Решетка (порядок)

Абстрактная структура, изучаемая в математических разделах теории порядка и абстрактной алгебры

Бинарные отношения
Симметричные Антисимметричный Connex Обоснованный Имеет соединения Соответствует Отношение эквивалентности ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Предварительный заказ (Квазипорядок) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Частичный заказ ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ Общий предварительный заказ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ Общий заказ ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ ✗ Предварительное упорядочение ✗ ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ Правильное квазиупорядочение ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Правильное упорядочение ✗ ✓ ✓ ✓ ✗ ✗ Решетка ✗ ✓ ✗ ✗ ✓ ✓ Соединение-полурешетка ✗ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ Встреча-полурешетка ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✓
Знак «✓» указывает, что свойство столбца требуется в определении строки.. Например, определение отношения эквивалентности требует, чтобы оно было симметричным.. Все определения неявно требуют транзитивности и рефлексивности.

A решетка - изученная абстрактная структура в математических разделах дисциплин теории порядка и абстрактной алгебры. Он состоит из частично упорядоченного набора, в котором каждые два элемента имеют уникальный supremum (также называемый наименьшей верхней границей или соединением ) и уникальным infimum (также называется наибольшей нижней границей или соответствовать ). Пример дается натуральными числами , частично упорядоченными по делимости, для которых уникальная верхняя грань является наименьшим общим кратным, а уникальная точная нижняя грань - наибольший общий делитель.

Решетки также можно охарактеризовать как алгебраические структуры, удовлетворяющие некоторым аксиоматическим тождествам. Поскольку два определения эквивалентны, теория решеток опирается как на теорию порядка, так и на универсальную алгебру. Полурешетки включают в себя решетки, которые, в свою очередь, включают в себя Гейтинга и булевы алгебры. Все эти "решетчатые" структуры допускают теоретико-упорядоченное, а также алгебраическое описание.

Содержание

• 1 Решетки как частично упорядоченные множества
• 2 Решетки как алгебраические структуры
  • 2.1 Общая решетка
  • 2.2 Ограниченная решетка
  • 2.3 Связь с другими алгебраическими структурами
• 3 Связь между двумя определения
• 4 Примеры
• 5 Примеры нерешеток
• 6 Морфизмы решеток
• 7 Подрешетки
• 8 Свойства решеток
  • 8.1 Полнота
  • 8.2 Условная полнота
  • 8.3 Дистрибутивность
  • 8.4 Модульность
  • 8.5 Полумодулярность
  • 8.6 Непрерывность и алгебраичность
  • 8.7 Дополнения и псевдодополнения
  • 8.8 Условие цепочки Джордана – Дедекинда
• 9 Свободные решетки
• 10 Важные теоретико-решеточные понятия
• 11 См. Также
  • 11.1 Приложения, использующие теорию решеток
• 12 Примечания
• 13 Ссылки
• 14 Внешние ссылки

Решетки как частично упорядоченные наборы

Если (L, ≤) является частично упорядоченным множеством (poset), а S ⊆ L - произвольным подмножеством, то элемент u ∈ L называется верхней границей множества S, если s ≤ u для каждого s ∈ S. A set может иметь много верхних границ или вообще не иметь. Верхняя граница u для S называется его наименьшей верхней границей, или join, или supremum, если u ≤ x для каждая верхняя граница x множества S. Множество не обязательно должно иметь наименьшую верхнюю границу, но не может иметь более одной. Двойственно, l ∈ L называется нижней границей S, если l ≤ s для каждого s ∈ S. Нижняя граница l для S называется его наибольшая нижняя граница, или meet, или infimum, если x ≤ l для каждой нижней границы x из S.Множество может иметь много нижних границ, или не может быть вообще, но может иметь не более одной точной нижней границы.

Частично упорядоченный набор (L, ≤) называется полурешёткой соединения, если каждое двухэлементное подмножество {a, b} ⊆ L имеет соединение ( т.е. наименьшая верхняя граница) и называется полурешёткой встреч, если каждое двухэлементное подмножество имеет пересечение (т.е. наибольшую нижнюю границу), обозначаемую a ∨ b и a ∧ b соответственно. (L, ≤) называется решеткой, если она является одновременно полурешеткой соединения и встречной. Это определение делает ∨ и ∧ бинарными операциями. Обе операции монотонны по отношению к заданному порядку: a 1 ≤ a 2 и b 1 ≤ b 2 подразумевает, что a 1 ∨ b 1 ≤ a 2 ∨ b 2 и a 1 ∧ b 1 ≤ a 2 ∧ b 2.

