Изображение (теория категорий)

редактировать

В теории категорий, разделе математики, изображение морфизма является обобщением изображения функции .

Содержание

1 Общее определение
2 Второе определение
3 Примеры
4 См. Также
5 Ссылки

Общее определение

Для категории $C {\ displaystyle C}$ $C$ и a морфизм $f: X → Y {\ displaystyle f \ двоеточие X \ to Y}$ $f \ двоеточие От X \ до Y$ в $C {\ displaystyle C}$ $C$ , изображение из $f {\ displaystyle f}$ $f$ является мономорфизмом $m: I → Y {\ displaystyle m \ двоеточие I \ to Y}$ ${\ displaystyle m \ двоеточие I \ to Y}$ , удовлетворяющий следующему универсальному свойству :

Существует морфизм $e: X → I {\ displaystyle e \ двоеточие X \ to I}$ ${\ displaystyle e \ двоеточие X \ to I}$ такой, что $f = me {\ displaystyle f = m \, e}$ ${\ displaystyle f = m \, e}$ .
Для любого объекта $I ′ {\ displaystyle I '}$ $I'$ с морфизмом $e ′: X → Я '{\ Displaystyle е' \ col на X \ to I '}$ $e'\colon X\to I'$ и мономорфизм $m ′: I ′ → Y {\ displaystyle m' \ двоеточие I '\ to Y}$ $m'\colon I'\to Y$ такой, что $е = m ′ e ′ {\ displaystyle f = m '\, e'}$ $f=m'\,e'$ , существует уникальный морфизм $v: I → I ′ {\ displaystyle v \ двоеточие I \ to I ' }$ $v\colon I\to I'$ такой, что $m = m ′ v {\ displaystyle m = m '\, v}$ $m=m'\,v$ .

Примечания:

такая факторизация не обязательно существует.
$e {\ displaystyle e}$ $e$ уникален по определению $m {\ displaystyle m}$ $m$ monic.
$m ′ e ′ = f = me = m ′ ve ⟹ e ′ = ve {\ displaystyle m'e '= f = me = m Have \ подразумевает e' = ve}$ $m'e'=f=me=m've\implies e'=ve$ by $m ′ {\ displaystyle m '}$ $m'$ monic.
$v { \ displaystyle v}$ $v$ является моническим.
$m = m ′ v {\ displaystyle m = m '\, v}$ $m=m'\,v$ уже подразумевает, что $v {\ displaystyle v}$ $v$ является уникальным.

Изображение $f {\ displaystyle f}$ $f$ часто обозначается $Im f {\ displaystyle {\ text {Im}} f }$ ${\ displaystyle {\ текст {Im}} f}$ или $Im (f) {\ displaystyle {\ text {Im}} (f)}$ ${\ displaystyle {\ text {Im}} (f)}$ .

Предложение: Если $C {\ displaystyle C}$ $C$ имеет все эквалайзеры, то $e {\ displaystyle e}$ $e$ в факторизации $f = me {\ displaystyle f = m \, e}$ ${\ displaystyle f = m \, e}$ of (1) является эпиморфизмом.

Доказательство -

Пусть $α, β {\ displaystyle \ alpha, \, \ beta}$ ${\ displaystyle \ alpha, \, \ beta}$ таково, что $α e = β e {\ displaystyle \ alpha \, e = \ beta \, e}$ ${\ displaystyle \ alpha \, e = \ beta \, e}$ , нужно показать, что $α = β {\ displaystyle \ alpha = \ beta}$ $\ альфа = \ бета$ . Поскольку существует эквалайзер $(α, β) {\ displaystyle (\ alpha, \ beta)}$ ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta)}$ , $e {\ displaystyle e}$ $e$ разлагается на $е = qe ′ {\ displaystyle e = q \, e '}$ $e=q\,e'$ с $q {\ displaystyle q}$ $q$ monic. Но тогда $f = (mq) e ′ {\ displaystyle f = (m \, q) \, e '}$ $f=(m\,q)\,e'$ является факторизацией $f {\ displaystyle f}$ $f$ с мономорфизмом $(mq) {\ displaystyle (m \, q)}$ ${\ displaystyle (m \, q)}$ . Следовательно, по универсальному свойству изображения существует уникальная стрелка $v: I → E q α, β {\ displaystyle v: I \ to Eq _ {\ alpha, \ beta}}$ ${\ displaystyle v: I \ to Eq _ {\ alpha, \ beta}}$ такая, что $m = mqv {\ displaystyle m = m \, q \, v}$ ${\ displaystyle m = m \, q \, v}$ и поскольку $m {\ displaystyle m}$ $m$ является моническим $id I = qv {\ displaystyle {\ text {id}} _ {I} = q \, v}$ ${\ displaystyle {\ text {id}} _ {I} = q \, v}$ . Кроме того, имеется $mq = (mqv) q {\ displaystyle m \, q = (mqv) \, q}$ ${\ displaystyle m \, q = (mqv) \, q}$ и по свойству мономорфизма $mq {\ displaystyle mq}$ ${\ displaystyle mq}$ получается $id E q α, β = vq {\ displaystyle {\ text {id}} _ {Eq _ {\ alpha, \ beta}} = v \, q}$ ${\ displaystyle {\ text {id}} _ {Eq_ {\ альфа, \ бета}} = v \, q}$ .

