Список тем реального анализа

Это список статей, которые считаются реальным анализом темы.

• 1 Общие темы
  • 1.1 Ограничения
  • 1.2 Последовательности и серии
    • 1.2.1 Методы суммирования
    • 1.2.2 Дополнительные темы
  • 1.3 Конвергенция
    • 1.3.1 Тесты сходимости
  • 1.4 Функции
    • 1.4.1 Непрерывность
    • 1.4.2 Распределения
    • 1.4.3 Вариация
  • 1.5 Производные
    • 1.5.1 Правила дифференциации
    • 1.5.2 Дифференциация в геометрии и топология
  • 1.6 Интегралы
    • 1.6.1 Интегрирование и теория меры
• 2 Основные теоремы
• 3 Основные темы
  • 3.1 Числа
    • 3.1.1 Действительные числа
    • 3.1.2 Конкретные числа
  • 3.2 Наборы
  • 3.3 Карты
• 4 Прикладные математические инструменты
  • 4.1 Бесконечные выражения
  • 4.2 Неравенства
  • 4.3 Средние
  • 4.4 Ортогональные многочлены
  • 4.5 Пробелы
  • 4.6 Меры
  • 4.7 Поле наборов
• 5 Исторические цифры
• 6 Связанные поля анализа
• 7 См. Также

Пределы

• Предел последовательности
  • Дополнительный предел - предел некоторой подпоследовательности
• Предел функции (см. Список ограничений для списка пределов общих функций)
  • Односторонний предел - любой из двух пределов функций вещественных переменных x, когда x приближается к точке сверху или снизу
  • Теорема сжатия - подтверждает ограничение функции путем сравнения с двумя другими функциями.
  • Обозначение Big O - используется для описания ограничивающего поведения функции, когда аргумент стремится к определенному значению или бесконечности, обычно в терминах более простых функций

Последовательности и серии

(см. Также список математических рядов )

• Арифметическая прогрессия - последовательность чисел, такая, что разница между последовательными членами константа
  • Обобщенная арифметическая прогрессия - последовательность чисел, такая, что разница между последовательными членами может быть одной из нескольких возможных констант
• Геометрическая прогрессия - последовательность чисел, в которой каждый последующий член находится по умножение предыдущего на фиксированное ненулевое число
• Гармоническая прогрессия - последовательность, образованная обратной величиной членов арифметической прогрессии
• Конечная последовательность - см. последовательность
• Бесконечная последовательность - см. последовательность
• Дивергентная последовательность - см. предел последовательности или расходящегося ряда
• Конвергентная последовательность - см. предел последовательности или сходящийся ряд
  • Последовательность Коши - последовательность, элементы которой становятся произвольно близкими друг к другу по мере развития последовательности
• Сходящийся ряд - ряд, последовательность частичных сумм которого сходится
• Расходящийся ряд - ряд, последовательность которого частичных сумм расходится
• Степенный ряд - ряд вида $f\; (x)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; an\; (x\; -\; c)\; n\; =\; a\; 0\; +\; a\; 1\; (x\; -\; c)\; 1\; +\; a\; 2\; (x\; -\; c)\; 2\; +\; a\; 3\; (x\; -\; c)\; 3\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; \backslash \; left\; (xc\; \backslash \; справа)\; ^\; \{n\}\; =\; a\_\; \{0\}\; +\; a\_\; \{1\}\; (xc)\; ^\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; (xc)\; ^\; \{2\}\; +\; a\_\; \{3\}\; (xc)\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; cdots\; \}$
  • Ряд Тейлора - ряд вида $f\; (a)\; +\; f\; \prime \; (a)\; 1!\; (х\; -\; а)\; +\; е\; ″\; (а)\; 2!\; (х\; -\; а)\; 2\; +\; е\; (3)\; (а)\; 3!\; (х\; -\; а)\; 3\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (a)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}(a)\}\; \{1!\}\}\; (xa)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{f\text{'}\; \text{'}(a)\}\; \{2!\}\}\; (xa)\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{f\; ^\; \{(3)\}\; (a)\}\; \{3!\}\}\; (xa)\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; cdots.\}$
    • Серия Маклорена - см. Серия Тейлора
      • Биномиальный ряд - ряд Маклорена функции f, заданной как f (x) = (1 + x)
• Телескопический ряд
• Переменный ряд
• Геометрический ряд
  • Расходящийся геометрический ряд
• Гармонический ряд
• Ряд Фурье
• Ряд Ламберта

Суммирование методы

• Суммирование Чезаро
• Суммирование Эйлера
• Суммирование Ламберта
• Суммирование Бореля
• Суммирование по частям - преобразует суммирование произведений в другие суммирования
• среднее значение Чезаро
• формула суммирования Абеля

Более сложные вопросы

• Свертка
  • произведение Коши - дискретная свертка двух последовательностей
• Фари последовательность - последовательность полностью сокращенных дробей между 0 и 1
• Колебание - это поведение последовательности действительных чисел или действительной функции, которая не сходится, но также делает не расходятся к + ∞ или −∞; и также является количественной мерой для этого.
• Неопределенные формы - алгебраические выражения, полученные в контексте ограничений. Неопределенные формы включают 0, 0/0, 1, ∞ - ∞, ∞ / ∞, 0 × ∞ и ∞.