Из аргумента индукции следует, что каждое непустое конечное подмножество решетки имеет наименьшую верхнюю границу и наибольшую нижнюю границу. При дополнительных предположениях возможны дальнейшие выводы; см. Полнота (теория порядка) для более подробного обсуждения этого предмета. В этой статье также обсуждается, как можно перефразировать приведенное выше определение в терминах существования подходящих связей Галуа между связанными частично упорядоченными множествами - подход, представляющий особый интерес для теоретико-категориального подхода к решеткам., а для формального анализа концепций.

A ограниченная решетка - это решетка, которая дополнительно имеет элемент greatest (также называемый максимум или верхний элемент и обозначается 1 или $\top \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; top\}$) и least элемент ( также называется минимум или снизу, обозначается 0 или $\perp \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bot\}$), что удовлетворяет

0 ≤ x ≤ 1 для каждого x в L.

Каждую решетку можно вложить в ограниченную решетку, добавив искусственно наибольший и наименьший элемент, а каждая непустая конечная решетка ограничена путем соединения (соответственно, пересечения) всех элементы, обозначаемые $\bigvee \; L\; =\; a\; 1\; \vee \; \cdots \; \vee \; an\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bigvee\; L\; =\; a\_\; \{1\}\; \backslash \; lor\; \backslash \; cdots\; \backslash \; lor\; a\_\; \{n\}\}$(соответственно $\bigwedge \; L\; =\; a\; 1\; \wedge \; \cdots \; \wedge \; an\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bigwedge\; L\; =\; a\_\; \{1\}\; \backslash \; land\; \backslash \; cdots\; \backslash \; land\; a\_\; \{n\}\}$), где $L\; =\; \{a\; 1,\dots ,\; an\}\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \backslash \; \{a\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$.

Частично упорядоченный набор - это ограниченная решетка тогда и только тогда, когда каждый конечный набор элементов (включая пустой набор) имеет соединение и пересечение. Для каждого элемента x ч.у. тривиально верно (это пустая истина ), что $\forall \; a\; \in \; \varnothing :\; x\; \le \; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; a\; \backslash \; in\; \backslash \; varnothing:\; x\; \backslash \; leq\; a\}$и $\forall \; a\; \in \; \varnothing :\; a\; \le \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; a\; \backslash \; in\; \backslash \; varnothing:\; a\; \backslash \; leq\; x\}$, и, следовательно, каждый элемент poset является одновременно верхней и нижней границей пустого множества. Это означает, что соединение пустого набора является наименьшим элементом $\bigvee \; \varnothing \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bigvee\; \backslash \; varnothing\; =\; 0\}$, а соединение пустого набора является наибольшим элементом $\bigwedge \; \varnothing \; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bigwedge\; \backslash \; varnothing\; =\; 1\}$. Это согласуется с ассоциативностью и коммутативностью встречи и соединения: соединение объединения конечных множеств равно объединению объединений множеств, и, вдвойне, соединение объединения конечных множеств равно объединению объединения конечных множеств. точки пересечения множеств, т.е. для конечных подмножеств A и B некоторого множества L,

$\bigvee \; (A\; \cup \; B)\; =\; (\bigvee \; A)\; \vee \; (\bigvee \; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bigvee\; \backslash \; left\; (A\; \backslash \; cup\; B\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; bigvee\; A\; \backslash \; right)\; \backslash \; vee\; \backslash \; left\; (\backslash \; bigvee\; B\; \backslash \; right)\}$

и

$\bigwedge \; (A\; \cup \; B)\; =\; (\bigwedge \; A)\; \wedge \; (\bigwedge \; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bigwedge\; \backslash \; left\; (A\; \backslash \; cup\; B\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; bigwedge\; A\; \backslash \; right)\; \backslash \; wedge\; \backslash \; left\; (\backslash \; bigwedge\; B\; \backslash \; right)\}$

