Аксиомы Гильберта

Аксиомы Гильберта - это набор из 20 предположений, предложенных Дэвидом Гильбертом в 1899 году в его книге Grundlagen der Geometrie (тр. «Основы геометрии» ) в качестве основы для современной трактовки евклидовой геометрии. Другие хорошо известные современные аксиоматизации евклидовой геометрии - это аксиоматизации Альфреда Тарского и Джорджа Биркгофа.

• 1 Аксиомы
  • 1.1 I. Заболеваемость
  • 1.2 II. Заказ
  • 1.3 III. Конгруэнтность
  • 1.4 IV. Параллели
  • 1.5 V. Непрерывность
• 2 отброшенная аксиома Гильберта
• 3 Издания и переводы Grundlagen der Geometrie
• 4 Применение
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 ссылки
• 8 Внешние ссылки

Система аксиом Гильберта состоит из шести примитивных понятий : трех примитивных терминов:

• точка ;
• линия ;
• самолет ;

и три примитивных отношения :

• Между, троичное отношение, связывающее точки;
• Ложь на (Сдерживание), трех бинарных отношениях, одна соединяет точки и прямые линии, одна соединяет точки и плоскости, а третья связывает прямые линии и плоскости;
• Сравнения, два бинарных отношений, один связывающие отрезки и один связывающие углы, каждый из которых обозначается инфиксом ≅.

Каждый из отрезков, углов и треугольников может быть определен в терминах точек и прямых линий с использованием отношений промежуточности и сдерживания. Все точки, прямые и плоскости в следующих аксиомах различны, если не указано иное.

I. Заболеваемость

1. Для каждых двух точек A и B существует линия a, содержащая их обе. Мы пишем AB = a или BA = a. Вместо «содержит» мы можем также использовать другие формы выражения; например, мы можем сказать « A лежит на a », « A является точкой a », « a проходит через A и через B », « a соединяет A с B » и т. д. Если A лежит на a и в в то же время на другой строке b мы используем также выражение: «Прямые a и b имеют общую точку A » и т. д.
2. Для каждых двух точек существует не более одной строки, содержащей их обе; следовательно, если AB = a и AC = a, где B ≠ C, то также BC = a.
3. На прямой есть как минимум две точки. Есть как минимум три точки, которые не лежат на одной линии.
4. Для каждых трех точек A, B, C, не лежащих на одной прямой, существует плоскость α, содержащая их все. Для каждой плоскости существует точка, лежащая на ней. Мы пишем ABC = α. Мы используем также выражения: « A, B, C лежат в α »; « A, B, C - точки α » и т. Д.
5. Для каждых трех точек A, B, C, которые не лежат на одной прямой, существует не более одной плоскости, содержащей их все.
6. Если две точки A, B прямой a лежат в плоскости α, то каждая точка a лежит в α. В этом случае мы говорим: «Прямая a лежит в плоскости α » и т. Д.
7. Если две плоскости α, β имеют общую точку A, то у них есть по крайней мере вторая общая точка B.
8. Существует не менее четырех точек, не лежащих на плоскости.

II. Заказ

1. Если точка B лежит между точками А и С, В также между C и A, и существует линия, содержащая различные точки, B, C.
2. Если и С являются две точки, то существует по крайней мере одна точка B на линии переменного тока таким образом, что C лежит между A и B.
3. Из любых трех точек, расположенных на одной линии, не более одной находится между двумя другими.
4. Паш аксиоме : Пусть, B, C три точки, не лежащие в одной и той же линии, и пусть быть линией, лежащей в плоскости ABC и не проходящая ни через одну из точек, B, C. Тогда, если прямая a проходит через точку отрезка AB, она также пройдет либо через точку отрезка BC, либо через точку отрезка AC.

