Среднее арифметико-геометрическое

редактировать

Математическая функция двух вещественных аргументов

В математике, среднее арифметико-геометрическое (AGM ) двух положительных действительных чисел x и y определяется следующим образом:

Вызов x и ya 0 и g 0:

a 0 = x, g 0 = y. {\ displaystyle {\ begin {align} a_ {0} = x, \\ g_ {0} = y. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} a_ {0} = x, \\ g_ {0} = y. \ end {align}}}

Затем определите две взаимозависимые последовательности (an) и (g n) как

an + 1 = 1 2 (an + gn), gn + 1 = angn. {\ displaystyle {\ begin {align} a_ {n + 1} = {\ tfrac {1} {2}} (a_ {n} + g_ {n}), \\ g_ {n + 1} = { \ sqrt {a_ {n} g_ {n}}} \,. \ end {выравнивается}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} a_ {n + 1} = {\ tfrac {1} {2}} (a_ {n} + g_ {n}), \\ g_ {n + 1} = {\ sqrt {a_ {n} g_ {n}}} \,. \ End {выровнено }}}

Эти две последовательности сходятся к одному и тому же числу, среднему арифметико-геометрическому для x и y ; он обозначается через M (x, y) или иногда как agm (x, y).

Среднее арифметико-геометрическое используется в быстрых алгоритмах для экспоненциальных и тригонометрических функций, а также некоторых математических констант, в частности, вычисление π.

Содержание

1 Пример
2 История
3 Свойства
4 Понятия, связанные с данным
5 Доказательство существования
6 Доказательство Выражение в форме интеграла
7 Приложения
- 7.1 Число π
- 7.2 Полный эллиптический интеграл K (sinα)
- 7.3 Другие приложения
8 См. также
9 Внешние ссылки
10 Ссылки
- 10.1 Примечания
- 10.2 Другое

Пример

Чтобы найти среднее арифметико-геометрическое для 0 = 24 и g 0 = 6, выполнить итерацию следующим образом:

a 1 = 1 2 (24 + 6) = 15 g 1 = 24 ⋅ 6 = 12 a 2 = 1 2 (15 + 12) = 13,5 g 2 = 15 ⋅ 12 = 13,416 407 8649… ⋮ {\ displaystyle {\ begin {array} {rcccl} a_ {1} = {\ tfrac {1} {2}} (24 + 6) = 15 \\ g_ {1} = {\ sqrt {24 \ cdot 6}} = 12 \\ a_ {2} = {\ tfrac {1} {2}} (15 + 12) = 13,5 \\ g_ {2} = {\ sqrt {15 \ cdot 12}} = 13.416 \ 407 \ 8649 \ dots \\ \ vdots \ e nd {array}}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {rcccl} a_ {1} = {\ tfrac {1} {2}} (24 + 6) = 15 \\ g_ { 1} = {\ sqrt {24 \ cdot 6}} = 12 \\ a_ {2} = {\ tfrac {1} {2}} (15 + 12) = 13,5 \\ g_ {2} = {\ sqrt {15 \ cdot 12}} = 13.416 \ 407 \ 8649 \ dots \\ \ vdots \ end {array}}}

Первые пять итераций дают следующие значения:

n	an	gn
0	24	6
1	15	12
2	13,5	13,416 407 864 998 738 178 455 042...
3	13,458 203932 499 369 089 227 521...	13,458 139 030 990 984 877 207 090...
4	13,458 171 481 745 176 983217 305...	13,458 171481 706 053 858 316 334...
5	13,458 171 481725 615 420 766 820...	13,458 171481725 615 420 766 806...

Количество цифр, в которых a n и g n совпадают (подчеркнуто), примерно удваивается с каждой итерацией. Среднее арифметико-геометрическое 24 и 6 является общим пределом этих двух последовательностей, который составляет приблизительно 13,4581714817256154207668131569743992430538388544.

История

Первый алгоритм, основанный на этой паре последовательностей, появился в работах Лагранж. Его свойства были дополнительно проанализированы с помощью Gauss.

Properties

. Среднее геометрическое двух положительных чисел никогда не бывает больше среднего арифметического (см. неравенство средних арифметических и геометрических ). Как следствие, для n>0 (g n) - возрастающая последовательность, (a n) - убывающая последовательность, а g n ≤ M (x, y) ≤ a n. Это строгие неравенства, если x ≠ y.

M (x, y), таким образом, является числом между геометрическим и средним арифметическим x и y; он также находится между x и y.

Если r ≥ 0, то M (rx, ry) = r M (x, y).

