Конец (топология)

редактировать

В топологии, ветви математики, заканчивается топологического пространства являются, грубо говоря, связными компонентами «идеальной границы» пространства. То есть каждый конец представляет собой топологически отличный способ перемещения на бесконечность в пространстве. Добавление точки на каждом конце дает компактификацию исходного пространства, известную как конечная компактификация .

Понятие конца топологического пространства было введено Гансом Фройденталем (1931).

Содержание

1 Определение
2 Примеры
3 Концы графиков и групп
4 Концы CW комплекса
5 Ссылки

Определение

Пусть X будет a топологическое пространство, и предположим, что

K 1 ⊆ K 2 ⊆ K 3 ⊆ ⋯ {\ displaystyle K_ {1} \ substeq K_ {2} \ substeq K_ {3} \ substeq \ cdots}

{\ displaystyle K_ {1} \ Substeq K_ {2} \ substeq K_ {3} \ substeq \ cdots}

- это возрастающая последовательность компактных подмножеств X, внутренняя часть покрывает X. Тогда X имеет один конец для каждой последовательности

U 1 ⊇ U 2 ⊇ U 3 ⊇ ⋯, {\ displaystyle U_ {1} \ supseteq U_ {2} \ supseteq U_ {3} \ supseteq \ cdots,}

{\ displaystyle U_ {1} \ supseteq U_ {2} \ supseteq U_ {3} \ supseteq \ cdots,}

, где каждый U n является связанным компонентом X \ K n. Количество концов не зависит от конкретной последовательности компактов {K i }; существует естественная биекция между наборами концов, связанных с любыми двумя такими последовательностями.

Используя это определение, окрестность конца {U i } является открытым множеством V, таким что V ⊃ U n для некоторого п. Такие окрестности представляют собой окрестности соответствующей бесконечно удаленной точки в концевой компактификации (эта «компактификация» не всегда компактна; топологическое пространство X должно быть связным и локально связным).

Приведенное выше определение концов применяется только к пространствам X, которые обладают исчерпанием компактными множествами (то есть X должен быть гемикомпактным ). Однако его можно обобщить следующим образом: пусть X - любое топологическое пространство, и рассмотрим прямую систему {K} компактных подмножеств X и отображений включения. Имеется соответствующая обратная система {π 0 (X \ K)}, где π 0 (Y) обозначает множество компонент связности пространства Y, и каждое отображение включения Y → Z индуцирует функцию π 0 (Y) → π 0 (Z). Тогда набор концов X определяется как обратный предел этой обратной системы.

Согласно этому определению, набор концов - это функтор из категории топологических пространств, где морфизмы являются только правильными непрерывными отображениями, в категорию комплектов. Явно, если φ: X → Y - правильное отображение, а x = (x K)K- конец X (т.е. каждый элемент x K в семействе является компонентом связности X ∖ K, и они совместимы с картами, индуцированными включениями), то φ (x) - это семейство $φ ∗ (x φ - 1 (K ′)) {\ displaystyle \ varphi _ {*} (x _ {\ varphi ^ {- 1} (K ')})}$ $\varphi_*(x_{\varphi^{-1}(K')})$ где $K ′ {\ displaystyle K'}$ $K'$ пробегает компактные подмножества Y, а φ * - карта, индуцированная на φ из $π 0 (Икс ∖ φ - 1 (K ')) {\ displaystyle \ pi _ {0} (X \ setminus \ varphi ^ {- 1} (K'))}$ $\pi_0(X \setminus \varphi^{-1}(K'))$ до $π 0 (Y ∖ K ′) {\ displaystyle \ pi _ {0} (Y \ setminus K ')}$ $\pi_0(Y \setminus K')$ . Правильность φ используется для обеспечения того, чтобы каждый φ ( K) компактен в X.

Исходное определение, приведенное выше, представляет особый случай, когда прямая система компактных подмножеств имеет финальную последовательность.

Примеры

Множество концов любых компактное пространство - это пустой набор.
Реальная линия $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ имеет два конца. Например,, если мы позволим K n - закрытый интервал [−n, n], тогда два конца представляют собой последовательности открытых множеств U n = (n, ∞) и V n = (-∞, -n). Эти концы обычно обозначаются как «бесконечность» и «минус бесконечность» соответственно.
Если n>1, то евклидово пространство $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ mathbb {R} } ^ {n}$ имеет только один конец. Это потому, что $R n ∖ K {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus K}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus K}$ имеет только один неограниченный компонент для любого компакта K.
Подробнее вообще, если M - компактное многообразие с краем, то количество концов внутренней части M равно количеству компонент связности границы M.
Объединение n различных лучей, исходящих из источника в $R 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R } ^ {2}}$ имеет n концов.
бесконечное полное двоичное дерево имеет несчетное количество концов, соответствующих несчетному количеству различных нисходящих путей, начинающихся от корня. (Это можно увидеть, если позволить K n быть полным двоичным деревом глубины n.) Эти концы можно рассматривать как «листья» бесконечного дерева. В конце компактификации набор концов имеет топологию множества Кантора.

Концы графов и групп

В бесконечных теории графов, конец определяется несколько иначе, как класс эквивалентности полубесконечных путей в графе или как убежище, функция, отображающая конечные множества вершин в связные компоненты их дополнений. Однако для локально конечных графов (графов, в которых каждая вершина имеет конечную степень ) концы, определенные таким образом, взаимно однозначно соответствуют концам топологических пространств, определенных из графа (Diestel Kühn 2003).

Концы конечно порожденной группы определяются как концы соответствующего графа Кэли ; это определение нечувствительно к выбору генераторной установки. Каждая конечно порожденная бесконечная группа имеет 1, 2 или бесконечно много концов, и теорема Столлингса о концах групп дает разложение для групп с более чем одним концом.

Концы комплекса CW

Для пути, соединенного CW-комплекса, концы могут быть охарактеризованы как гомотопические классы из правильных карт $R + → X {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+} \ to X}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {+} \ к X}$ , называемых лучей в X : более точно, если между ограничением - на подмножество $N {\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N}$ - любых двух из этих карт существует правильная гомотопия, мы говорим, что они эквивалентны, и они определить класс эквивалентности собственных лучей. Этот набор называется концом X.

Ссылки

Diestel, Reinhard; Кюн, Даниэла (2003), «Теоретико-графические и топологические концы графов», Journal of Combinatorial Theory, Series B, 87 (1): 197 –206, doi : 10.1016 / S0095-8956 (02) 00034-5, MR 1967888.
Freudenthal, Hans (1931), "Über die Enden topologischer Räume und Gruppen ", Mathematische Zeitschrift, Springer Berlin / Heidelberg, 33 : 692–713, doi : 10.1007 / BF01174375, ISSN 0025-5874, Zbl 0002.05603
Росс Геогеган, Топологические методы в теории групп, GTM-243 (2008), Springer ISBN 978-0-387-74611-1.
Скотт, Питер; Уолл, Терри; Уолл, К.Т.С. (1979). «Топологические методы в теории групп». Гомологическая теория групп. С. 137–204. DOI : 10.1017 / CBO9781107325449.007. ISBN 9781107325449.