удерживайте. Принимая B за пустое множество,

$\bigvee \; (A\; \cup \; \varnothing )\; =\; (\bigvee \; A)\; \vee \; (\bigvee \; \varnothing )\; =\; (\bigvee \; A)\; \vee \; 0\; =\; \bigvee \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bigvee\; \backslash \; left\; (A\; \backslash \; cup\; \backslash \; emptyset\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; bigvee\; A\; \backslash \; right)\; \backslash \; vee\; \backslash \; left\; (\backslash \; bigvee\; \backslash \; emptyset\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; bigvee\; A\; \backslash \; right)\; \backslash \; vee\; 0\; =\; \backslash \; bigvee\; A\}$

и

$\bigwedge \; (A\; \cup \; \varnothing )\; знак\; равно\; (\bigwedge \; A)\; \wedge \; (\bigwedge \; \varnothing )\; =\; (\bigwedge \; A)\; \wedge \; 1\; =\; \bigwedge \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bigwedge\; \backslash \; left\; (A\; \backslash \; cup\; \backslash \; emptyset\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; bigwedge\; A\; \backslash \; right)\; \backslash \; wedge\; \backslash \; left\; (\backslash \; bigwedge\; \backslash \; emptyset\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; bigwedge\; A\; \backslash \; right)\; \backslash \; wedge\; 1\; =\; \backslash \; bigwedge\; A\}$

, что согласуется с тем фактом, что $A\; \cup \; \varnothing \; =\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; cup\; \backslash \; emptyset\; =\; A\}$.

Считается, что элемент решетки y покрывает другой элемент x, если y>x, но таких элементов не существует. что y>z>x. Здесь y>x означает x ≤ y и x ≠ y.

Решетка (L, ≤) называется graded, иногда ранжированной (но см. Ranked poset для альтернативное значение), если он может быть снабжен функцией ранга r от L до ℕ, иногда до ℤ, совместимой с порядком (так что r (x) < r(y) whenever x < y) such that whenever y covers x, then r(y) = r(x) + 1. The value of the rank function for a lattice element is called its rank .

Дано подмножество решетка, H ⊆ L, встречается и объединяется, ограничивает частичными функциями - они не определены, если их значение не находится в подмножестве H. Полученная структура на H называется частичной решеткой . В дополнение к этому внешнему определению как подмножеству некоторой другой алгебраической структуры (решетки), частичная решетка также может быть внутренне определена как набор с двумя частичными бинарными операциями, удовлетворяющими определенным аксиомам.

Решетки как алгебраические структуры

Общая решетка

алгебраическая структура (L, ∨, ∧), состоящая из набора L и двух двоичных операций ∨ и ∧, на L является решеткой, если следующие аксиоматические тождества выполняются для всех элементов a, b, c из L.

Коммутативные законы a ∨ b = b ∨ a, a ∧ b = b ∧ a.

Ассоциативные законы a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c, a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c.

Законы поглощения a ∨ (a ∧ b) = a, a ∧ (a ∨ b) = a.

Следующие два тождества также обычно считаются аксиомами, даже если они следуют из двух законов поглощения вместе взятых.

Идемпотентные законы

a ∨ a = a,

a ∧ a = a.

Эти аксиомы утверждают, что и (L, ∨), и (L, ∧) являются полурешетками. Законы поглощения, единственные вышеприведенные аксиомы, в которых встречаются и встречаются, и соединяются, отличают решетку от произвольной пары полурешеточных структур и гарантируют, что две полурешетки взаимодействуют соответствующим образом. В частности, каждая полурешетка является двойственной другой.

Ограниченная решетка

A ограниченная решетка - это алгебраическая структура вида (L, ∨, ∧, 0, 1) такая, что (L, ∨, ∧) является решеткой, 0 ( нижняя часть решетки) - это тождественный элемент для операции соединения ∨, а 1 (верх решетки) - это тождественный элемент для операции встречи ∧.

Законы идентичности

a ∨ 0 = a,

a ∧ 1 = a.

Подробнее см. полурешетка.

Связь с другими алгебраическими структурами

Решетки имеют некоторые связи с семейством групповых алгебраических структур. Поскольку meet и join как коммутируют, так и связывают, решетку можно рассматривать как состоящую из двух коммутативных полугрупп , имеющих одну и ту же область. Для ограниченной решетки эти полугруппы фактически являются коммутативными моноидами. Закон поглощения - единственное определяющее свойство, характерное для теории решетки.

