Войти
Измерение круга или измерения круга ( греч. Κύκλου μέτρησις, Kuklou metrēsis ) - это трактат, состоящий из трех предложений Архимеда, ок. 250 г. до н. Э. Трактат - лишь часть того, что было более продолжительным трудом.
Круг и треугольник равны по площади. Утверждение 1 гласит: площадь любого круга равна прямоугольному треугольнику, в котором одна из сторон около прямого угла равна радиусу, а другая - окружности круга. Любой круг с окружностью с и радиусом г равен по площади с прямоугольным треугольником с двумя ног быть с и т. Это предложение доказывается методом исчерпания.
Предложение два состояния:
Площадь круга равна квадрату на его диаметре от 11 до 14.
Это предложение не могло быть выдвинуто Архимедом, поскольку оно опирается на результат третьего предложения.
Предложение три гласит:
Отношение длины окружности любого круга к его диаметру больше, но меньше.
Это приближает то, что мы теперь называем математической константой π. Он нашел эти ограничения на значение π, вписав и описав окружность двумя подобными 96-гранными правильными многоугольниками.
Это предложение также содержит точные приближения к квадратному корню из 3 (один больший и один меньший) и другие большие неидеальные квадратные корни ; однако Архимед не объясняет, как он нашел эти числа. Он дает верхнюю и нижнюю оценки для √ 3 как 1351 / 780 gt; √ 3 gt; 265 / 153. Однако эти границы известны из изучения уравнения Пелла и подходящих дробей связанной цепной дроби, что приводит к многочисленным спекуляциям относительно того, какая часть этой теории чисел могла быть доступна Архимеду. Обсуждение этого подхода восходит, по крайней мере, к Томасу Фантэ де Ланьи, FRS (ср. Хронология вычисления π ) в 1723 году, но более подробно рассматривался Иеронимом Георгом Зойтеном. В начале 1880-х годов Фридрих Отто Хульч (1833–1906) и Карл Генрих Хунрат (р. 1847) отметили, что границы можно быстро найти с помощью простых биномиальных оценок квадратных корней, близких к идеальному квадрату, смоделированному на основе элементов II.4., 7; этот метод предпочитает Томас Литтл Хит. Хотя упоминается только один маршрут к границам, на самом деле есть два других, что делает границы почти неизбежными, однако метод работает. Но границы также могут быть получены с помощью итеративной геометрической конструкции, предложенной Стоматахионом Архимеда в контексте правильного двенадцатиугольника. В этом случае задача состоит в том, чтобы дать рациональные приближения касательной к π / 12.
