ (x0) ≠ 0 и открытый конус Γ, содержащий v, так что оценка

| (ϕ f) ∧ (ξ) | ≤ CN (1 + | ξ |) - N для всех ξ ∈ Γ {\ displaystyle | (\ phi f) ^ {\ wedge} (\ xi) | \ leq C_ {N} (1+ | \ xi |) ^ {-N} \ quad {\ t_dv {для всех}} \ \ xi \ in \ Gamma}

| (\ phi f) ^ {\ wedge} (\ xi) | \ leq C_ {N} (1+ | \ xi |) ^ {{- N}} \ quad {\ t_dv {для всех}} \ \ xi \ in \ Gamma

выполняется для всех натуральных чисел N. Здесь $(ϕ f) ∧ {\ displaystyle (\ phi f) ^ {\ wedge}}$ $(\ phi f) ^ {\ wedge}$ обозначает преобразование Фурье. Отметим, что множество волновых фронтов является коническим в том смысле, что если (x, v) ∈ Wf (ƒ), то (x, λv) ∈ Wf (ƒ) для всех λ>0. В примере, рассмотренном в предыдущем абзаце, множество волновых фронтов является теоретико-множественным дополнением образа касательного пучка кривой внутри касательного пучка плоскости.

Поскольку определение включает обрезание функцией с компактным носителем, понятие волнового фронта может быть перенесено на любое дифференцируемое многообразие X. В этой более общей ситуации набор волновых фронтов представляет собой замкнутое коническое подмножество кокасательного расслоения T (X), поскольку переменная ξ естественным образом локализуется в ковекторе, а не в векторе. Набор волновых фронтов определяется таким образом, что его проекция на X равна сингулярной опоре функции.

Определение

В евклидовом пространстве набор волновых фронтов распределения ƒ определяется как

WF (f) = {(x, ξ) ∈ R n × р N ∣ ξ ∈ Σ x (f)} {\ displaystyle {\ rm {WF}} (f) = \ {(x, \ xi) \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {n} \ mid \ xi \ in \ Sigma _ {x} (f) \}}

{{\ rm {WF}}} (f) = \ {(x, \ xi) \ in {\ mathbb {R}} ^ {n} \ times {\ mathbb {R}} ^ {n} \ mid \ xi \ in \ Sigma _ {x} (f) \ }

где $Σ x (f) {\ displaystyle \ Sigma _ {x} (f)}$ $\ Sigma _ {x} (f)$ - особый слой в точке x. Особый слой определяется как дополнение всех направлений $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ , такое, что преобразование Фурье f, локализованное в x, является достаточно регулярным, когда ограничен открытым конусом, содержащим $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ . Точнее, направление v находится в дополнении к $Σ x (f) {\ displaystyle \ Sigma _ {x} (f)}$ $\ Sigma _ {x} (f)$ , если существует гладкая функция φ с компактным носителем и φ ( x) ≠ 0 и открытый конус Γ, содержащий v, такой, что для каждого натурального числа N справедлива следующая оценка:

(ϕ f) ∧ (ξ) < c N ( 1 + | ξ |) − N f o r a l l ξ ∈ Γ. {\displaystyle (\phi f)^{\wedge }(\xi)

{\ displaystyle (\ phi f) ^ {\ wedge} (\ xi) <c_ {N} (1+ | \ xi |) ^ {- N} \ quad {\ rm {for ~ all}} \ \ xi \ in \ Gamma.}

Если такая оценка верна для конкретной срезающей функции φ в точке x, это также верно для всех срезающих функций с меньшим носителем, возможно, для другого открытого конуса, содержащего v.

На дифференцируемом многообразии M, используя локальные координаты $x, ξ {\ displaystyle x, \ xi}$ $x, \ xi$ на котангенсном пучке, набор волновых фронтов WF (f) распределения ƒ можно определить следующим общим образом:

WF (f) знак равно {(х, ξ) ∈ T ∗ (X) ∣ ξ ∈ Σ x (f)} {\ displaystyle {\ rm {WF}} (f) = \ {(x, \ xi) \ in T ^ { *} (X) \ mid \ xi \ in \ Sigma _ {x} (f) \}}

{{\ rm {WF}}} (f) = \ {(x, \ xi) \ in T ^ {*} (X) \ mid \ xi \ in \ Sigma _ {x} (f) \}

, где особый слой $Σ x (f) {\ displaystyle \ Sigma _ {x} (f) }$ $\ Sigma _ {x} (f)$ снова является дополнением всех направлений $ξ {\ displ aystyle \ xi}$ $\ xi$ такой, что преобразование Фурье f, локализованное в x, является достаточно регулярным при ограничении конической окрестностью $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ . Проблема регулярности является локальной, поэтому ее можно проверить в локальной системе координат с помощью преобразования Фурье по переменным x. Требуемая оценка регулярности хорошо трансформируется при диффеоморфизме, и поэтому понятие регулярности не зависит от выбора локальных координат.