Существует выражение в интегральной форме для M (x, y):

M (x, y) = π 2 (∫ 0 π 2 d θ x 2 cos 2 ⁡ θ + y 2 sin 2 ⁡ θ) - 1 знак равно π 4 ⋅ Икс + Y К (Икс - Yx + Y) {\ Displaystyle {\ begin {align} M (x, y) = {\ frac {\ pi} {2}} \ left (\ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {d \ theta} {\ sqrt {x ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + y ^ {2 } \ sin ^ {2} \ theta}}} \ right) ^ {- 1} \\ = {\ frac {\ pi} {4}} \ cdot {\ frac {x + y} {K \ left ( {\ frac {xy} {x + y}} \ right)}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} M (x, y) = {\ frac {\ pi} {2}} \ left (\ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {d \ theta} {\ sqrt {x ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + y ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}} \ right) ^ {- 1} \\ = {\ frac {\ pi} {4}} \ cdot {\ frac {x + y} {K \ left ({\ frac {xy} {x + y}} \ right)}} \ end {align}}}

где K (k) - полный эллиптический интеграл первого рода :

K (k) Знак равно ∫ 0 π 2 d θ 1 - К 2 грех 2 ⁡ (θ) {\ displaystyle K (k) = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {d \ theta} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta)}}}}

K (k) = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {d \ theta} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta)}} }

Действительно, поскольку арифметико-геометрический процесс сходится так быстро, он обеспечивает эффективный способ вычисления эллиптических интегралы по этой формуле. В инженерии он используется, например, в эллиптическом фильтре.

Понятия, связанные с данным

Обратная величина среднего арифметико-геометрического 1 и квадратного корня из 2 называется постоянной Гаусса, после Карла Фридриха Гаусса.

1 M (1, 2) = G = 0,8346268… {\ displaystyle {\ frac {1} {M ( 1, {\ sqrt {2}})}} = G = 0.8346268 \ dots}

{\ frac {1} {M (1, {\ sqrt {2}})}} = G = 0.8346268 \ dots

Среднее геометрическое гармоническое может быть вычислено аналогичным методом, используя последовательности геометрических и гармонических означает. Получается, что GH (x, y) = 1 / M (1 / x, 1 / y) = xy / M (x, y). Среднее арифметическое и гармоническое может быть определено аналогичным образом, но оно принимает то же значение, что и среднее геометрическое (см. раздел «Расчет» там ).

Среднее арифметико-геометрическое может использоваться, среди прочего, для вычисления логарифмов, полных и неполных эллиптических интегралов первого и второго рода и Эллиптические функции Якоби.

Доказательство существования

Из неравенства средних арифметических и геометрических мы можем заключить, что:

gn ≤ an {\ displaystyle g_ {n} \ leq a_ {n}}

{\ displaystyle g_ {n} \ leq a_ {n} }

и, следовательно,

gn + 1 = gn ⋅ an ≥ gn ⋅ gn = gn {\ displaystyle g_ {n + 1} = {\ sqrt {g_ {n} \ cdot a_ {n}} } \ geq {\ sqrt {g_ {n} \ cdot g_ {n}}} = g_ {n}}

{\ displaystyle g_ {n + 1} = {\ sqrt {g_ {n} \ cdot a_ {n} }} \ geq {\ sqrt {g_ {n} \ cdot g_ {n}}} = g_ {n}}

то есть последовательность g n не убывает.

Кроме того, легко видеть, что оно также ограничено сверху большим из x и y (что следует из того факта, что средние арифметические и геометрические двух чисел находятся между ними). Таким образом, по теореме о монотонной сходимости последовательность сходится, поэтому существует такой ag, что:

lim n → ∞ gn = g {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} g_ {n} = g}

\ lim _ {n \ to \ infty} g_ {n} = g

Однако мы также можем видеть, что:

an = gn + 1 2 gn {\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {g_ {n + 1} ^ {2}} {g_ {n}}}}

a_ {n} = {\ frac {g_ {n + 1) } ^ {2}} {g_ {n}}}

и так:

lim n → ∞ an = lim n → ∞ gn + 1 2 gn = g 2 g = g {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty } a_ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {g_ {n + 1} ^ {2}} {g_ {n}}} = {\ frac {g ^ {2}} { g}} = g}

\ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {g_ {n + 1} ^ { 2}} {g_ {n}}} = {\ frac {g ^ {2}} {g}} = g

QED

Доказательство выражения интегральной формы

Это доказательство дано Гауссом. Пусть

I (x, y) = ∫ 0 π / 2 d θ x 2 cos 2 ⁡ θ + y 2 sin 2 ⁡ θ, {\ displaystyle I (x, y) = \ int _ {0} ^ { \ pi / 2} {\ frac {d \ theta} {\ sqrt {x ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + y ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}},}

I (x, y) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {d \ theta} {\ sqrt { x ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + y ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}},

Изменение переменной интегрирования на $θ ′ {\ displaystyle \ theta '}$ $\theta '$ , где

sin ⁡ θ = 2 x sin ⁡ θ ′ (x + y) + (x - y) грех 2 ⁡ θ ′, {\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {2x \ sin \ theta '} {(x + y) + (xy) \ sin ^ {2} \ theta'}},}

\sin \theta ={\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},

дает

I (x, y) = ∫ 0 π / 2 d θ ′ (1 2 (x + y)) 2 cos 2 ⁡ θ ′ + (xy) 2 sin 2 ⁡ θ ′ = I ( 1 2 (х + у), ху). {\ displaystyle {\ begin {align} I (x, y) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {d \ theta '} {\ sqrt {{\ bigl (} {\ гидроразрыв {1} {2}} (x + y) {\ bigr)} ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta '+ {\ bigl (} {\ sqrt {xy}} {\ bigr)} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta '}}} \\ = I {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}} (x + y), {\ sqrt {xy}} {\ bigr)}. \ end {align}}}