Это означает что $я ≡ E q α, β {\ displaystyle I \ Equiv Eq _ {\ alpha, \ beta}}$ ${\ displaystyle I \ Equiv Eq _ {\ alpha, \ beta}}$ и, следовательно, $id I = qv {\ displaystyle {\ text {id }} _ {I} = q \, v}$ ${\ displaystyle {\ text {id}} _ {I} = q \, v}$ выравнивает $(α, β) {\ displaystyle (\ alpha, \ beta)}$ ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta)}$ , откуда $α = β {\ displaystyle \ alpha = \ beta}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ beta}$ .

Второе определение

В категории $C {\ displaystyle C}$ $C$ со всеми конечными пределами и colimits, изображение изображение определяется как уравнитель $(I m, m) {\ displaystyle (Im, m)}$ ${\ displaystyle (Im, m)}$ так называемой пары коядра $(Y ⊔ XY, i 1, i 2) {\ displaystyle (Y \ sqcup _ {X} Y, i_ {1}, i_ {2 })}$ ${\ displaystyle (Y \ sqcup _ {X} Y, i_ {1}, i_ {2})}$ .

Примечания:

Конечная биполнота категории гарантирует, что существуют выталкивающие элементы и эквалайзеры.
$(I m, m) {\ displaystyle (Im, m)}$ ${\ displaystyle (Im, m)}$ можно назвать обычным изображением, поскольку $m {\ displaystyle m}$ $m$ является регулярный мономорфизм, т.е. уравнитель парного морфизма. (Напомним также, что эквалайзер автоматически является мономорфизмом).
В абелевой категории свойство пары коядров может быть записано $i 1 f = i 2 f ⇔ (i 1 - i 2) f = 0 = 0 е {\ displaystyle i_ {1} \, f = i_ {2} \, f \ \ Leftrightarrow \ (i_ {1} -i_ {2}) \, f = 0 = 0 \, f}$ ${\ displaystyle i_ {1} \, f = i_ {2} \, f \ \ Leftrightarrow \ (i_ {1} -i_ {2}) \, f = 0 = 0 \, f}$ и условие эквалайзера $i 1 m = i 2 m ⇔ (i 1 - i 2) m = 0 m {\ displaystyle i_ {1} \, m = i_ {2} \, m \ \ Стрелка влево-вправо \ (i_ {1} -i_ {2}) \, m = 0 \, m}$ ${\ displaystyle i_ {1} \, m = i_ {2} \, m \ \ Leftrightarrow \ (i_ {1 } -i_ {2}) \, m = 0 \, m}$ . Более того, все мономорфизмы регулярны.

Теорема - Если $f {\ displaystyle f}$ $f$ всегда факторизуется через регулярные мономорфизмы, то эти два определения совпадают.

Доказательство —
Первое определение подразумевает второе: Предположим, что (1) выполняется с $m {\ displaystyle m}$ $m$ регулярным мономорфизмом.
Выравнивание: нужно показать, что $i 1 m = i 2 m {\ displaystyle i_ {1} \, m = i_ {2} \, m}$ ${\ displaystyle i_ {1 } \, m = i_ {2} \, m}$ . В качестве пары коядров $f, i 1 f = i 2 f {\ displaystyle f, \ i_ {1} \, f = i_ {2} \, f}$ ${\ displaystyle f, \ i_ {1} \, f = i_ {2} \, f}$ и по предыдущему предложению, поскольку $C {\ displaystyle C}$ $C$ имеет все эквалайзеры, стрелка $e {\ displaystyle e}$ $e$ в факторизации $f = me {\ displaystyle f = m \, e}$ ${\ displaystyle f = m \, e}$ является эпиморфизмом, следовательно, $i 1 f = i 2 f ⇒ i 1 m = i 2 m {\ displaystyle i_ {1} \, f = i_ {2} \, f \ \ Rightarrow \ i_ {1} \, m = i_ {2} \, m}$ ${ \ Displaystyle i_ {1} \, f = i_ {2} \, f \ \ Rightarrow \ i_ {1} \, m = i_ {2} \, m}$ .
Универсальность: в категории со всеми копределами (или, по крайней мере, со всеми выталкивающими элементами) $m {\ displaystyle m}$ $m$ само по себе допускает пару коядров $(Y ⊔ IY, c 1, c 2) {\ displaystyle (Y \ sqcup _ {I} Y, c_ {1 }, c_ {2})}$ ${\ displaystyle (Y \ sqcup _ {I} Y, c_ {1}, c_ {2})}$

