Построение кривой

График функции 3x-5x + 8 (черный) и ее первой (9x-10x, красный) и второй (18x- 10, синий) производные. Значение x, при котором значение y красной или синей кривой исчезает (становится 0), вызывает локальный экстремум (помечен как "HP", "TP"), или точка перегиба ("WP") черной кривой соответственно.

В геометрии, начертание кривой (или отслеживание кривой ) представляют собой методы для получения приблизительного представления об общей форме плоской кривой с учетом ее уравнения без вычисления большого количества точек, необходимых для подробного построения. Это приложение теории кривых для определения их основных характеристик.

• 1 Основные методы
• 2 Диаграмма Ньютона
• 3 Аналитический треугольник
• 4 Приложения
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Следующее обычно легко выполнить и дает важные подсказки относительно формы кривой:

• Определите пересечения кривой по осям x и y. Пересечения x находятся путем установки y равным 0 в уравнении кривой и решения относительно x. Точно так же точки пересечения y находятся путем установки x равным 0 в уравнении кривой и решения относительно y.
• Определите симметрию кривой. Если показатель степени x всегда четный в уравнении кривой, тогда ось y является осью симметрии кривой. Точно так же, если показатель y всегда четный в уравнении кривой, тогда ось x является осью симметрии кривой. Если сумма степеней x и y в каждом члене всегда четная или всегда нечетная, тогда кривая симметрична относительно начала координат, и начало координат называется центром кривой.
• Определите любые границы значений x и y.
• Если кривая проходит через начало координат, определите там касательные линии. Для алгебраических кривых это можно сделать, удалив все члены, кроме членов самого низкого порядка, из уравнения и решив.
• Аналогичным образом, удаление всех членов, кроме членов самого высокого порядка из уравнения и решение дает точки, в которых кривая встречается с линией на бесконечности.
• . Определите асимптоты кривой. Также определите, с какой стороны кривая приближается к асимптотам и где асимптоты пересекают кривую.
• Приравняйте первую и вторую производную к 0, чтобы найти стационарную точки и точки перегиба соответственно. Если уравнение кривой не может быть решено явно относительно x или y, для нахождения этих производных требуется неявное дифференцирование.

диаграмма Ньютона (также известная как параллелограмм Ньютона после Исаака Ньютона ) - это метод определения формы алгебраической кривой вблизи и вдали от начала координат. Он состоит из построения (α, β) для каждого члена Axy в уравнении кривой. Полученная диаграмма затем анализируется для получения информации о кривой.

В частности, проведите диагональную линию, соединяющую две точки на диаграмме, так, чтобы все остальные точки находились либо справа, либо над ней. Есть по крайней мере одна такая линия, если кривая проходит через начало координат. Пусть уравнение прямой имеет вид qα + pβ = r. Предположим, что кривая аппроксимируется уравнением y = Cx вблизи начала координат. Тогда термин Axy приблизительно равен Dx. Показатель степени равен r / q, когда (α, β) находится на прямой, и выше, когда он находится сверху и справа. Следовательно, значимые члены около начала координат в этом предположении - это только те, которые лежат на линии, а остальные могут быть проигнорированы; это дает простое приближенное уравнение для кривой. Таких диагональных линий может быть несколько, каждая из которых соответствует одной или нескольким ветвям кривой, и приближенные уравнения ветвей можно найти, применяя этот метод к каждой линии по очереди.

Например, лист Декарта определяется уравнением

$x\; 3\; +\; y\; 3\; -\; 3\; axy\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{3\}\; +\; y\; ^\; \{3\; \}\; -3axy\; =\; 0\; \backslash ,\}$.

Тогда диаграмма Ньютона имеет точки в (3, 0), (1, 1) и (0, 3). Две диагональные линии могут быть проведены, как описано выше, 2α + β = 3 и α + 2β = 3. В результате получается

$x\; 2–3\; ay\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; -3ay\; =\; 0\; \backslash ,\}$

$y\; 2–3\; ax\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{2\}\; -3ax\; =\; 0\; \backslash ,\}$

в качестве приближенных уравнений для горизонтальных и вертикальных ветвей кривой, где они пересекаются в начале координат.

Де Гуа расширил диаграмму Ньютона, чтобы сформировать технику, называемую аналитический треугольник (или треугольник де Гуа). Точки (α, β) наносятся на график так же, как и в методе диаграммы Ньютона, но линия α + β = n, где n - степень кривой, добавляется для образования треугольника, который содержит диаграмму. Этот метод рассматривает все линии, которые ограничивают наименьший выпуклый многоугольник, содержащий нанесенные на график точки (см. выпуклая оболочка ).

• Трассировка линии тока в гидродинамике

• Кривая
• Локус
• Алгебраическая кривая
• Родительская функция
• Числовое продолжение
• Марширующие кубы
• Трассировка границ
• Треугольная полоса

• Hilton, Harold (1920). "Глава III: Curve-Tracing ". Плоские алгебраические кривые. Oxford.
• Frost, Percival (1918). Элементарный трактат по отслеживанию кривых. MacMillan.

• Треногин, В.А. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press