Войти
В коммутативной алгебре и алгебраической геометрии, теория исключения - это классическое название алгоритмических подходов к исключению некоторых переменных между полиномами от нескольких переменных, чтобы решить системы полиномиальных уравнений.
Классическое исключение теория кульми связан с работой Маколея по многомерными результирующими и его описанием в главе Теория исключения первых изданий (1930) Ван дер Вардена Moderne Алгебра. После этого теория исключения игнорировалась большинством алгебраических геометров в течение почти тридцати лет, пока не появились новые методы решения полиномиальных уравнений, такие как базисы Грёбнера, которые были необходимы для компьютерной алгебры.
Область теории исключения была мотивировано необходимостью методов решения систем полиномиальных уравнений.
Одним из первых результатов была теорема Безу, которая ограничивает количество решений (в случае двух полиномов от двух переменных при Безу время).
За исключением теоремы Безу, общий подход заключался в исключении переменных для сведения проблемы к одному уравнению с одной переменной.
Случай линейных уравнений был полностью решен с помощью исключения Гаусса, где старый метод правила Крамера не использует исключение и работает только тогда, когда количество уравнения равно количеству переменных. В 19 веке это было распространено на линейные диофантовы уравнения и абелеву группу с нормальной формой Эрмита и нормальной формой Смита.
До 20 века. были введены различные типы исключающих факторов, включая результирующие и различные виды дискриминантов. В общем, эти элиминанты также инвариантны и также являются фундаментальными в теории инвариантов.
. Все эти концепции эффективны в том смысле, что их определение включает метод вычисления. Примерно в 1890 году Дэвид Гильберт представил неэффективные методы, и это было воспринято как революция, которая побудила большинство алгебро-геометров первой половины 20-го века попытаться «устранить исключение». Тем не менее Nullstellensatz Гильберта может считаться принадлежащим теории исключения, поскольку он утверждает, что система полиномиальных уравнений не имеет никакого решения тогда и только тогда, когда можно исключить все неизвестные для получения 1.
Теория исключения завершилась работой Кронекера и, наконец, Ф.С. Маколей, который ввел многомерные результирующие и U-результирующие, предоставив методы полного исключения для систем полиномиальных уравнений, которые были описаны в главе Теория исключения первых изданий (1930 г.) современной алгебры ван дер Вардена.
. После этого теория исключения считалась устаревшей, удалена из следующих изданий современной алгебры и, как правило, игнорировалась до введения компьютеры, а точнее компьютерной алгебры, которые ставят задачу разработки алгоритмов исключения, достаточно эффективных для реализации. Основными методами обновления теории исключения являются базисы Грёбнера и цилиндрическое алгебраическое разложение, которые были введены примерно в 1970 году.
Есть также логический аспект теории исключения, как видно из проблемы логической выполнимости. В худшем случае, по-видимому, трудно исключить переменные с помощью вычислений. Исключение квантора - это термин, используемый в математической логике для объяснения того, что в некоторых теориях каждая формула эквивалентна формуле без квантора. Это случай теории многочленов над алгебраически замкнутым полем, где теорию исключения можно рассматривать как теорию методов, которые позволяют алгоритмически эффективно исключить квантор. Исключение квантора над вещественными числами - еще один пример, который является фундаментальным в вычислительной алгебраической геометрии.
