Реальная алгебраическая геометрия

редактировать

В математике, реальной алгебраической геометрии - это подветвь алгебраической геометрии, изучающая реальные алгебраические множества, т.е. вещественные решения алгебраических уравнений с вещественными числами. коэффициенты и отображения между ними (в частности).

Полуалгебраическая геометрия - это изучение полуалгебраических множеств, то есть решений в виде вещественных чисел алгебраических неравенств с коэффициентами действительных чисел и отображений между ними. Наиболее естественными отображениями между полуалгебраическими множествами являются отображения, графики которых являются полуалгебраическими множествами.

Содержание

1 Терминология
2 Хронология реальной алгебры и реальной алгебраической геометрии
3 Ссылки
4 Примечания
5 Внешние ссылки

Терминология

В наши дни слова «полуалгебраическая геометрия» и «реальная алгебраическая геометрия» используются как синонимы, поскольку реальные алгебраические множества нельзя серьезно изучать без использования полуалгебраических множеств. Например, проекция вещественного алгебраического множества на координатную ось не обязательно должна быть реальным алгебраическим множеством, но это всегда полуалгебраическое множество: это теорема Тарского – Зайденберга. Связанные поля: o-минимальная теория и реальная аналитическая геометрия.

Примеры: Вещественные плоские кривые являются примерами реальных алгебраических множеств, а многогранники - примерами. полуалгебраических множеств. Действительные алгебраические функции и функции Нэша являются примерами полуалгебраических отображений. Кусочно-полиномиальные отображения (см. гипотезу Пирса – Биркгофа ) также являются полуалгебраическими отображениями.

Вычислительная реальная алгебраическая геометрия занимается алгоритмическими аспектами реальной алгебраической (и полуалгебраической) геометрии. Основной алгоритм - это цилиндрическое алгебраическое разложение. Он используется для разрезания полуалгебраических множеств на красивые части и вычисления их проекций.

Действительная алгебра - это часть алгебры, имеющая отношение к реальной алгебраической (и полуалгебраической) геометрии. В основном это связано с изучением упорядоченных полей и упорядоченных колец (в частности, вещественных замкнутых полей ) и их приложений к изучению положительных многочленов. и суммы квадратов многочленов. (См. 17-ю проблему Гильберта и Positivestellensatz Кривина.) Отношение действительной алгебры к действительной алгебраической геометрии аналогично отношению коммутативной алгебры к комплексной алгебраическая геометрия. Смежные области: теория проблем моментов, выпуклая оптимизация, теория квадратичных форм, теория оценки и теория моделей..