{\begin{aligned}I(x,y)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta '}{\sqrt {{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y){\bigr)}^{2}\cos ^{2}\theta '+{\bigl (}{\sqrt {xy}}{\bigr)}^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\=I{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}(x+y),{\sqrt {xy}}{\bigr)}.\end{aligned}}

Таким образом,

I (x, y) = I (a 1, g 1) = I (a 2, g 2) = ⋯ = I ( M (x, y), M (x, y)) = π / (2 M (x, y)). {\ displaystyle {\ begin {align} I (x, y) = I (a_ {1}, g_ {1}) = I (a_ {2}, g_ {2}) = \ cdots \\ = I {\ bigl (} M (x, y), M (x, y) {\ bigr)} = \ pi / {\ bigr (} 2M (x, y) {\ bigl)}. \ end {выравнивается}} }

{\ begin {выровнено} I (x, y) = I (a_ {1}, g_ {1}) = I (a_ {2}, g_ {2}) = \ cdots \\ = I {\ bigl (} M (x, y), M (x, y) {\ bigr)} = \ pi / {\ bigr (} 2M (х, у) {\ bigl)}. \ конец {выровнено}}

Последнее равенство вытекает из того, что $I (z, z) = π / (2 z) {\ displaystyle I (z, z) = \ pi / (2z)}$ $I (z, z) = \ pi / (2z)$ .

Наконец, мы получить желаемый результат

M (x, y) = π / (2 I (x, y)). {\ displaystyle M (x, y) = \ pi / {\ bigl (} 2I (x, y) {\ bigr)}.}

M (x, y) = \ pi / {\ bigl (} 2I (x, y) {\ bigr)}.

Приложения

Число π

Например, согласно формуле Гаусса - Саламина :

π = 4 (M (1; 1 2)) 2 1 - ∑ j = 1 ∞ 2 j + 1 cj 2, {\ displaystyle \ pi = {\ frac {4 \ left (M (1; {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}) \ right) ^ {2}} {\ displaystyle 1- \ sum _ {j = 1 } ^ {\ infty} 2 ^ {j + 1} c_ {j} ^ {2}}},}

{\ displaystyle \ pi = {\ frac {4 \ left (M (1; {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}) \ right) ^ {2}} {\ displaystyle 1- \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {j + 1} c_ {j} ^ {2}}},}

где

cj = 1 2 (aj - 1 - gj - 1), {\ displaystyle c_ {j} = {\ frac {1} {2}} \ left (a_ {j-1} -g_ {j-1} \ right),}

{\ displaystyle c_ {j} = {\ frac {1} {2}} \ left (a_ {j-1} -g_ {j-1} \ right),}

который может быть вычислен без потери точности с использованием

cj = cj - 1 2 4 aj. {\ displaystyle c_ {j} = {\ frac {c_ {j-1} ^ {2}} {4a_ {j}}}.}

c_ {j} = {\ frac {c_ {j-1} ^ {2}} {4a_ {j}}}.

Полный эллиптический интеграл K (sinα)

Принимая $a 0 = 1 {\ displaystyle a_ {0} = 1}$ $a_0 = 1$ и $g 0 = cos ⁡ α {\ displaystyle g_ {0} = \ cos \ alpha}$ ${\ displaystyle g_ {0} = \ cos \ alpha}$ дает AGM

M (1, cos ⁡ α) = π 2 K (sin ⁡ α), {\ displaystyle M (1, \ cos \ alpha) = {\ frac {\ pi} {2K (\ sin \ alpha)}},}

{\ Displaystyle M (1, \ cos \ alpha) = {\ frac {\ pi} {2K (\ sin \ alpha)}},}

где K (k) - полный эллиптический интеграл первого рода :

K (k) = ∫ 0 π / 2 (1 - k 2 sin 2 ⁡ θ) - 1/2 d θ. {\ Displaystyle К (к) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} (1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta) ^ {- 1/2} \, d \ theta.}

{\ displaystyle K (k) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} (1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta) ^ {- 1/2} \, d \ theta.}

То есть этот квартальный период может быть эффективно вычислен посредством AGM,

K (k) = π 2 M (1, 1 - k 2). {\ displaystyle K (k) = {\ frac {\ pi} {2M (1, {\ sqrt {1-k ^ {2}}})}}.}

{\ displaystyle K (k) = {\ frac {\ pi} {2M (1, {\ sqrt {1-k ^ {2}}})}}.}

Другие приложения

Использование Это свойство AGM наряду с восходящими преобразованиями Ландена Ричард Брент предложил первые алгоритмы AGM для быстрого вычисления элементарных трансцендентных функций (e, cos x, sin x). Впоследствии многие авторы продолжили изучение использования алгоритмов AGM.

См. Также

Внешние ссылки

Калькулятор среднего арифметико-геометрического

Ссылки

Среднее арифметико-геометрическое

Число π

Полный эллиптический интеграл K (sinα)

Другие приложения

Примечания

Другое