Обобщения

Понятие набора волнового фронта может быть адаптировано с учетом других понятий регулярности функции. Локализовать можно здесь, сказав, что f усекается некоторой гладкой функцией отсечения, не обращающейся в нуль в точке x. (Процесс локализации можно было бы выполнить более элегантно, используя ростки.)

Более конкретно, это можно выразить как

ξ ∉ Σ x (f) ⟺ ξ = 0 или ϕ ∈ D x, ∃ V ∈ V ξ: ϕ f ^ | В ∈ О (В) {\ Displaystyle \ xi \ notin \ Sigma _ {x} (f) \ iff \ xi = 0 {\ text {или}} \ существует \ phi \ in {\ mathcal {D}} _ { x}, \ \ exists V \ in {\ mathcal {V}} _ {\ xi}: {\ widehat {\ phi f}} | _ {V} \ in O (V)}

\ xi \ notin \ Sigma _ {x} (f) \ iff \ xi = 0 {\ text {или}} \ exists \ phi \ in {\ mathcal D } _ {х}, \ \ существует V \ in {\ mathcal V} _ {\ xi}: \ widehat {\ phi f} | _ {V} \ in O (V)

где

$D x {\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {x}}$ ${\ mathcal D} _ {x}$ - компактно поддерживаемые гладкие функции, не исчезающие в x,
$V ξ {\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {\ xi}}$ ${\ mathcal V} _ {\ xi}$ - это конические окрестности $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ , т. е. окрестности V такое, что $c ⋅ V ⊂ V {\ displaystyle c \ cdot V \ subset V}$ $c \ cdot V \ subset V$ для всех $c>0 {\ displaystyle c>0}$ $c>0$ ,
$u ^ | V {\ displaystyle {\ widehat {u}} | _ {V}}$ $\ widehat u | _ {V}$ обозначает преобразование Фурье функции u (с компактным носителем), ограниченное до V,
$O : Ω → O (Ω) {\ displaystyle O: \ Omega \ to O (\ Omega)}$ $O: \ Omega \ to O (\ Omega)$ - фиксированный предпучок функции ции (или распределения), выбор которых обеспечивает желаемую регулярность преобразования Фурье.

Как правило, участки O требуются для удовлетворения некоторого условия роста (или убывания) на бесконечности, например такие, что $(1 + | ξ |) sv (ξ) {\ displaystyle (1+ | \ xi |) ^ {s} v (\ xi)}$ $(1+ | \ xi |) ^ {s} v (\ xi)$ принадлежат некоторому L пробел. Это определение имеет смысл, потому что преобразование Фурье становится более регулярным (с точки зрения роста на бесконечности), когда f усекается с плавным обрезанием $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ .

Самая сложная «проблема» из Теоретическая точка зрения заключается в нахождении адекватного пучка O, характеризующего функции, принадлежащие данному подпучку E пространства G обобщенных функций.

Пример

Если мы возьмем G = D ′ пространство распределений Шварца и хотим охарактеризовать распределения, которые локально $C ∞ {\ displaystyle C ^ { \ infty}}$ $C ^ {\ infty}$ функции, мы должны взять в качестве O (Ω) классические функциональные пространства, называемые в литературе O ′ M (Ω).

Тогда проекция на первый компонент множества волновых фронтов распределения есть не что иное, как его классическая сингулярная опора, то есть дополнение множества, на котором его ограничение будет гладкая функция.

Приложения

Набор волновых фронтов полезен, среди прочего, при изучении распространения сингулярностей с помощью псевдодифференциальных операторов.

См. также

Преобразование ФБР

Ссылки

Ларс Хёрмандер, Интегральные операторы Фурье I, Acta Math. 127 (1971), стр. 79–183.
Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных дифференциальных уравнений с частными производными I: теория распределения и анализ Фурье, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 256 (2-е изд.), Springer, pp. 251–279, ISBN 0-387-52345-6 Глава VIII, Спектральный анализ Особенности