Сходимость

• Поточечная сходимость, Равномерная сходимость
• Абсолютная сходимость, Условная сходимость
• Нормальная сходимость
• Радиус сходимости

Тесты сходимости

• Интегральный тест на сходимость
• Тест сходимости Коши
• Тест отношения
• Тест прямого сравнения
• Тест сравнения пределов
• Корневой тест
• Тест чередующихся серий
• Тест Дирихле
• Теорема Штольца – Чезаро - критерий для доказательства сходимости последовательности

Функции

• Функция действительной переменной
• Действительная функция многих переменных
• Непрерывная функция
  • Нигде непрерывная функция
  • Функция Вейерштрасса
• Гладкая функция
  • Аналитическая функция
    • Квазианалитическая функция
  • Неаналитическая гладкая функция
  • Плоская функция
  • Функция выдавливания
• Дифференцируемая функция
• Интегрируемая функция
  • Интегрируемая по квадрату функция, p-интегрируемая функция
• Монотонная функция
  • Be Теорема Рнштейна о монотонных функциях - утверждает, что любая действительная функция на полупрямой [0, ∞), которая является полностью монотонной, является смесью экспоненциальных функций
• Обратная функция
• Выпуклая функция, Вогнутая функция
• Сингулярная функция
• Гармоническая функция
  • Слабая гармоническая функция
  • Правильная выпуклая функция
• Рациональная функция
• Ортогональная функция
• Неявные и явные функции
  • Теорема о неявной функции - позволяет преобразовывать отношения в функции
• Измеряемая функция
• Функция одной звезды Бэра
• Симметричная функция
• Домен
• Кодомен
  • Изображение
• Поддержка
• Дифференциал функция

Непрерывность

• Равномерная непрерывность
  • Модуль непрерывности
• Липшицева непрерывность
• Полунепрерывность
• Равностепенная
• Абсолютная непрерывность
• Условие Гельдера - условие непрерывности Гельдера

Распределения

• дельта-функция Дирака
• ступенчатая функция Хевисайда
• преобразование Гильберта
• функция Грина

Вариация

• B Округленная вариация
• Общая вариация

Производные

• Вторая производная
  • Точка перегиба - найдена с использованием вторых производных
• Направленная производная, Полная производная, Частная производная

Правила дифференцирования

• Линейность дифференцирования
• Правило продукта
• Правило коэффициента
• Цепное правило
• Теорема об обратной функции - дает достаточные условия для того, чтобы функция была обратимой в окрестности точки в ее области определения, также дает формулу для производной обратной функции

Дифференциация в геометрии и топологии

см. также Список тем по дифференциальной геометрии

• Дифференцируемое многообразие
• Дифференцируемая структура
• Субмерсия - дифференцируемое отображение между дифференцируемыми многообразиями, дифференциал которых всюду сюръективен

Интегралы

(см. Также Списки интегралов )

• Первообразное
  • Основная теорема исчисление - теорема о первообразных
• Кратный интеграл
• Повторный интеграл
• Несобственный интеграл
  • Главное значение Коши - метод присвоения значений некоторым несобственным интегралам
• Линейный интеграл
• Теорема Андерсона - говорит, что интеграл интегрируемого, симметричного, унимодального, не- отрицательная функция над n-мерным выпуклым телом (K) не уменьшается, если K переводится внутрь к началу координат

Теория интеграции и меры

см. также Список тем по теории интегрирования и меры

• Интеграл Римана, Сумма Римана
  • Интеграл Римана – Стилтьеса
• Интеграл Дарбу
• Интегрирование Лебега

• Теорема о монотонной сходимости - связывает монотонность с конвергенция
• Теорема о промежуточном значении - утверждает, что для каждого значения между наименьшей верхней границей и наибольшей нижней границей изображения непрерывной функции существует по крайней мере одна точка в ее области определения, которой функция сопоставляет value
• Теорема Ролля - по существу утверждает, что дифференцируемая функция w который достигает равных значений в двух разных точках, должен иметь точку где-то между ними, где первая производная равна нулю
• Теорема о среднем значении - что для данной дуги дифференцируемой кривой существует по крайней мере одна точка на та дуга, на которой производная кривой равна "средней" производной дуги
• Теорема Тейлора - дает приближение $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$<Функция, умноженная на 181>, вокруг заданной точки с помощью полинома Тейлора $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-го порядка.
• Правило Л'Опиталя - использует производные для помочь оценить пределы, связанные с неопределенными формами
• Теорема Абеля - связывает предел степенного ряда с суммой его коэффициентов
• Теорема обращения Лагранжа - дает ряд Тейлора инверсия аналитической функции
• Теорема Дарбу - утверждает, что все функции, возникающие в результате дифференцирования других функций, обладают свойством промежуточного значения: образ интервала также является интервалом
• Теорема Гейне – Бореля - иногда используется как определяющее свойство компактности
• Теорема Больцано – Вейерштрасса - утверждает, что каждая ограниченная последовательность в $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$имеет сходящуюся подпоследовательность
• Теорема экстремального значения - утверждает, что если функция $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$непрерывен в замкнутом и ограниченном интервале $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$, тогда он должен достигать максимума и минимум

