Полупространство (геометрия)

В геометрии полупространство представляет собой одну из двух частей в который плоскость разделяет трехмерное евклидово пространство. В более общем смысле, полупространство представляет собой любую из двух частей, на которые гиперплоскость делит аффинное пространство. То есть точки, не инцидентные гиперплоскости, разбиваются на два выпуклых множества (т. Е. Полупространства), так что любое подпространство, соединяющее точку в одном наборе с точка в другом должна пересекать гиперплоскость.

Полупространство может быть открытым или закрытым. открытое полупространство представляет собой одно из двух открытых множеств, образованных вычитанием гиперплоскости из аффинного пространства. замкнутое полупространство - это объединение открытого полупространства и определяющей его гиперплоскости.

Если пространство двумерное, то полупространство называется полуплоскостью (открытой или закрытой). Полупространство в одномерном пространстве называется полупрямой или лучом.

. Полупространство может быть задано линейным неравенством, полученное из линейного уравнения , задающего определяющую гиперплоскость.

Строгое линейное неравенство определяет открытое полупространство:

$a\; 1\; x\; 1\; +\; a\; 2\; x\; 2\; +\; \cdots \; +\; тревога>b\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; x\_\; \{\; 1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; x\_\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; x\_\; \{n\}>b\}$

Нестрогий определяет закрытое полупространство:

$a\; 1\; x\; 1\; +\; a\; 2\; x\; 2\; +\; \cdots \; +\; тревога\; \ge \; b\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; x\_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; x\_\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; geq\; b\}$

Здесь предполагается что не все действительные числа a 1, a 2,..., a n равны нулю.

• 1 Свойства
• 2 Верхнее и нижнее полупространства
• 3 См. Также
• 4 Внешние ссылки

• Полупространство - это выпуклое множество.

Открытое (закрытое) верхнее полупространство - это полупространство всех (x 1, x 2,..., x n) такое, что x n>0 (≥ 0). Открытое (закрытое) нижнее полупространство определяется аналогично, требуя, чтобы x п быть отрицательным ive (неположительный).

• Линия (геометрия)
• Верхняя полуплоскость
• Модель полуплоскости Пуанкаре
• Верхнее полупространство Зигеля
• Многоугольник Нефа, построение многогранники с использованием полупространств.

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. «Полупространство». MathWorld.