Обычное локальное кольцо

редактировать

В коммутативной алгебре, регулярное локальное кольцо - это нётеровское локальное кольцо, обладающее тем свойством, что минимальное количество образующих его максимального идеала равно его размерности Крулля. В символах пусть A - нетерово локальное кольцо с максимальным идеалом m, и пусть a 1,..., a n - минимальный набор образующих m. Тогда по теореме Крулля о главном идеале n ≥ dim A, и A определяется как регулярное, если n = dim A.

Название «правильное» оправдано геометрическим значением. Точка x на алгебраическом многообразии X является невырожденной тогда и только тогда, когда локальное кольцо $OX, x {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X, x }}$ ${\ mathcal {O}} _ {X, x}$ из ростков в x является регулярным. (См. Также: регулярная схема.) Регулярные локальные кольца не связаны с регулярными кольцами фон Неймана.

Для нётеровых локальных колец существует следующая цепочка включений:

Универсальные цепные кольца ⊃ Кольца Коэна – Маколея ⊃ Кольца Горенштейна ⊃ полные кольца пересечений ⊃ регулярные локальные кольца

Содержание

1 Характеристики
2 Примеры
3 Непримеры
4 Основные свойства
5 Происхождение основных понятий
6 Регулярное кольцо
7 См. также
8 Примечания
9 Ссылки

Характеристики

Существует ряд полезных определений регулярное локальное кольцо, одно из которых упомянуто выше. В частности, если $A {\ displaystyle A}$ $A$ является нётеровым локальным кольцом с максимальным идеалом $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ mathfrak {m}}$ , то следующие эквивалентные определения

Пусть $m = (a 1,…, an) {\ displaystyle {\ mathfrak {m}} = (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})}$ ${\ mathfrak {m}} = (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})$ где $n {\ displaystyle n}$ $n$ выбрано как можно меньше. Тогда $A {\ displaystyle A}$ $A$ является обычным, если

dim A = n {\ displaystyle {\ t_dv {dim}} A = n \,}

{\ t_dv {dim}} A = n \,

, где размер - это Измерение Крулля. Тогда минимальный набор генераторов

a 1,…, an {\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}}

a_1, \ ldots, a_n

называется регулярной системой параметров.

Пусть $k = A / m {\ displaystyle k = A / {\ mathfrak {m}}}$ $k = A / {\ mathfrak {m}}$ - поле остатка $A {\ displaystyle A}$ $A$ . Тогда $A {\ displaystyle A}$ $A$ является правильным, если

dim k ⁡ m / m 2 = dim ⁡ A {\ displaystyle \ dim _ {k} {\ mathfrak {m}} / {\ mathfrak {m}} ^ {2} = \ dim A \,}

\ dim _ {k} {\ mathfrak {m}} / {\ mathfrak {m} } ^ {2} = \ dim A \,

где второе измерение - это измерение Крулля.

Пусть $gl dim A: = sup {pd M | M является A -модулем} {\ displaystyle {\ t_dv {gl dim}} A: = \ sup \ {{\ t_dv {pd}} M {\ t_dv {}} | {\ t_dv {}} M {\ t_dv {является}} A {\ t_dv {-module}} \}}$ ${\ t_dv {gl dim}} A: = \ sup \ {{ \ t_dv {pd}} M {\ t_dv {}} | {\ t_dv {}} M {\ t_dv {это}} A {\ t_dv {-module}} \}$ быть глобальным измерением элемента $A {\ displaystyle A}$ $A$ ( т. е. верхняя грань проективных измерений всех $A {\ displaystyle A}$ $A$ -модулей.) Тогда $A {\ displaystyle A}$ $A$ является обычным, если

gl dim A < ∞ {\displaystyle {\t_dv{gl dim }}A<\infty \,}

{\ t_dv {gl dim}} A <\ infty \,

, в этом случае

gl dim A = dim ⁡ A {\ displaystyle {\ t_dv {gl dim}} A = \ dim A}

{\ t_dv {gl dim}} A = \ dim A

критерий кратности утверждает: если пополнение нётерова локального кольца A не смешано (в том смысле, что нет вложенного простого делителя нулевого идеала и для каждого минимального простого числа p, $dim ⁡ A ^ / p = dim ⁡ A ^ {\ displaystyle \ dim {\ widehat {A}} / p = \ dim {\ widehat {A}}}$ ${\ displaystyle \ dim {\ widehat {A}} / p = \ dim {\ widehat {A}}}$ ) и если кратность числа A равна единице, то A является правильным. (Обратное всегда верно: кратность регулярного локального кольца равна единице.) Этот критерий соответствует геометрической интуиции в алгебраической геометрии, что локальное кольцо пересечения регулярно тогда и только тогда, когда пересечение a трансверсальное пересечение.