Под коммутативностью и ассоциативностью можно рассматривать соединение и встречу как операции над непустыми конечными множествами, а не над парами элементов. В ограниченной решетке соединение и пересечение пустого множества также могут быть определены (как 0 и 1 соответственно). Это делает ограниченные решетки несколько более естественными, чем решетки общего вида, и многие авторы требуют, чтобы все решетки были ограниченными.

Алгебраическая интерпретация решеток играет важную роль в универсальной алгебре.

Связь между двумя определениями

Теоретико-порядковая решетка порождает две бинарные операции ∨ и ∧. Поскольку коммутативные, ассоциативные законы и законы поглощения легко проверяются для этих операций, они превращают (L, ∨,) в решетку в алгебраическом смысле.

Верно и обратное. Для данной алгебраически определенной решетки (L, ∨, ∧) можно определить частичный порядок ≤ на L, задав

a ≤ b, если a = a ∧ b, или

a ≤ b, если b = a ∨ b,

для всех элементов a и b из L. Законы поглощения гарантируют, что оба определения эквивалентны:

a = a ∧ b подразумевает b = b ∨ (b ∧ a) = ( a ∧ b) ∨ b = a ∨ b

и вдвойне для другого направления.

Теперь можно проверить, что отношение ≤, введенное таким образом, определяет частичный порядок, в котором двоичные встречи и соединения задаются посредством исходных операций ∨ и ∧.

Поскольку два определения решетки эквивалентны, можно свободно задействовать аспекты любого определения любым способом, который подходит для данной цели.

Примеры

Рис. 5: Решетка неотрицательных целочисленных пар, упорядоченная покомпонентно.

Рис. 4: Решетка натуральных чисел, упорядоченная по ≤.

Рис. 3: Решетка из разделов из {1, 2, 3, 4}, упорядоченных "уточнениями".

Рис. 2: Решетка целых делителей 60, упорядоченная по принципу «делит».

Рис. 1: Решетка подмножеств {x, y, z}, упорядоченных по "является подмножеством". Название «решетка» подсказано формой диаграммы Хассе, изображающей это.

• Для любого набора A совокупность всех подмножеств A (называемая набором мощности A) можно заказать через включение подмножества для получения решетки, ограниченной самим A и пустым набором. Задайте пересечение и union интерпретировать встречу и соединение соответственно (см. Рис. 1).
• Для любого множества A совокупность всех конечных подмножеств A, упорядоченных по включению, также является решеткой и будет ограниченным тогда и только тогда, когда A конечно.
• Для любого множества A совокупность всех разбиений множества A, упорядоченных по уточнение, представляет собой решетку (см. рис. 3).
• целые положительные числа в их обычном порядке образуют решетку при операциях «min» и «max». 1 - нижний; нет вершины (см. рис. 4).
• декартов квадрат натуральных чисел, упорядоченный так, что (a, b) ≤ (c, d), если a ≤ c и b ≤ d. Пара (0, 0) - нижний элемент; нет вершины (см. рис. 5).
• Натуральные числа также образуют решетку при операциях взятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, с делимостью в качестве отношения порядка: a ≤ b, если a делит b. 1 - нижний; 0 - верх. Рис. 2 показана конечная подрешетка.
• Каждая полная решетка (также см. ниже) является (довольно специфической) ограниченной решеткой. Этот класс дает начало широкому кругу практических примеров.
• Набор компактных элементов арифметической полной решетки представляет собой решетку с наименьшим элементом, где решетка операции задаются ограничением соответствующих операций арифметической решетки. Это особое свойство, которое отличает арифметические решетки от алгебраических решеток, для которых компакты образуют только полурешетку соединения. Оба этих класса полных решеток изучаются в теории областей.

. Дополнительные примеры решеток приведены для каждого из дополнительных свойств, обсуждаемых ниже.

Примеры нерешеток

Рис. 8: ЧУМ без решетки: a и b имеют общие нижние границы 0, d, g, h и i, но ни одна из них не является точной нижней границей.

Рис. 7: Нерешетчатое множество: b и c имеют общие верхние границы d, e и f, но ни одна из них не является наименьшей верхней границей.

Рис. 6: Нерешетчатый poset: c и d не имеют общей верхней границы.

Большинство частично упорядоченных множеств не являются решетками, включая следующие.

