Отношение разделения

редактировать

В математике отношение разделения - это формальный способ упорядочения набора объектов в неориентированном круге. Он определяется как четвертичное отношение S (a, b, c, d), удовлетворяющее определенным аксиомам, которое интерпретируется как утверждение, что a и c отделяют b от d.

В то время как линейный порядок наделяет множество положительным концом и отрицательным концом, отношение разделения забывает не только, какой конец есть какой, но также и где эти концы расположены. Таким образом, это окончательное, дальнейшее ослабление понятий отношения промежуточности и циклического порядка. Нет ничего другого, что можно забыть: с точки зрения соответствующего смысла взаимоопределимости, эти три отношения являются единственными нетривиальными сокращениями упорядоченного набора рациональных чисел.

Применение

Разделение может использоваться для демонстрации реальной проективной плоскости как полного пространства. Отношение разделения было описано с помощью аксиом в 1898 году Джованни Вайлати.

abcd = badc
abcd = adcb
abcd ⇒ ¬ acbd
abcd ∨ acdb ∨ adbc
abcd ∧ acde ⇒ abde.

Отношение разделения точек было записано AC // BD по H. С. М. Кокстер в своем учебнике "Реальная проективная плоскость". Используемая аксиома непрерывности: «Каждая монотонная последовательность точек имеет предел». Отношение разделения используется для предоставления определений:

{An} является монотонным ≡ ∀ n>1 $A 0 A n / / A 1 A n + 1. {\ displaystyle A_ {0} A_ {n} // A_ {1} A_ {n + 1}.}$ $A_ {0} A_ {n} // A_ {1 } A _ {{n + 1}}.$
M - предел ≡ (∀ n>2 $A 1 A n / / A 2 M {\ displaystyle A_ {1} A_ {n} // A_ {2} M}$ $A_ {1} A_ {n} // A_ {2} M$ ) ∧ (∀ P $A 1 P / / A 2 M {\ displaystyle A_ {1} P // A_ {2} M}$ $A_{1}P//A_{2}M$ ⇒ ∃ n $A 1 A n / / PM {\ displaystyle A_ {1} A_ {n} // PM}$ $A_ {1} A_ {n} // PM$ ).

Ссылки