Ультраметрическое пространство

редактировать
Тип метрического пространства, в котором неравенство треугольника заменено более сильным неравенством с использованием max вместо сложения

В математике ультраметрическое пространство является метрикой пробел, в котором треугольник i nequality усиливается до d (x, z) ≤ max {d (x, y), d (y, z)} {\ displaystyle d (x, z) \ leq \ max \ left \ { d (x, y), d (y, z) \ right \}}d (x, z) \ leq \ max \ left \ {d (x, y), d (y, z) \ right \} . Иногда связанную метрику также называют неархимедовой метрикой или суперметрикой . Хотя некоторые из теорем для ультраметрических пространств могут показаться странными на первый взгляд, они естественным образом появляются во многих приложениях.

Содержание

  • 1 Формальное определение
  • 2 Свойства
  • 3 Примеры
  • 4 Приложения
  • 5 Ссылки
  • 6 Библиография
  • 7 Дополнительная литература

Формальное определение

ультраметрика на множестве M - это вещественная -значная функция

d: M × M → R {\ displaystyle d \ двоеточие M \ раз M \ rightarrow \ mathbb {R}}d \ двоеточие M \ times M \ rightarrow {\ mathbb {R}}

(где ℝ обозначает действительные числа ), так что для всех x, y, z ∈ M:

  1. d (x, y) ≥ 0;
  2. d (x, y) = d (y, x) (симметрия )
  3. d (x, x) = 0;
  4. если d (x, y) = 0, то x = y (Идентичность неразличимых );
  5. d (x, z) ≤ max {d (x, y), d (y, z)} (строгий треугольник или ультраметрическое неравенство ).
Определение : ультраметрическое пространство - это пара (M, d), состоящая из множества M вместе с ультраметрикой d на M, которая называется функция расстояния, связанная с пространством (также называемая метрикой ).
Определение : если d удовлетворяет всем условиям, кроме, возможно, условия 4 (т. е. тождества неразличимых элементов), то d равно ca заполнено ультрапсевдометрическим на M. Ультрапсевдометрическим пространством называется пара (M, d), состоящая из множества M и ультрапсевдометрического d на M.

В случае, когда M является группа (записывается аддитивно), а d генерируется функцией длины ‖ ⋅ ‖ {\ displaystyle \ | \ cdot \ |}\ | \ cdot \ | (так что d ( x, y) = ‖ x - y ‖ {\ displaystyle d (x, y) = \ | xy \ |}d (x, y) = \ | xy \ | ), последнее свойство можно усилить с помощью Krull с повышением резкости до:

‖ x + y ‖ ≤ max {‖ x ‖, ‖ y ‖} {\ displaystyle \ | x + y \ | \ leq \ max \ left \ {\ | x \ |, \ | y \ | \ right \}}\ | x + y \ | \ leq \ max \ left \ {\ | x \ |, \ | у \ | \ right \} с равенством, если ‖ x ‖ ≠ ‖ y ‖ {\ displaystyle \ | x \ | \ neq \ | y \ |}\ | x \ | \ neq \ | y \ | .

Мы хотим доказать, что если ‖ Икс + Y ‖ ≤ макс {‖ Икс ‖, ‖ Y ‖} {\ Displaystyle \ | х + у \ | \ Leq \ макс \ влево \ {\ | х \ |, \ | у \ | \ вправо \}}\ | x + y \ | \ leq \ max \ left \ {\ | x \ |, \ | у \ | \ right \} , тогда равенство наступает, если ‖ x ‖ ≠ ‖ y ‖ {\ displaystyle \ | x \ | \ neq \ | y \ |}\ | x \ | \ neq \ | y \ | . Без ограничения общности, предположим, что ‖ x ‖>‖ y ‖ {\ displaystyle \ | x \ |>\ | y \ |}\|x\|>\ | y \ | . Это означает, что ‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ {\ displaystyle \ | x + y \ | \ leq \ | x \ |}\ | x + y \ | \ leq \ | x \ | . Но мы также можем вычислить ‖ x ‖ = ‖ (x + y) - y ‖ ≤ max {‖ x + y ‖, ‖ y ‖} {\ displaystyle \ | x \ | = \ | (x + y) -y \ | \ leq \ max \ left \ {\ | x + y \ |, \ | y \ | \ right \}}\ | x \ | = \ | (x + y) -y \ | \ leq \ max \ left \ {\ | x + y \ |, \ | y \ | \ right \} . Теперь значение max {‖ x + y ‖, ‖ y ‖} {\ displaystyle \ max \ left \ {\ | x + y \ |, \ | y \ | \ right \}}\ max \ left \ {\ | x + y \ |, \ | y \ | \ right \} не может быть ‖ y ‖ {\ displaystyle \ | y \ |}\ | y \ | , потому что в этом случае ‖ x ‖ ≤ ‖ y ‖ {\ displaystyle \ | x \ | \ leq \ | y \ |}\ | x \ | \ leq \ | y \ | вопреки исходному предположению. Таким образом, max {‖ x + y ‖, ‖ y ‖} = ‖ x + y ‖ {\ displaystyle \ max \ left \ {\ | x + y \ |, \ | y \ | \ right \} = \ | x + y \ |}\ max \ left \ {\ | x + y \ |, \ | y \ | \ right \} = \ | x + y \ | и ‖ x ‖ ≤ ‖ x + y ‖ {\ displaystyle \ | x \ | \ leq \ | x + y \ |}\ | x \ | \ leq \ | x + y \ | . Используя исходное неравенство, мы имеем ‖ x ‖ ≤ ‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ {\ displaystyle \ | x \ | \ leq \ | x + y \ | \ leq \ | x \ |}\ | x \ | \ leq \ | x + y \ | \ leq \ | x \ | и, следовательно, ‖ x + y ‖ = ‖ x ‖ {\ displaystyle \ | x + y \ | = \ | x \ |}\ | x + y \ | = \ | x \ | .