• Дискретное ЧУМ, означающее ЧУМ, такое, что x ≤ y влечет x = y, является решеткой тогда и только тогда, когда она имеет не более одного элемента. В частности, двухэлементный дискретный ч.у.м. не является решеткой.
• Хотя набор {1, 2, 3, 6}, частично упорядоченный по делимости, является решеткой, набор {1, 2, 3} упорядочен таким образом не является решеткой, потому что пара 2, 3 не имеет соединения; аналогично, 2, 3 не имеет пересечения в {2, 3, 6}.
• Множество {1, 2, 3, 12, 18, 36}, частично упорядоченное по делимости, не является решеткой. Каждая пара элементов имеет верхнюю границу и нижнюю границу, но пара 2, 3 имеет три верхние границы, а именно 12, 18 и 36, ни одна из которых не является наименьшей из этих трех при делимости (12 и 18 не делят друг друга). Точно так же пара 12, 18 имеет три нижние границы, а именно 1, 2 и 3, ни одна из которых не является наибольшей из этих трех по делимости (2 и 3 не делят друг друга).

Морфизмы решеток

Рис. 9: Монотонное отображение f между решетками, которое не сохраняет ни стыков, ни пересечений, поскольку f (u) ∨ f (v) = u ′ ∨ u ′ = u ′ ≠ 1 ′ = f (1) = f (u ∨ v) и f (u) ∧ f (v) = u ′ ∧ u ′ = u ′ ≠ 0 ′ = f (0) = f (u ∧ v).

Соответствующее понятие морфизма между двумя решетками легко вытекает из алгебраического определения выше. Даны две решетки (L, L, ∧ L) и (M, ∨ M, ∧ M), a решеточный гомоморфизм из L в M - это функция f: L → M такая, что для всех a, b ∈ L:

f (a ∨ L b) = f (a) ∨ M f (b) и

f (a ∧ L b) = f (a) ∧ M f (b).

Таким образом, f является гомоморфизмом двух лежащих в основе полурешеток. Когда рассматриваются решетки с большей структурой, морфизмы также должны "учитывать" дополнительную структуру. В частности, гомоморфизм ограниченной решетки (обычно называемый просто «решеточный гомоморфизм») f между двумя ограниченными решетками L и M также должен обладать следующим свойством:

f (0 L) = 0 M и

f (1 L) = 1 M.

В теоретико-порядковой формулировке эти условия просто утверждают, что гомоморфизм решетки - это функция , сохраняющая двоичные встречи и соединения. Для ограниченных решеток сохранение наименьшего и наибольшего элементов - это просто сохранение соединения и встречи пустого множества.

Любой гомоморфизм решеток обязательно монотонный по отношению к ассоциированному отношению упорядочения; см. Функция сохранения предела. Обратное неверно: монотонность никоим образом не подразумевает требуемого сохранения встреч и объединений (см. Рис.9), хотя сохраняющая порядок биекция является гомоморфизмом, если ее инверсия также сохраняет порядок.

Учитывая стандартное определение изоморфизмов как обратимых морфизмов, решеточный изоморфизм - это просто биективный решеточный гомоморфизм. Аналогично, решеточный эндоморфизм - это решеточный гомоморфизм решетки в себя, а решеточный автоморфизм - это биективный решеточный эндоморфизм. Решетки и их гомоморфизмы образуют категорию.

Подрешетки

Подрешетка решетки L - это подмножество L, которое является решеткой с теми же операциями соединения и соединения, что и L. То есть, если L - решетка, а M - такое подмножество L, что для каждой пары элементов a, b в M и a ∧ b, и a ∨ b принадлежат M, тогда M является подрешеткой L.

Подрешетка M решетки L является выпуклой подрешеткой в ​​L, если x ⩽ z ⩽ y и x, y в M влечет, что z принадлежит M для всех элементов x, y, z в L.

Свойства решетки решетки

Теперь мы введем ряд важных свойств, которые приводят к интересным специальным классам решеток. Один из них - ограниченность - уже обсуждался.

Полнота

ЧУМ называется полной решеткой, если все ее подмножества имеют как соединение, так и пересечение. В частности, всякая полная решетка является ограниченной решеткой. В то время как ограниченные решеточные гомоморфизмы в общем случае сохраняют только конечные соединения и пересечения, полные решеточные гомоморфизмы требуются для сохранения произвольных соединений и пересечений.

