Теория Артина – Шрайера

редактировать

В математика, теория Артина – Шрайера - ветвь теории Галуа, в частности положительный характерный аналог теории Куммера, для расширений Галуа степени, равной характеристике p. Артин и Шрайер (1927) представили теорию Артина – Шрайера для расширений простой степени p, а Витт (1936) обобщил его на расширения степени простой степени р.

Если K является полем характеристики p, простым числом, любым полиномом формы

X p - X + α, {\ displaystyle X ^ {p} -X + \ alpha, \,}

X ^ p - X + \ alpha, \,

для $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ в K, называется полиномом Артина – Шрайера. Когда $α ≠ β п - β {\ displaystyle \ alpha \ neq \ beta ^ {p} - \ beta}$ ${\ displaystyle \ alpha \ neq \ beta ^ {p} - \ beta}$ для всех $β ∈ K {\ displaystyle \ beta \ in K}$ ${\ displaystyle \ beta \ in K}$ , этот многочлен неприводим в K [X], а его поле расщепления над K является циклическим расширением поля K степени p.. Это следует из того, что для любого корня β числа β + i для $1 ≤ i ≤ p {\ displaystyle 1 \ leq i \ leq p}$ $1 \ leq i \ leq p$ образуют все корни - по Маленькая теорема Ферма - поэтому поле расщепления равно $K (β) {\ displaystyle K (\ beta)}$ $K (\ beta)$ .

И наоборот, любое расширение Галуа K степени p, равное характеристике K, является расщеплением поле полинома Артина – Шрайера. Это может быть доказано с использованием аддитивных аналогов методов, используемых в теории Куммера, таких как теорема Гильберта 90 и аддитивная когомология Галуа. Эти расширения называются расширениями Артина – Шрайера.

Расширения Артина – Шрайера играют роль в теории разрешимости радикалами в характеристике p, представляя один из возможных классов расширений в разрешимой цепи.

Они также участвуют в теории абелевых разновидностей и их изогении. В характеристике p изогения степени p абелевых многообразий для их функциональных полей должна давать либо расширение Артина – Шрайера, либо чисто неотделимое расширение.

расширения Артина – Шрайера – Витта

Там является аналогом теории Артина – Шрайера, который описывает циклические расширения в характеристике p степени p-степени (а не только самой степени p) с использованием векторов Витта, разработанных Виттом (1936).

Ссылки

Артин, Эмиль ; Шрайер, Отто (1927), «Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, Springer Berlin / Heidelberg, 5 : 225–231, doi : 10.1007 / BF02952522, ISSN 0025-5858
Лэнг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников в Математика, 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001 Раздел VI.6
Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 0948.11001 Раздел VI.1
Witt, Ernst (1936), «Zyklische Körper und Algebren der Characteristik p. vom Grad p. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p ", Journal für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке), 176 : 126–140, doi :10.1515/crll.1937.176.126