Более того, как регулярный мономорфизм, $(I, m) {\ displaystyle (I, m)}$ ${\ displaystyle (Я, м)}$ является уравнителем пары морфизмов $b 1, b 2: Y ⟶ B {\ displaystyle b_ {1}, b_ {2}: Y \ longrightarrow B}$ ${\ displaystyle b_ {1}, b_ {2}: Y \ longrightarrow B}$ , но здесь мы утверждаем, что он также является эквалайзером $c 1, c 2: Y ⟶ Y ⊔ IY {\ displaystyle c_ {1}, c_ {2}: Y \ longrightarrow Y \ sqcup _ {I} Y}$ ${\ displaystyle c_ {1}, c_ {2}: Y \ longrightarrow Y \ sqcup _ {I} Y}$ .
Действительно, по построению $b 1 m = b 2 m {\ displaystyle b_ {1} \, m = b_ {2} \, m}$ ${\ displaystyle b_ {1} \, m = b_ {2} \, m}$ , таким образом, диаграмма «пары коядров» для $m {\ displaystyle m}$ $m$ дает уникальный морфизм $u ': Y ⊔ IY ⟶ B {\ displaystyle u': Y \ sqcup _ {I} Y \ longrightarrow B}$ $u':Y\sqcup _{I}Y\longrightarrow B$ такой, что $b 1 = u ′ c 1, b 2 = u ′ c 2 {\ displaystyle b_ {1} = u '\, c_ {1}, \ b_ {2} = u' \, c_ {2}}$ $b_{1}=u'\,c_{1},\ b_{2}=u'\,c_{2}$ . Теперь карта $m ′: I ′ ⟶ Y {\ displaystyle m ': I' \ longrightarrow Y}$ $m':I'\longrightarrow Y$ , которая уравнивает $(c 1, c 2) {\ displaystyle (c_ { 1}, c_ {2})}$ ${\ displaystyle (c_ {1}, c_ {2})}$ также удовлетворяет $b 1 m ′ = u ′ c 1 m ′ = u ′ c 2 m ′ = b 2 m ′ {\ displaystyle b_ {1} \, m '= u' \, c_ {1} \, m '= u' \, c_ {2} \, m '= b_ {2} \, m'}$ $b_{1}\,m'=u'\,c_{1}\,m'=u'\,c_{2}\,m'=b_{2}\,m'$ , следовательно, схема эквалайзера для $(b 1, b 2) {\ displaystyle (b_ {1}, b_ {2})}$ ${\ displaystyle (b_ {1}, b_ {2}) }$ , существует уникальная карта $h ′: I ′ → I {\ displaystyle h ': I' \ to I}$ $h':I'\to I$ так, что $m ′ = mh ′ {\ displaystyle m '= m \, h'}$ $m'=m\,h'$ .
Наконец, используйте диаграмму пары коядров (из $f {\ displaystyle f}$ $f$ ) с $j 1: = c 1, j 2: = c 2, Z: = Y ⊔ IY {\ displaystyle j_ {1}: = c_ {1}, \ j_ {2}: = c_ {2}, \ Z: = Y \ sqcup _ {I} Y}$ ${\ displaystyle j_ {1}: = c_ {1}, \ j_ {2}: = c_ {2}, \ Z: = Y \ sqcup _ {I} Y}$ : существует уникальный $u: Y ⊔ XY ⟶ Y ⊔ IY {\ displaystyle u: Y \ sqcup _ {X} Y \ longrightarrow Y \ sqcup _ {I} Y}$ ${\ displaystyle u: Y \ sqcup _ {X} Y \ longrightarrow Y \ sqcup _ {I} Y}$ такой, что $c 1 = ui 1, c 2 = ui 2 {\ displaystyle c_ {1} = u \, i_ {1}, \ c_ {2} = u \, i_ {2}}$ ${\ displaystyle c_ {1} = u \, i_ {1}, \ c_ {2} = u \, i_ {2}}$ . Следовательно, любая карта $g {\ displaystyle g}$ $g$ , которая уравнивает $(i 1, i 2) {\ displaystyle (i_ {1}, i_ {2})}$ ${\ displaystyle ( i_ {1}, i_ {2})}$ также выравнивает $(c 1, c 2) {\ displaystyle (c_ {1}, c_ {2})}$ ${\ displaystyle (c_ {1}, c_ {2})}$ и, таким образом, однозначно разлагается на множители как $g = mh ′ {\ displaystyle g = m \, h '}$ $g=m\,h'$ . Это в точности означает, что $(I, m) {\ displaystyle (I, m)}$ ${\ displaystyle (Я, м)}$ является эквалайзером $(i 1, i 2) {\ displaystyle (i_ {1}, i_ {2})}$ ${\ displaystyle ( i_ {1}, i_ {2})}$ .
Второе определение подразумевает первое:
Факторизация: взятие $m ′: = f {\ displaystyle m ': = f}$ $m':=f$ в эквалайзере диаграмма ( $m ′ {\ displaystyle m '}$ $m'$ соответствует $g {\ displaystyle g}$ $g$ ), получаем факторизацию $f = mh {\ displaystyle f = m \, h}$ ${\ displaystyle f = m \, h}$ .
Универсальность: пусть $f = m ′ e ′ {\ displaystyle f = m '\, e'}$ $f=m'\,e'$ будет факторизацией с $m ′ {\ displaystyle m '}$ $m'$ регулярный мономорфизм, то есть эквалайзер некоторой пары $(d 1, d 2) {\ displaystyle (d_ {1}, d_ {2})}$ ${\ displaystyle (d_ {1}, d_ {2})}$ .