Свойства

В треугольнике справа две нижние точки x и y нарушают условие d (x, y) ≤ max (d (x, z), d (y, z)).

Из приведенного выше определения можно сделать вывод о нескольких типичных свойствах ультраметрики. Например, для всех x, y, z ∈ M {\ displaystyle x, y, z \ in M}{\ displaystyle x, y, z \ в M} хотя бы одно из трех равенств d (x, y) знак равно d (y, z) {\ displaystyle d (x, y) = d (y, z)}{\ displaystyle d (x, y) = d (y, z)} или d (x, z) = d (y, z) {\ displaystyle d (x, z) = d (y, z)}{\ displaystyle d (x, z) = d (y, z)} или d (x, y) = d (z, x) {\ displaystyle d (x, y) = d (z, x)}{\ displaystyle d (x, y) = d (z, x)} выполняется. То есть каждая тройка точек в пространстве образует равнобедренный треугольник, поэтому все пространство представляет собой равнобедренный набор.

. Определение (открытого) шара радиуса r>0 {\ displaystyle r>0}r>0 с центром в x ∈ M {\ displaystyle x \ in M}x \ in M ​​как B (x; r): = {y ∈ M ∣ d (x, y) < r } {\displaystyle B(x;r):=\{y\in M\mid d(x,y){\ displaystyle B (x; r): = \ {y \ in M ​​\ mid d (x, y) <r \}} , у нас есть следующие свойства:

  • Каждая точка внутри шара является его центром, т.е. если d (x, y) < r {\displaystyle d(x,y)d ( x, y) <r , то B (x; r) = B (y; r) {\ displaystyle B (x; r) = B (y; r)}B (x; r) = B (y; r) .
  • пересекающиеся шары содержатся друг в друге, т. Е. Если B (x ; r) ∩ B (y; s) {\ displaystyle B (x; r) \ cap B (y; s)}B (x; r) \ cap B (y; s) is непусто, тогда либо B (Икс; г) ⊆ В (y; s) {\ Displaystyle B (x; r) \ substeq B (y; s)}{\ displaystyle B (x ; r) \ substeq B (y; s)} или B (y; s) ⊆ B (x ; r) {\ displaystyle B (y; s) \ substeq B (x; r)}{\ displaystyle B (y; s) \ substeq B (x; r)} .
  • Все шары строго положительного радиуса оба являются открытыми и закрытыми наборами в индуцированной топологии . То есть открытые шары также закрыты, а закрытые шары (замените < {\displaystyle <}<на ≤ {\ displaystyle \ leq}\ leq ) также открыты.
  • Множество всех открытых шары с радиусом r {\ displaystyle r}r и центром в замкнутом шаре с радиусом r>0 {\ displaystyle r>0}r>0 образует раздел последнего, а расстояние между двумя различными открытыми шарами (больше или) равно r {\ displaystyle r}r .

. Доказательство этих утверждений является поучительным упражнением. Все они прямо вытекают из неравенства ультраметрического треугольника. Обратите внимание, что Во втором утверждении, шар может иметь несколько центральных точек с ненулевым расстоянием. Интуиция, стоящая за такими, казалось бы, странными эффектами, заключается в том, что из-за сильного неравенства треугольника расстояния в ультраметриках не складываются.

Примеры

  • Дискретная метрика является ультраметрикой. ric.
  • p-адические числа образуют полное ультраметрическое пространство.
  • Рассмотрим набор слов произвольной длины (конечной или бесконечной), Σ, над некоторым алфавитом Σ. Определите расстояние между двумя разными словами равным 2, где n - первое место, в котором слова различаются. Результирующая метрика является ультраметрикой.
  • Набор слов со склеенными концами длины n над некоторым алфавитом Σ является ультраметрическим пространством по отношению к p-близкому расстоянию. Два слова x и y являются p-близкими, если любая подстрока из p последовательных букв (p < n) appears the same number of times (which could also be zero) both in x and y.
  • Если r = (r n) является последовательностью действительных чисел убывающих к нулю, то | x | r : = lim sup n → ∞ |xn| индуцирует ультраметрику на пространстве всех комплексных последовательностей, для которых она конечна. (Обратите внимание, что это не полунорма, поскольку в ней отсутствует однородность - если r n может быть равно нулю, здесь следует использовать довольно необычное соглашение, что 0 = 0.)
  • Если G - взвешенный по ребрам неориентированный граф, все веса ребер положительны, а d (u, v) - вес минимаксного пути между u и v (то есть наибольший вес ребра на пути, выбранном для минимизации этого наибольшего веса), тогда вершины графа с расстоянием, измеряемым d, образуют ультраметрическое пространство, а все конечные ультраметрические пространства могут быть представлены таким образом.

Приложения

Ссылки

Библиография

  • ; (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
  • Шефер, Гельмут Х. ; (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8(Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.

Дополнительная литература

Викискладе есть материалы, относящиеся к неархимедовой геометрии.
  • Капланский И. (1977), Set Теория и метрические пространства, AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2694-2.
Последняя правка сделана 2021-06-20 10:07:42
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте