Войти
Упорядоченная геометрия представляет собой форму геометрия с концепцией промежуточности (или «промежуточности»), но, как и проективная геометрия, опускает основное понятие измерения. Упорядоченная геометрия - это фундаментальная геометрия, образующая общую основу для аффинной, евклидовой, абсолютной и гиперболической геометрии (но не для проективной геометрии).
Мориц Паш впервые определил геометрию без ссылки на измерения в 1882 году. Его аксиомы были улучшены Пеано (1889), Гильберт (1899) и Веблен (1904). Евклид предвосхитил подход Паша в определении 4 «Элементов»: «прямая линия - это линия, равномерно лежащая с точками на самой себе».
Единственные примитивные понятия в упорядоченной геометрии - это точки A, B, C,... и троичное отношение промежуточности [ABC], которое можно читать как «B находится между A и C».
Отрезок AB - это набор точек P таких, что [APB].
Интервал AB - это отрезок AB и его конечные точки A и B.
Луч A / B (читается как «луч от A от B») - это набор точек P такой, что [PAB].
Прямая AB - это отрезок AB и два луча A / B и B / A. Точки на прямой AB называются коллинеарными.
Угол состоит из точки O (вершина) и двух неколлинеарных лучей, выходящих из точки O (стороны).
Треугольник состоит из трех неколлинеарных точек (называемых вершинами) и их трех отрезков AB, BC и CA.
Если три точки A, B и C не коллинеарны, то плоскость ABC - это множество всех точек, коллинеарных парам точек на одной или двух сторонах треугольника ABC.
Если четыре точки A, B, C и D не компланарны, то пространство (3-пространство ) ABCD - это набор всех точек, коллинеарных парам точек, выбранных из любая из четырех граней (плоских областей) тетраэдра ABCD.
Эти аксиомы тесно связаны с аксиомами порядка Гильберта. Подробный обзор аксиоматизации упорядоченной геометрии см.
Теорема Сильвестра – Галла может быть доказана в пределах упорядоченная геометрия.
Гаусс, Бойяи и Лобачевский разработали понятие параллелизма, которое может быть выражено в упорядоченная геометрия.
Теорема (существование параллелизма): Для точки A и прямой r, не проходящей через A, существуют ровно два предельных луча из A в плоскости Ar, которые не пересекаются с r. Итак, через A проходит параллельная линия, которая не пересекает r.
Теорема (передаваемость параллелизма): Параллелизм луча и прямой сохраняется путем добавления или вычитания отрезка от начала луча.
Транзитивность параллелизма не может быть доказана в упорядоченной геометрии. Следовательно, «упорядоченная» концепция параллелизма не образует отношения эквивалентности на линиях.