Каждый ч.у., являющийся полной полурешёткой, также является полной решеткой. С этим результатом связано интересное явление, заключающееся в том, что существуют различные конкурирующие понятия гомоморфизма для этого класса множеств, в зависимости от того, рассматриваются ли они как полные решетки, полные соединения-полурешетки, полные пересекающиеся полурешетки, либо как полные по соединению, либо как пересекающиеся. полные решетки.

Обратите внимание, что «частичная решетка» не является противоположностью «полной решетки» - скорее, «частичная решетка», «решетка» и «полная решетка» становятся все более ограничительными определениями.

Условная полнота

A условно полная решетка - это решетка, в которой каждое непустое подмножество, имеющее верхнюю границу, имеет соединение (т. Е. Наименьшую верхнюю границу). Такие решетки обеспечивают наиболее прямое обобщение аксиомы полноты для действительных чисел. Условно полная решетка - это либо полная решетка, либо полная решетка без ее максимального элемента 1, минимального элемента 0 или обоих.

Распределительность

Рис. 11: Наименьшая немодулярная (и, следовательно, недистрибутивная) решетка N 5.. Помеченные элементы нарушают уравнение дистрибутивности c ∧ (a ∨ b) = (c ∧ a) ∨ (c ∧ b), но удовлетворяют его двойственный c ∨ (a ∧ b) = (c ∨ a) ∧ (c ∨ b).

Рис. 10: Наименьшая недистрибутивная (но модульная) решетка M 3.

Поскольку решетки имеют две бинарные операции, естественно задать вопрос, распределяет ли одна из них над другой, т. Е. Одна или другой из следующих двойственных законов выполняется для любых трех элементов a, b, c из L:

Распределимость ∨ по ∧

a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Распределимость ∧ по ∨

a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c).

Решетка, удовлетворяющая первой или, что эквивалентно (как выясняется) второй аксиоме, называется дистрибутивной решеткой . Единственные недистрибутивные решетки, содержащие менее 6 элементов, называются M 3 и N 5 ; они показаны на Рисунках 10 и 11 соответственно. Решетка является дистрибутивной тогда и только тогда, когда она не имеет подрешетки, изоморфной M 3 или N 5. Каждая дистрибутивная решетка изоморфна решетке множеств (с объединением и пересечением в качестве соединения и встречи соответственно).

Для обзора более сильных понятий дистрибутивности, которые подходят для полных решеток и которые используются для определения большего количества специальные классы решеток, такие как фреймы и полностью распределительные решетки, см. дистрибутивность в теории порядка.

Модульность

Для некоторых приложений условие дистрибутивности слишком сильное, и часто бывает полезно следующее более слабое свойство. Решетка (L, ∨, ∧) является модулярной, если для всех элементов a, b, c из L выполняется следующее тождество.

Модульное тождество

(a ∧ c) ∨ (b ∧ c) = ((a ∧ c) ∨ b) ∧ c.

Это условие эквивалентно следующей аксиоме.

Модульный закон

a ≤ c подразумевает a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c.

Решетка является модульной тогда и только тогда, когда у нее нет подрешетки, изоморфный N 5 (показан на рис. 11). Помимо дистрибутивных решеток, примерами модульных решеток являются решетка двусторонних идеалов кольца кольца, решетка подмодулей модуля и решетка обычные подгруппы из группы. набор термов первого порядка с порядком «более конкретен, чем» представляет собой немодульную решетку, используемую в автоматических рассуждениях.

Полумодулярность

Конечная решетка является модульной тогда и только тогда, когда он одновременно верхний и нижний полумодульный. Для градуированной решетки (верхняя) полумодулярность эквивалентна следующему условию на ранговую функцию r:

r (x) + r (y) ≥ r (x ∧ y) + r (x ∨ y).

Еще одно эквивалентное (для градуированных решеток) условие - это условие Биркгофа :

для каждого x и y в L, если x и y покрывают x ∧ y, то x ∨ y покрывает как x, так и y.

Решетка называется полумодулярной снизу, если двойственная к ней полумодулярна. Для конечных решеток это означает, что предыдущие условия выполняются с заменой ∨ и ∧, заменой «покрытий» на «покрывается» и обращением неравенств.