Числа

Действительные числа

• Построение действительных чисел
  • Натуральное число
  • Целое число
  • Рациональное число
  • Иррациональное число
• Полнота вещественные числа
• свойство наименьшей верхней границы
• вещественная линия
  • расширенная строка вещественных чисел
  • вырезка по Дедекинду

конкретные числа

• 0
• 1
  • 0,999...
• бесконечность

наборы

• Открытый набор
• Окрестности
• Набор Кантора
• Производный набор (математика)
• Полнота
• Верхний предел и l imit inferior
  • Supremum
  • Infimum
• Interval
  • Разделение интервала

Карты

• Отображение сокращения
• Metric map
• Фиксированная точка - точка функции, которая сопоставляется с самим собой

Прикладные математические инструменты

Бесконечные выражения

• Непрерывная дробь
• Серии
• Бесконечные произведения

Неравенства

См. список неравенств

• Неравенство треугольника
• Неравенство Бернулли
• Неравенство Коши – Шварца
• Неравенство Гёльдера
• Неравенство Минковского
• Неравенство Йенсена
• Неравенство Чебышева
• Неравенство арифметических и геометрических средних

Средних средних

• Пифагоровые средние
  • Среднее арифметическое
  • Геометрическое среднее
  • Гармоническое среднее
• Геометрическо-гармоническое среднее
• Среднее арифметико-геометрическое
• Средневзвешенное
• Квазиарифметическое среднее

Ортогональное многочлены

• Классические ортогональные многочлены
  • многочлены Эрмита
  • многочлены Лагерра
  • многочлены Якоби
  • многочлены Гегенбауэра
  • многочлены Лежандра

пространства

• Евклидово пространство
• Метрическое пространство
  • Теорема Банаха о неподвижной точке - гарантирует существование и единственность неподвижных точек некоторых самокопий метрических пространств, предоставляет метод их поиска
  • Полное метрическое пространство
• Топологическое пространство
  • Функциональное пространство
    • Пространство последовательностей
• Компактное пространство

Меры

• Мера Лебега
• Внешняя мера
  • Мера Хаусдорфа
• Теорема доминирующей сходимости - обеспечивает достаточную условия коммутации двух предельных процессов, а именно интегрирование Лебега и почти всюду сходимость последовательности функций.

Поле множеств

• Сигма-алгебра

Исторические фигуры

• Мишель Ролль (1652–1719))
• Брук Тейлор (1685–1731)
• Леонард Эйлер (1707–1783)
• Джозеф-Луи Лагранж (1736–1813)
• Джозеф Фурье (1768–1830)
• Бернар Больцано (1781–1848)
• Августин Коши (1789–1857)
• Нильс Хенрик Абель (1802–1829)
• Питер Густав Лежен Дирихле (1805–1859)
• Карл Вейерштрасс (1815–1897)
• Эдуард Гейне (1821–1881)
• Пафнутый Чебышев (1821–1894)
• Леопольд Кронекер (1823–1891)
• Бернхард Риман (1826–1866)
• Ричард Дедекинд (1831–1916)
• Рудольф Липшиц (1832–1903)
• Камилла Джордан (1838–1922)
• Жан Гастон Дарбу (1842–1917)
• Георг Кантор (1845–1918)
• Эрнесто Сезаро (1859–1906)
• Отто Гёльдер (1859–1937))
• Герман Минковский (1864–1909)
• Альфред Таубер (1866–1942)
• Феликс Хаусдорф (1868–1942)
• Эмиль Борель (1871) –1956)
• Анри Лебег (1875–1941)
• Вацлав Серпиньски (1882–1969)
• Иоганн Радон (1887–1956)
• Карл Менгер (1902–1985)

Связанные области анализа

• Асимптотический анализ - изучает метод описания предельного поведения
• Выпуклый анализ - изучает свойства выпуклых функций и выпуклые множества
  • Список тем о выпуклости
• Гармонический анализ - изучает представление функций или сигналы как суперпозиции основных волн
  • Список тем гармонического анализа
• Анализ Фурье - изучает ряды Фурье и преобразования Фурье
  • Список тем анализа Фурье
  • Список преобразований Фурье
• Комплексный анализ - изучает расширение реального анализа с включением комплексных чисел
• Функциональный анализ - изучает векторные пространства, наделенные предельными структурами, и линейные операторы, действующие на эти пространства
• Нестандартный анализ - изучает математический анализ с использованием строгой обработки бесконечно малых.

См. Также

• Исчисление, классическое исчисление Ньютона и Лейбница.
• Нестандартное исчисление, строгое применение бесконечно малых в смысле нестандартного анализа к классическому исчислению Ньютона и Лейбница.