III. Конгруэнтность

1. Если A, B - две точки на прямой a, и если A ′ - точка на той же или другой прямой a ′, то на данной стороне A ′ на прямой a ′ мы всегда можем найти точку B ′, так что отрезок AB конгруэнтен отрезку A ′ B ′. Обозначим это отношение записью AB ≅ A ′ B ′. Каждый сегмент конгруэнтен сам себе; то есть всегда AB ≅ AB. Мы можем кратко сформулировать вышеприведенную аксиому, сказав, что каждый отрезок может быть отложен на данной стороне данной точки данной прямой по крайней мере одним способом.
2. Если отрезок AB конгруэнтен отрезку A ' B ', а также отрезку A ″ B ″, то отрезок A ' B ' конгруэнтен отрезку A ″ B ″; то есть, если AB ≅ A ' B ' и AB ≅ A ″ B ″, то A ′ B ′ ≅ A ″ B ″.
3. Пусть AB и BC - два отрезка прямой a, у которых нет общих точек, кроме точки B, и, кроме того, пусть A ′ B ′ и B ′ C ′ - два отрезка одной или другой прямой a ′, имеющей, аналогично, нет общей точки, кроме B '. Тогда, если AB ≅ A ′ B ′ и BC ≅ B ′ C ′, имеем AC ≅ A ′ C ′.
4. Пусть угол ∠ ( ч, к ) дается в плоскости альфа и пусть линия 'дано в плоскости альфа '. Предположим также, что в плоскости α ′ задана определенная сторона прямой a ′. Обозначим через h ′ луч прямой a ′, исходящий из точки O ′ этой прямой. Тогда в плоскости α ′ есть один и только один луч k ′ такой, что угол ∠ ( h, k) или ∠ ( k, h) конгруэнтен углу ∠ ( h ′, k ′) и в точке в то же время все внутренние точки угла ∠ ( h ′, k ′) лежат по заданной стороне a ′. Мы выражаем это отношение с помощью обозначения ∠ ( h, k) ≅ ∠ ( h ′, k ′).
5. Если угол ∠ ( h, k ) конгруэнтен углу ∠ ( h ′, k ′) и углу ∠ ( h ″, k ″), то угол ∠ ( h ′, k ′) конгруэнтен углу угол ∠ ( h ″, k ″) ; то есть, если ∠ ( h, k ) ≅ ∠ ( h ′, k ′) и ∠ ( h, k ) ≅ ∠ ( h ″, k ″), то ∠ ( h ′, k ′) ≅ ∠ ( h ″, k ″).
6. Если в двух треугольниках ABC и A ′ B ′ C ′ выполняются сравнения AB ≅ A ′ B ′, AC ≅ A ′ C ′, ∠ BAC ≅ ∠ B ′ A ′ C ′, то сравнение ∠ ABC ≅ ∠ A ′ B ′ C ′ (и, поменяв обозначения, следует, что ∠ ACB ≅ ∠ A ′ C ′ B ′ также выполняется).

IV. Параллели

1. Аксиома Евклида. Пусть a - любая линия, а точка A - не на ней. Тогда есть не более одной прямой на плоскости, определяемой a и A, которая проходит через A и не пересекает a.

V. Непрерывность

1. Аксиома Архимеда. Если АВ и CD - любые сегменты, то существует число п такое, что п сегментов компакт построенные смежно из A, вдоль луча от A через B, будет выходить за пределы точки B.
2. Аксиома полноты строки. Продолжение (расширенная линия от линии, которая уже существует, обычно используется в геометрии) набора точек на линии с ее отношениями порядка и конгруэнтности, которые сохранят отношения, существующие между исходными элементами, а также фундаментальные свойства линии порядок и соответствие, вытекающие из аксиом I-III и V-1, невозможны.

Гильберт (1899) включил 21-ю аксиому, которая гласила:

II.4. Любые четыре точки A, B, C, D на линии всегда можно обозначить так, чтобы B лежал между A и C, а также между A и D, и, кроме того, C должен лежать между A и D, а также между B и D.

Э. Х. Мур и Р. Л. Мур независимо друг от друга доказали, что эта аксиома избыточна, и первый опубликовал этот результат в статье, появившейся в « Трудах Американского математического общества» в 1902 году.

До этого аксиома теперь значилась как II.4. был пронумерован II.5.