Непрерывность и алгебраичность

В Теория предметной области, естественно стремиться аппроксимировать элементы в частичном порядке "гораздо более простыми" элементами. Это приводит к классу, состоящему из положений, где каждый элемент может быть получен как верхняя грань направленного набора элементов, которые находятся ниже элемента. Если можно дополнительно ограничить их компактными элементами ч.у.м. для получения этих направленных множеств, то ч.у. будет даже алгебраическим. Обе концепции могут быть применены к решеткам следующим образом:

• A непрерывная решетка - это полная решетка, непрерывная как ч.у.ст.
• алгебраическая решетка является полной решеткой, алгебраической как ч.у.н.

Оба эти класса обладают интересными свойствами. Например, непрерывные решетки можно охарактеризовать как алгебраические структуры (с бесконечными операциями), удовлетворяющие определенным тождествам. Хотя такая характеристика не известна для алгебраических решеток, они могут быть описаны «синтаксически» с помощью информационных систем Скотта.

Дополнения и псевдодополнения

Пусть L - ограниченная решетка с наибольшим элементом 1 и наименьший элемент 0. Два элемента x и y из L являются дополнениями друг к другу тогда и только тогда, когда:

x ∨ y = 1 и x ∧ y = 0.

В общем, некоторые элементы ограниченной решетки может не иметь дополнения, а другие могут иметь более одного дополнения. Например, множество {0, ½, 1} с его обычным порядком является ограниченной решеткой, а ½ не имеет дополнения. В ограниченной решетке N 5 элемент a имеет два дополнения, а именно. б и в (см. рис. 11). Ограниченная решетка, для которой каждый элемент имеет дополнение, называется дополняемой решеткой.

Дополненная решетка, которая также является дистрибутивной, - это булева алгебра. Для дистрибутивной решетки дополнение к x, если оно существует, единственно.

В случае, если дополнение уникально, мы пишем ¬x = y и, что эквивалентно, ¬y = x. Соответствующая унарная операция над L, называемая дополнением, вводит аналог логического отрицания в теорию решеток.

Алгебры Гейтинга являются примером распределительных решеток, в которых некоторые элементы могут не иметь дополнений. С другой стороны, каждый элемент x алгебры Гейтинга имеет псевдодополнение, также обозначаемое ¬x. Псевдодополнение - это наибольший элемент y такой, что x ∧ y = 0. Если псевдодополнение каждого элемента алгебры Гейтинга на самом деле является дополнением, то алгебра Гейтинга на самом деле является булевой алгеброй.

условие цепочки Джордана – Дедекинда

A цепочка от x 0 до x n - это набор $\{x\; 0,\; x\; 1,\dots ,\; xn\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{x\_\; \{0\},\; x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$, где . Длина этой цепочки равна n или на единицу меньше, чем количество ее элементов. Цепочка является максимальной, если x i покрывает x i − 1 для всех 1 ≤ i ≤ n.

Если для любой пары x и y, где x

Свободные решетки

Любой набор X может быть использован для создания свободной полурешетки FX. Свободная полурешетка определяется как состоящая из всех конечных подмножеств X, при этом операция полурешетки задается обычным set union. Свободная полурешетка обладает универсальным свойством. Для свободной решетки над множеством X Уитмен дал конструкцию, основанную на многочленах над членами X.

Важные теоретико-решеточные понятия

Мы Теперь определим некоторые теоретико-порядковые понятия, важные для теории решеток. Далее пусть x - элемент некоторой решетки L. Если L имеет нижний элемент 0, иногда требуется x ≠ 0. x называется:

• Соединение неприводимым, если x = a ∨ b влечет x = a или x = b для всех a, b в L. Когда первое условие обобщается на произвольные соединения $\bigvee \; i\; \in \; I\; ai\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bigvee\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; I\}\; a\_\; \{i\}\}$, x называется полностью соединить неприводимым (или ∨-неприводимым). Двойственное понятие - это с неприводимостью (∧-неприводимость). Например, на рис. 2 элементы 2, 3, 4 и 5 неприводимы к соединению, а элементы 12, 15, 20 и 30 - к неприводимым. В решетке вещественных чисел с обычным порядком каждый элемент является неприводимым к соединению, но ни один не является полностью неприводимым к соединению.
• Соединить простое число, если x ≤ a ∨ b влечет x ≤ a или x ≤ б. Это тоже можно обобщить, чтобы получить понятие полностью соединить простое число . Двойственное понятие - и простое число . Каждый элемент с простым соединением также является неприводимым по соединению, и каждый элемент с простым соединением также является неприводимым. Обратное верно, если L является дистрибутивным.

