Линейность дифференцирования

В исчислении, производная любой линейной комбинации функций равно одной и той же линейной комбинации производных функций; это свойство известно как линейность дифференцирования, правило линейности или правило суперпозиции для дифференцирования. Это фундаментальное свойство производной, заключающее в одном правиле два более простых правила дифференцирования, правило сумм (производная суммы двух функций - это сумма производных) и правило постоянного множителя (производная постоянного множителя функции является таким же постоянным множителем производной). Таким образом, можно сказать, что действие дифференцирования является линейным, или дифференциальный оператор является линейным оператором.

Пусть f и g - функции с постоянными α и β. Теперь рассмотрим:

$ddx\; (\alpha \; \cdot \; е\; (x)\; +\; \beta \; \cdot \; g\; (x))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; t\_dv\; \{d\}\}\; \{\{\backslash \; t\_dv\; \{d\}\}\; x\}\}\; (\backslash \; alpha\; \backslash \; cdot\; f\; (x)\; +\; \backslash \; beta\; \backslash \; cdot\; g\; (x))\}$

Согласно правилу сумм в дифференцировании, это:

$ddx\; (\alpha \; \cdot \; f\; (x))\; +\; ddx\; (\; \beta \; \cdot \; г\; (Икс))\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; t\_dv\; \{d\}\}\; \{\{\backslash \; t\_dv\; \{d\}\}\; x\}\}\; (\backslash \; альфа\; \backslash \; cdot\; f\; (x))\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; t\_dv\; \{d\; \}\}\; \{\{\backslash \; t\_dv\; \{d\}\}\; x\}\}\; (\backslash \; beta\; \backslash \; cdot\; g\; (x))\}$

По правилу постоянного множителя в дифференцировании это сводится к:

$\alpha \; \cdot \; f\; \prime \; (x)\; +\; \beta \; \cdot \; g\; \prime \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \backslash \; cdot\; f\; \text{'}(x)\; +\; \backslash \; beta\; \backslash \; cdot\; g\text{'}\; (x)\}$

Это, в свою очередь, приводит к:

$ddx\; (\; \alpha \; \cdot \; е\; (Икс)\; +\; \beta \; \cdot \; г\; (Икс))\; знак\; равно\; \alpha \; \cdot \; F\; \prime \; (Икс)\; +\; \beta \; \cdot \; G\; \prime \; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; t\_dv\; \{d\}\}\; \{\{\backslash \; t\_dv\; \{d\}\; \}\; x\}\}\; (\backslash \; alpha\; \backslash \; cdot\; f\; (x)\; +\; \backslash \; beta\; \backslash \; cdot\; g\; (x))\; =\; \backslash \; alpha\; \backslash \; cdot\; f\; \text{'}(x)\; +\; \backslash \; beta\; \backslash \; cdot\; g\text{'}\; (x)\}$

Опускание скобки, это часто записывается как:

$(\alpha \; \cdot \; f\; +\; \beta \; \cdot \; g)\; \prime \; =\; \alpha \; \cdot \; f\; \prime \; +\; \beta \; \cdot \; g\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; alpha\; \backslash \; cdot\; f\; +\; \backslash \; beta\; \backslash \; cdot\; g)\; \text{'}=\; \backslash \; alpha\; \backslash \; cdot\; f\text{'}\; +\; \backslash \; beta\; \backslash \; cdot\; g\; \text{'}\}$