Хронология реальной алгебры и реальной алгебраической геометрии

1826 алгоритм Фурье для систем линейных неравенств. Вновь открыт Ллойдом Дайнсом в 1919 г. и Теодором Моцкиным в 1936 г.
1835 г. Теорема Штурма о действительном счёте корней
1856 г. Теорема Эрмита о подсчете действительных корней.
1876 Теорема Гарнака о кривой. (Эта оценка числа компонентов позже была распространена на все числа Бетти всех вещественных алгебраических множеств и всех полуалгебраических множеств.)
1888 Теорема Гильберта о тернарных квартиках.
1900 проблемы Гильберта (особенно 16-я и 17-я проблема)
1902 лемма Фаркаса (Может быть переформулирован как linear positivstellensatz.)
1914 год показал, что не всякая вещественная алгебраическая поверхность бирациональна $RP 2 {\ displaystyle \ mathbb {RP} ^ {2}}$ ${\ mathbb {RP}} ^ {2}$
Гипотеза Фейера 1916 года о неотрицательной тригонометрической полиномы. (Решено Фриджес Рисс.)
1927 Решение Эмиля Артина 17-й проблемы Гильберта
1927 Теорема Крулля – Бэра (связь между порядками и оценками)
Теорема Полиа 1928 г. о положительных многочленах на симплексе
1929 Б.Л. ван дер Варден набросок доказательства того, что вещественные алгебраические и полуалгебраические множества являются треугольными, но необходимые инструменты имеют не был разработан, чтобы сделать аргумент строгим.
1931 Реальное исключение квантора Альфреда Тарски . Улучшено и популяризировано Абрахамом Зайденбергом в 1954 году. (Оба используют теорему Штурма.)
1936 Герберт Зейферт доказал, что каждое замкнутое гладкое подмногообразие в $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ с тривиальным нормальным пучком, может быть изотопен компоненту неособого вещественного алгебраического подмножества $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , которое является полным пересечением ( из заключения этой теоремы слово «компонент» не может быть удалено).
1940 Теорема Маршалла Стоуна о представлении частично упорядоченных колец. Улучшено Ричардом Кадисоном в 1951 г. и Дональдом Дюбуа в 1967 г. (теорема Кадисона – Дюбуа о представлении). Дальнейшие улучшения были выполнены Михаем Путинаром в 1993 г. и Якоби в 2001 г. (теорема Путинара – Якоби).
1952 Джон Нэш доказал, что любое замкнутое гладкое многообразие диффеоморфно неособой компоненте вещественного алгебраического многообразия. набор.
1956 Сформулирована гипотеза Пирса – Биркгофа (решена в размерностях ≤ 2)
1964 Nullstellensatz и Positivestellensatz Кривина. Вновь открытый и популяризированный Стенглом в 1974 г. (Кривин использует исключение действительного квантора, а Стенгл использует теорему Лэнга о гомоморфизме.)
1964 г. Триангулированные полуаналитические множества Лоясевича
1964 Хейсуке Хиронака доказал разрешение теоремы об особенностях
1964 Хасслер Уитни доказал, что каждое аналитическое многообразие допускает стратификацию, удовлетворяющую условиям Уитни.
1967 Теодор Моцкин находит положительный многочлен, который не является суммой квадратов многочленов..
1973 Альберто Тоньоли доказал, что каждое замкнутое гладкое многообразие диффеоморфно неособому вещественному алгебраическому множеству.
1975 Джордж Э. Коллинз открывает алгоритм цилиндрической алгебраической декомпозиции, который улучшает метод исключения кванторов в реальном Тарского и позволяет реализовать его на компьютере.
1973 Жан-Луи Вердье доказал, что каждый субаналитический набор допускает стратификацию с условием (w).
1979 Мишель Кост и Мари-Франсуаза Рой обнаружила реальный спектр коммутативного кольца.
1980 Олег Виро представил технику «лоскутной обработки» и использовал ее для классификации реальных алгебраических кривых низкая степень. Позже Илья Итенберг и Виро использовали его для создания контрпримеров к гипотезе Рэгсдейла и применили его к тропической геометрии для подсчета кривых.
1980 Сельман Акбулут и Генри К. Кинг дали топологическую характеристику вещественных алгебраических множеств с изолированными особенностями и топологически охарактеризовали неособые вещественные алгебраические множества (не обязательно компактные)
1980 Акбулут и Кинг доказали, что каждый узел в $S n {\ displaystyle S ^ {n}}$ $S ^ {n}$ - это звено реального алгебраического множества с изолированной особенностью в $R n + 1 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}$
1981 Акбулут и Кинг доказали, что каждое компактное PL-многообразие PL гомеоморфно вещественному алгебраическому множеству.
1983 г. Акбулут и Кинг ввели «Топологические башни разрешения» как топологические модели вещественных алгебраических множеств, отсюда они получили новые топологические инварианты вещественных алгебраических множеств и топологически охарактеризованы все 3-мерные алгебраические множества. Эти инварианты позже обобщены Мишелем Косте и Кшиштофом Курдыкой, а также Клинтом МакКрори и Адамом Парусински.
Теорема Людвига Брекера 1984 года о минимальном порождении базовых открытых полуалгебраических множеств (улучшена и расширена до основных замкнутых полуалгебраические множества Шайдерера.)
1984 Бенедетти и Дедо доказали, что не всякое замкнутое гладкое многообразие диффеоморфно вполне алгебраическому неособому вещественному алгебраическому множеству (полностью алгебраическим понимается все его Z / 2Z-гомологии циклы представлены действительными алгебраическими подмножествами).
1991 Акбулут и Кинг доказали, что каждое замкнутое гладкое многообразие гомеоморфно вполне алгебраическому вещественному алгебраическому множеству.
1991 Решение Шмюдгена многомерной проблемы моментов для компактные полуалгебраические множества и связанные с ними строгие позитивные теории. Алгебраическое доказательство, найденное Вёрманном. Подразумевается версия Резника теоремы Артина с однородными знаменателями.
1992 Акбулут и Кинг доказали объемлющие версии теоремы Нэша-Тонноли: каждое замкнутое гладкое подмногообразие в R изотопно неособым точкам (компоненту) вещественного алгебраического подмножества в R, и они распространили этот результат на погруженные подмногообразия R.
1992 г. Бенедетти и Марин доказали, что любое компактное замкнутое гладкое 3-многообразие M может быть получено из $S 3 {\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ { 3}$ последовательностью взлетов и падений вдоль гладких центров, и этот M гомеоморфен возможно сингулярному аффинному вещественному алгебраическое рациональное трехмерное многообразие
1997 г. Бирстон и Мильман доказали теорему о каноническом разрешении особенностей.
1997 г. Михалкин доказал, что любое замкнутое гладкое n-многообразие может быть получено из $S n {\ displaystyle S ^ {n}}$ $S ^ {n}$ последовательностью топологических взлетов и падений
1998 Янош Коллар показал, что не каждое замкнутое 3-многообразие является профессиональным 3-мерное действительное вещественное число, бирациональное по отношению к RP
локально-глобальному принципу Шайдерера 2000 г. и связанное с ним нестрогое расширение positivstellensatz Шмюдгена в измерениях ≤ 2
2000 Янош Коллар доказал, что каждый замкнутое гладкое 3-многообразие - это действительная часть компактного комплексного многообразия, которое может быть получено из $CP 3 {\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {3}}$ $\ mathbb {CP} ^ 3$ последовательностью реальных раздутий
2003 Вельшингер вводит инвариант для подсчета вещественных рациональных кривых
2005 Акбулут и Кинг показали, что не каждое неособое вещественное алгебраическое подмножество RP гладко изотопно действительная часть неособого комплексного алгебраического подмножества CP

Литература

S. Акбулут и Х. Кинг, Топология вещественных алгебраических множеств, ИИГС Pub, 25. Springer-Verlag, New York (1992) ISBN 0-387-97744-9
Бочнак, Яцек; Косте, Мишель; Рой, Мари-Франсуаза. Реальная алгебраическая геометрия. Перевод с французского оригинала 1987 г. Отредактировано авторами. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], 36. Springer-Verlag, Berlin, 1998. x + 430 стр. ISBN 3 -540-64663-9
Басу, Саугата; Поллак, Ричард; Рой, Мари-Франсуаза Алгоритмы в реальной алгебраической геометрии. Второе издание. Алгоритмы и вычисления в математике, 10. Springer-Verlag, Berlin, 2006. x + 662 стр. ISBN 978-3-540-33098-1 ; 3-540-33098-4
Положительные многочлены Маршалла, Мюррея и суммы квадратов. Математические обзоры и монографии, 146. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2008. xii + 187 стр. ISBN 978-0-8218-4402-1 ; 0-8218-4402-4

Примечания

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с реальной алгебраической геометрией.