Тип метрического пространства, в котором неравенство треугольника заменено более сильным неравенством с использованием max вместо сложения
В математике ультраметрическое пространство является метрикой пробел, в котором треугольник i nequality усиливается до . Иногда связанную метрику также называют неархимедовой метрикой или суперметрикой . Хотя некоторые из теорем для ультраметрических пространств могут показаться странными на первый взгляд, они естественным образом появляются во многих приложениях.
Содержание
- 1 Формальное определение
- 2 Свойства
- 3 Примеры
- 4 Приложения
- 5 Ссылки
- 6 Библиография
- 7 Дополнительная литература
Формальное определение
ультраметрика на множестве M - это вещественная -значная функция
(где ℝ обозначает действительные числа ), так что для всех x, y, z ∈ M:
- d (x, y) ≥ 0;
- d (x, y) = d (y, x) (симметрия )
- d (x, x) = 0;
- если d (x, y) = 0, то x = y (Идентичность неразличимых );
- d (x, z) ≤ max {d (x, y), d (y, z)} (строгий треугольник или ультраметрическое неравенство ).
- Определение : ультраметрическое пространство - это пара (M, d), состоящая из множества M вместе с ультраметрикой d на M, которая называется функция расстояния, связанная с пространством (также называемая метрикой ).
- Определение : если d удовлетворяет всем условиям, кроме, возможно, условия 4 (т. е. тождества неразличимых элементов), то d равно ca заполнено ультрапсевдометрическим на M. Ультрапсевдометрическим пространством называется пара (M, d), состоящая из множества M и ультрапсевдометрического d на M.
В случае, когда M является группа (записывается аддитивно), а d генерируется функцией длины (так что ), последнее свойство можно усилить с помощью Krull с повышением резкости до:
- с равенством, если .
Мы хотим доказать, что если , тогда равенство наступает, если . Без ограничения общности, предположим, что . Это означает, что . Но мы также можем вычислить . Теперь значение не может быть , потому что в этом случае вопреки исходному предположению. Таким образом, и . Используя исходное неравенство, мы имеем и, следовательно, .
Свойства
В треугольнике справа две нижние точки x и y нарушают условие d (x, y) ≤ max (d (x, z), d (y, z)).
Из приведенного выше определения можно сделать вывод о нескольких типичных свойствах ультраметрики. Например, для всех хотя бы одно из трех равенств или или выполняется. То есть каждая тройка точек в пространстве образует равнобедренный треугольник, поэтому все пространство представляет собой равнобедренный набор.
. Определение (открытого) шара радиуса с центром в как
- Каждая точка внутри шара является его центром, т.е. если
- пересекающиеся шары содержатся друг в друге, т. Е. Если B (x ; r) ∩ B (y; s) {\ displaystyle B (x; r) \ cap B (y; s)}is непусто, тогда либо B (Икс; г) ⊆ В (y; s) {\ Displaystyle B (x; r) \ substeq B (y; s)}или B (y; s) ⊆ B (x ; r) {\ displaystyle B (y; s) \ substeq B (x; r)}.
- Все шары строго положительного радиуса оба являются открытыми и закрытыми наборами в индуцированной топологии . То есть открытые шары также закрыты, а закрытые шары (замените < {\displaystyle <}на ≤ {\ displaystyle \ leq}) также открыты.
- Множество всех открытых шары с радиусом r {\ displaystyle r}и центром в замкнутом шаре с радиусом r>0 {\ displaystyle r>0}образует раздел последнего, а расстояние между двумя различными открытыми шарами (больше или) равно r {\ displaystyle r}.
. Доказательство этих утверждений является поучительным упражнением. Все они прямо вытекают из неравенства ультраметрического треугольника. Обратите внимание, что Во втором утверждении, шар может иметь несколько центральных точек с ненулевым расстоянием. Интуиция, стоящая за такими, казалось бы, странными эффектами, заключается в том, что из-за сильного неравенства треугольника расстояния в ультраметриках не складываются.
Примеры
- Дискретная метрика является ультраметрикой. ric.
- p-адические числа образуют полное ультраметрическое пространство.
- Рассмотрим набор слов произвольной длины (конечной или бесконечной), Σ, над некоторым алфавитом Σ. Определите расстояние между двумя разными словами равным 2, где n - первое место, в котором слова различаются. Результирующая метрика является ультраметрикой.
- Набор слов со склеенными концами длины n над некоторым алфавитом Σ является ультраметрическим пространством по отношению к p-близкому расстоянию. Два слова x и y являются p-близкими, если любая подстрока из p последовательных букв (p < n) appears the same number of times (which could also be zero) both in x and y.
- Если r = (r n) является последовательностью действительных чисел убывающих к нулю, то | x | r : = lim sup n → ∞ |xn| индуцирует ультраметрику на пространстве всех комплексных последовательностей, для которых она конечна. (Обратите внимание, что это не полунорма, поскольку в ней отсутствует однородность - если r n может быть равно нулю, здесь следует использовать довольно необычное соглашение, что 0 = 0.)
- Если G - взвешенный по ребрам неориентированный граф, все веса ребер положительны, а d (u, v) - вес минимаксного пути между u и v (то есть наибольший вес ребра на пути, выбранном для минимизации этого наибольшего веса), тогда вершины графа с расстоянием, измеряемым d, образуют ультраметрическое пространство, а все конечные ультраметрические пространства могут быть представлены таким образом.
Приложения
- A сопоставление сжатия можно тогда рассматривать как способ аппроксимации конечного результата o f вычисление (существование которого может быть гарантировано теоремой Банаха о неподвижной точке ). Подобные идеи можно найти в предметной области. p-адический анализ широко использует ультраметрическую природу p-адической метрики.
- В физике конденсированного состояния самоусредняется перекрытие между спинами в SK Model из спиновых стекол демонстрирует ультраметрическую структуру, решение которой дает процедура нарушения полной реплики симметрии, впервые описанная Джорджио Паризи и коллеги. Ультраметричность также присутствует в теории апериодических твердых тел.
- В таксономии и построении филогенетического дерева ультраметрические расстояния также используются в UPGMA и WPGMA методы. Эти алгоритмы требуют предположения о постоянной скорости и создают деревья, в которых расстояния от корня до каждого конца ветви равны. Когда анализируются данные по ДНК, РНК и белку, допущение ультраметричности называется молекулярными часами.
- Модели перемежаемости <48.>в трехмерной турбулентности флюидов используются так называемые каскады, а в дискретных моделях диадических каскадов, которые имеют ультраметрическую структуру.
- В географии и ландшафтная экология, ультраметрические расстояния были применены для измерения сложности ландшафта и оценки того, насколько одна ландшафтная функция важнее другой.
Ссылки
Библиография
- ; (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Шефер, Гельмут Х. ; (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8(Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Дополнительная литература
| Викискладе есть материалы, относящиеся к неархимедовой геометрии. |
- Капланский И. (1977), Set Теория и метрические пространства, AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2694-2.