Пусть L имеет нижний элемент 0. Элемент x из L является атомом, если 0 < x and there exists no element y of L such that 0 < y < x. Then L is called:

• Атомарным, если для каждого ненулевого элемента x из L, существует атом a в L такой, что a ≤ x;
• Атомистический, если каждый элемент L является супремумом атомов.

Понятия идеалов и двойное понятие фильтров относятся к конкретным видам подмножеств частично упорядоченного набора и поэтому важны для теории решеток. Подробности можно найти в соответствующих записях.

См. Также

• Соединение и соответствие
• Карта решеток
• Ортодополненная решетка
• Общий порядок
• Идеал и фильтр (двойные понятия)
• Косая решетка (обобщение до некоммутативного соединения и пересечения)
• Решетка Эйлера
• Решетка Поста
• Решетка Тамари
• Решетка Юнга – Фибоначчи
• 0,1-простая решетка

Приложения, использующие теорию решеток

Обратите внимание, что во многих приложениях множества являются только частичными решетками: не каждая пара элементов имеет пересечение или соединение.

• Бессмысленная топология
• Решетка подгрупп
• Спектральное пространство
• Инвариантное подпространство
• Оператор замыкания
• Абстрактная интерпретация
• Решетка подчинения
• Нечеткое множество теория

• Алгебраизации логика первого порядка
• Семантика языков программирования
• Теория предметной области
• Онтология (информатика)
• Множественное наследование
• Формальный анализ понятий и (теория и инструмент)
• фильтр Блума
• Информационный поток
• Порядковая оптимизация
• Квантовая логика
• Медианный граф
• Пространство знаний
• Регулярное изучение языка
• Аналоговое моделирование

Примечания

Ссылки

Монографии, доступные бесплатно в Интернете:

• Беррис, Стэнли Н. и Санкаппанавар, HP, 1981. Курс универсальной алгебры. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.
• Джипсен, Питер и Генри Роуз, Разновидности решеток, конспект лекций по математике 1533, Springer Verlag, 1992. ISBN 0-387-56314-8.
• Nation, JB, Notes on Lattice Theory. Главы 1–6. Главы 7–12; Приложения 1–3.

Основные тексты, рекомендованные для людей с ограниченной математической зрелостью :

• Доннеллан, Томас, 1968. Теория решеток. Pergamon.
• Grätzer, George, 1971. Теория решеток: первые концепции и распределительные решетки. W. H. Freeman.

Стандартный современный вводный текст, несколько сложнее, чем приведенный выше:

• Davey, B. A.; Пристли, HA (2002), Introduction to Lattices and Order, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78451-1

Продвинутые монографии:

• Гарретт Биркгоф, 1967. Теория решеток, 3-е изд. Vol. 25 публикаций коллоквиума AMS. Американское математическое общество.
• Роберт П. Дилворт и Кроули, Питер, 1973. Алгебраическая теория решеток. Прентис-Холл. ISBN 978-0-13-022269-5.
• Гретцер, Джордж (1996) [1978]. General Lattice Theory (Second ed.). Базель: Биркхойзер. ISBN 978-3-7643-6996-5.

On free lattices:

• R. Freese, J. Jezek, and J. B. Nation, 1985. "Free Lattices". Mathematical Surveys and Monographs Vol. 42. Mathematical Association of America.
• Johnstone, P. T., 1982. Stone spaces. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 3. Cambridge University Press.

On the history of lattice theory:

• Štĕpánka Bilová (2001). Eduard Fuchs (ed.). Lattice theory — its birth and life (PDF). Прометей. pp. 250–257.

On applications of lattice theory:

• Garrett Birkhoff (1967). James C. Abbot (ed.). What can Lattices do for you?. Van Nostrand.Table of contents

External links

Wikimedia Commons has media related to Lattice (order).

• , Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Lattice". MathWorld.
• J.B. Nation, Notes on Lattice Theory, unpublished course notes available as two PDF files.
• Ralph Freese, "Lattice Theory Homepage".
• OEISsequence A006966 (Number of unlabeled lattices with n elements)