Вложенная алгебра

В функциональном анализе, разделе математики, вложенные алгебры являются классом операторные алгебры, которые обобщают верхнетреугольные матричные алгебры в контексте гильбертова пространства. Они были введены Рингроузом (1965) и обладают многими интересными свойствами. Они не- самосопряженные алгебры, замкнутые в слабой операторной топологии и рефлексивные.

алгебры Nest являются одними из самых простых примеров. Действительно, они формально определены как алгебра ограниченных операторов, оставляющих инвариантным каждое подпространство, содержащееся в гнезде подпространств, то есть набор подпространств, который полностью упорядочен посредством включения, а также является полной решеткой. Поскольку ортогональные проекции , соответствующие подпространствам в гнезде коммутируют, гнезда являются коммутативными решетками подпространств.

В качестве примера применим это определение для восстановления конечномерных верхнетреугольных матриц. Давайте работать в $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-размерном комплексе векторном пространстве $C\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{n\}\}$, и пусть $e\; 1,\; e\; 2,\dots ,\; en\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{1\},\; e\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; e\_\; \{n\}\}$быть стандартной базой. Для $j\; =\; 0,\; 1,\; 2,\dots ,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; =\; 0,1,2,\; \backslash \; dots,\; n\}$, пусть $S\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{j\; \}\}$быть $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$-мерным подпространством $C\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{n\}\}$охватывает первыми $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$базисными векторами $e\; 1,\dots ,\; ej\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; e\_\; \{j\}\}$. Пусть

$N\; =\; \{(0)\; =\; S\; 0,\; S\; 1,\; S\; 2,\dots ,\; S\; n\; -\; 1,\; S\; n\; =\; C\; n\};\; \{\backslash \; Displaystyle\; N\; =\; \backslash \; \{(0)\; =\; S\_\; \{0\},\; S\_\; \{1\},\; S\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; S\_\; \{n-1\},\; S\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \};\}$

тогда N - гнездо подпространств, и соответствующая алгебра гнезд n × n комплексных матриц M оставляет каждое подпространство в N инвариантным, то есть удовлетворяет $MS\; \subseteq \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; MS\; \backslash \; substeq\; S\}$для каждого S в N - это в точности набор верхнетреугольных матриц.

Если мы опускаем одно или несколько подпространств S j из N, то соответствующая алгебра гнезд состоит из блочных верхнетреугольных матриц.

• Алгебры гнезд гиперрефлексивны с константой расстояния 1.

• многообразие флагов

• Ringrose, John R. (1965), «О некоторых алгебрах операторов», Труды Лондонского математического общества, третья серия, 15 : 61–83, doi : 10.1112 / plms / s3-15.1. 61, ISSN 0024-6115, MR 0171174