Суммирование Ламберта

редактировать

В математический анализ, суммирование Ламберта - это метод суммирования для класса расходящихся рядов.

Содержание

1 Определение
2 Примеры
3 См. Также
4 Ссылки

Определение

Ряд $∑ an {\ displaystyle \ sum a_ {n}}$ $\ sum a_ {n}$ суммируется по Ламберту до A, записывается $∑ an = A (L) {\ displaystyle \ sum a_ {n} = A \, (\ mathrm {L})}$ ${\ displaystyle \ sum a_ {n} = A \, (\ mathrm {L})}$ , если

lim r → 1 - (1 - r) ∑ n = 1 ∞ nanrn 1 - rn = A. {\ displaystyle \ lim _ {r \ rightarrow 1 -} (1-r) \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {na_ {n} r ^ {n}} {1-r ^ {n}}} = A.}

{\ displaystyle \ lim _ {r \ rightarrow 1 -} (1-r) \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {na_ {n} r ^ {n}} {1-r ^ {n }}} = A.}

Если ряд сходится к A, то он суммируется по Ламберту к A (абелева теорема ).

Примеры

$∑ N = 1 ∞ μ (n) n = 0 (L) {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n) } {n}} = 0 (\ mathrm {L})}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n}} = 0 (\ mathrm {L })}$ , где μ - функция Мёбиуса. Следовательно, если этот ряд вообще сходится, он сходится к нулю.

См. Также

Ссылки

Джейкоб Кореваар (2004). Тауберова теория. Век развития. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 329 . Спрингер-Верлаг. п. 18. ISBN 3-540-21058-X.
Хью Л. Монтгомери ; Роберт К. Воан (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория. Кембриджские трактаты по высшей математике. 97 . Кембридж: Cambridge Univ. Нажмите. С. 159–160. ISBN 0-521-84903-9.
Норберт Винер (1932). «Тауберовы теоремы». Энн. математики. Анналы математики, Vol. 33, № 1. 33 (1): 1–100. doi : 10.2307 / 1968102. JSTOR 1968102.