Тогда $d 1 m ′ = d 2 m ′ ⇒ d 1 f = d 1 m ′ e = d 2 m ′ e = d 2 f {\ displaystyle d_ {1} \, m '= d_ {2 } \, m '\ \ Rightarrow \ d_ {1} \, f = d_ {1} \, m' \, e = d_ {2} \, m '\, e = d_ {2} \, f}$ $d_{1}\,m'=d_{2}\,m'\ \Rightarrow \ d_{1}\,f=d_{1}\,m'\,e=d_{2}\,m'\,e=d_{2}\,f$ так, чтобы по диаграмме «пара коядров» (из $f {\ displaystyle f}$ $f$ ), с $j 1: = d 1, j 2: = d 2, Z: = D {\ displaystyl e j_ {1}: = d_ {1}, \ j_ {2}: = d_ {2}, \ Z: = D}$ ${\ displaystyle j_ {1}: = d_ {1}, \ j_ {2}: = d_ {2}, \ Z: = D}$ , существует уникальный $u ″: Y ⊔ XY ⟶ D {\ displaystyle u '': Y \ sqcup _ {X} Y \ longrightarrow D}$ $u'':Y\sqcup _{X}Y\longrightarrow D$ так, что $d 1 = u ″ i 1, d 2 = u ″ i 2 {\ displaystyle d_ {1} = u '' \, i_ {1}, \ d_ {2} = u '' \, i_ {2}}$ $d_{1}=u''\,i_{1},\ d_{2}=u''\,i_{2}$ .
Теперь из $i 1 m = i 2 m {\ displaystyle i_ {1} \, m = i_ {2} \, m}$ ${\ displaystyle i_ {1 } \, m = i_ {2} \, m}$ (m из эквалайзера диаграммы (i 1, i 2)), получаем $d 1 m = u ″ i 1 m = u ″ i 2 m = d 2 m {\ displaystyle d_ {1} \, m = u '' \, i_ {1} \, m = u ' '\, i_ {2} \, m = d_ {2} \, m}$ $d_{1}\,m=u''\,i_{1}\,m=u''\,i_{2}\,m=d_{2}\,m$ , следовательно, в силу универсальности (эквалайзера (d 1, d 2) с заменой f на m) существует уникальная диаграмма $v: I m ⟶ I ′ {\ displaystyle v: Im \ longrightarrow I '}$ $v:Im\longrightarrow I'$ такая, что $m = m ′ v {\ displaystyle m = m '\, v}$ $m=m'\,v$ .
Примеры
В категории наборов изображение морфизма $f: X → Y { \ displaystyle f \ двоеточие X \ to Y}$ $f \ двоеточие От X \ до Y$ - это включение из обычного изображения ${f (x) | x ∈ X} {\ displaystyle \ {f (x) ~ | ~ x \ in X \}} от$ $\ {f (x) ~ | ~ x \ in X \}$ до $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ . Во многих конкретных категориях, таких как группы, абелевы группы и (левые или правые) модули, образ морфизма является образ соответствующего морфизма в категории множеств.

В любой нормальной категории с нулевым объектом и ядрами и коядрами для каждого морфизма изображение морфизм $f {\ displaystyle f}$ $f$ можно выразить следующим образом:
im f = ker coker f
В абелевой категории (которая, в частности, является бинормальной), если f - мономорфизм, то f = ker coker f, поэтому f = im f.
См. Также
Подобъект
Coimage
Изображение (математика)
Ссылки