Оригинальная монография, основанная на его собственных лекциях, была организована и написана Гильбертом для мемориального обращения, сделанного в 1899 году. За этим вскоре последовал французский перевод, в который Гильберт добавил V.2, Аксиому полноты. Английский перевод, санкционированный Гильбертом, был сделан Э. Дж. Таунсендом и защищен авторским правом в 1902 году. Этот перевод включает изменения, сделанные во французском переводе, и поэтому считается переводом 2-го издания. Гильберт продолжал вносить изменения в текст, и появилось несколько изданий на немецком языке. 7-е издание было последним, появившимся при жизни Гильберта. В предисловии к этому изданию Гильберт писал:

«Настоящее седьмое издание моей книги« Основы геометрии » вносит значительные улучшения и дополнения к предыдущему изданию, частично благодаря моим последующим лекциям по этой теме, а частично благодаря улучшениям, сделанным за это время другими авторами. Основной текст книги был отредактирован соответственно."

За 7-м изданием последовали новые, но основной текст практически не редактировался. Изменения в этих редакциях вносятся в приложения и дополнения. Изменения в тексте были значительными по сравнению с оригиналом, и новый английский перевод был заказан издательством Open Court, опубликовавшим перевод Таунсенда. Итак, 2-е английское издание было переведено Лео Унгером из 10-го немецкого издания в 1971 году. Этот перевод включает несколько исправлений и дополнений более поздних немецких изданий Пола Бернейса.

Перевод Унгера отличается от перевода Таунсенда в отношении аксиом следующим образом:

• Старая аксиома II.4 переименована в теорему 5 и перенесена.
• Старая аксиома II.5 (Аксиома Паша) перенумерована в II.4.
• V.2, Аксиома полноты строки, заменено:

Аксиома полноты. К системе точек, прямых и плоскостей невозможно добавить другие элементы таким образом, чтобы обобщенная система образовала новую геометрию, подчиняющуюся всем пяти группам аксиом. Другими словами, элементы геометрии образуют систему, которая не поддается расширению, если мы рассматриваем пять групп аксиом как действительные.

• Старая аксиома V.2 теперь называется теоремой 32.

Две последние модификации принадлежат П. Бернейсу.

Другие примечания к изменениям:

• Термин « прямая линия», используемый Таунсендом, был заменен на « прямую линию».
• В Аксиомах Заболеваемости называлась Аксиома связи по Таунсенд.

Эти аксиомы аксиоматизируют евклидову твердую геометрию. Удаление пяти аксиом, существенным образом упоминающих «плоскость», а именно I.4–8, и изменение III.4 и IV.1 для исключения упоминания плоскостей, приводит к аксиоматизации евклидовой плоской геометрии.

Аксиомы Гильберта, в отличие от аксиом Тарского, не составляют теорию первого порядка, потому что аксиомы V.1–2 не могут быть выражены в логике первого порядка.

Ценность Grundlagen Гильберта была скорее методологической, чем содержательной или педагогической. Другой важный вклад в аксиоматику геометрии внесли Мориц Паш, Марио Пиери, Освальд Веблен, Эдвард Вермили Хантингтон, Гилберт Робинсон и Генри Джордж Фордер. Ценность Grundlagen заключается в его новаторском подходе к метаматематическим вопросам, включая использование моделей для доказательства независимости аксиом; и необходимость доказать непротиворечивость и полноту системы аксиом.

Математика в двадцатом веке превратилась в сеть аксиоматических формальных систем. В значительной степени на это повлиял пример, который Гильберт подал в « Грундлагене». Однако попытка 2003 года (Мейкл и Флерио) формализовать Grundlagen с помощью компьютера, однако, показала, что некоторые доказательства Гильберта, по-видимому, опираются на диаграммы и геометрическую интуицию, и как таковые выявили некоторые потенциальные двусмысленности и упущения в его определениях.

• Евклидово пространство
• Основы геометрии

• Говард Ивс, 1997 (1958). Основы и основные понятия математики. Дувр. Гл. 4.2 охватывает аксиомы Гильберта для плоской геометрии.
• Айвор Граттан-Гиннесс, 2000. В поисках математических корней. Издательство Принстонского университета.
• Дэвид Гильберт, 1980 (1899). Основы геометрии, 2-е изд. Чикаго: Открытый суд.
• Лаура И. Мейкль и Жак Д. Флерио (2003), Формализация Grundlagen Гильберта в Изабель / Изар, Доказательство теорем в логике высшего порядка, Лекционные заметки по информатике, том 2758/2003, 319-334, doi : 10.1007 / 10930755_21

• "Система аксиом Гильберта", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• "Аксиомы Гильберта" на математическом факультете UMBC
• "Аксиомы Гильберта" в Mathworld