В случае положительной характеристики есть следующий важный результат, принадлежащий Кунцу: нётерово локальное кольцо $R {\ displaystyle R}$ $R$ положительной характеристики p является правильным тогда и только тогда, когда морфизм Фробениуса $R → R, r ↦ rp {\ displaystyle R \ to R, r \ mapsto r ^ {p}}$ ${\ displaystyle R \ to R, r \ mapsto r ^ {p}}$ - это плоский, а $R {\ displaystyle R}$ $R$ - уменьшенный. В нулевой характеристике подобный результат не известен (просто потому, что неясно, как заменить Фробениуса).

Примеры

Каждое поле представляет собой обычное локальное кольцо. Они имеют размерность 0 (Крулля). Фактически, поля являются в точности регулярными локальными кольцами размерности 0.
Любое кольцо дискретного нормирования является регулярным локальным кольцом размерности 1 и регулярным локальные кольца размерности 1 - это в точности кольца дискретного нормирования. В частности, если k - поле, а X - неопределенное, то кольцо формального степенного ряда k [[X]] является регулярным локальным кольцом, имеющим (Крулля) размерность 1.
Если p - обычное простое число, кольцо целых p-адических чисел является примером кольца дискретной оценки и, следовательно, обычного локального кольца, которое не содержит поля.
В более общем смысле, если k является полем и X 1, X 2,..., X d являются неопределенными, тогда кольцо формальных степенных рядов k [[X 1, X 2,..., X d ]] - регулярное локальное кольцо, имеющее размерность (Крулля) d.
Если A - регулярное локальное кольцо, то отсюда следует, что формальный степенной ряд кольцо A [[x]] регулярно локально.
Если Z - кольцо целых чисел, а X является неопределенным, кольцо Z [X] (2, X) (т.е. кольцо Z [X] локализованный в первичном идеале (2, X)) является примером двумерного регулярного локального кольца, не содержащего поля.
По структурная теорема из Ирвина Коэна, полное равноправное регулярное локальное кольцо размерности Крулля d, содержащее поле, является кольцом степенных рядов над полем.

Не -Примеры

Кольцо $A = k [x] / (x 2) {\ displaystyle A = k [x] / (x ^ {2})}$ ${\ displaystyle A = k [x] / (x ^ {2})}$ не является регулярное локальное кольцо, поскольку оно конечномерно, но не имеет конечной глобальной размерности. Например, существует бесконечное разрешение

⋯ → ⋅ xk [x] (x 2) → ⋅ xk [x] (x 2) → k → 0 {\ displaystyle \ cdots {\ xrightarrow {\ cdot x}} {\ frac {k [x]} {(x ^ {2})}} {\ xrightarrow {\ cdot x}} {\ frac {k [x]} {(x ^ {2})}} \ to k \ to 0}

{\ displaystyle \ cdots {\ xrightarrow {\ cdot x}} {\ frac {k [x]} {(x ^ {2})}} {\ xrightarrow {\ cdot x}} {\ frac {k [x]} {(x ^ {2})}} \ к к \ к 0}

Используя другую характеристику,

A {\ displaystyle A}

A

имеет ровно один простой идеал

m = (x) (x 2) {\ displaystyle { \ mathfrak {m}} = {\ frac {(x)} {(x ^ {2})}}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {m}} = {\ frac {(x)} {(x ^ {2})}}}

, поэтому размер кольца Крулля

0 {\ displaystyle 0}

{\ displaystyle 0}

, но

m 2 {\ displaystyle {\ mathfrak {m}} ^ {2}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {m}} ^ {2}}

- нулевой идеал, поэтому

m / m 2 {\ displaystyle {\ mathfrak {m}} / {\ mathfrak {m}} ^ {2}}

{\ mathfrak {m}} / {\ mathfrak {m}} ^ {2}

имеет размер

k {\ displaystyle k}

k

не менее

1 {\ displaystyle 1}

1

. (На самом деле это равно

1 {\ displaystyle 1}

1

, поскольку

x + m {\ displaystyle x + {\ mathfrak {m}}}

{\ displaystyle x + {\ mathfrak {m}}}

является основой.)

Основные свойства

В теореме Ауслендера – Буксбаума говорится, что каждое регулярное локальное кольцо является уникальной областью факторизации.

Каждая локализация регулярное локальное кольцо является правильным.

Завершение регулярного локального кольца является регулярным.

Если $(A, m) {\ displaystyle (A, {\ mathfrak {m}})}$ $(A, {\ mathfrak {m}})$ - полное регулярное локальное кольцо, содержащее поле, то

A ≅ k [[x 1,…, xd]] {\ displaystyle A \ cong k [[x_ {1}, \ ldots, x_ {d}]]}

A \ cong k [[x_ {1}, \ ldots, x_ {d}]]

где $k = A / m {\ displaystyle k = A / {\ mathfrak {m}}}$ $k = A / {\ mathfrak {m}}$ - это поле остатка, а $d = dim ⁡ A {\ displaystyle d = \ dim A}$ $d = \ dim A$ , измерение Крулля.

См. Также: Неравенство Серра по высоте и гипотезы Серра о множественности.

Происхождение основных понятий

Регулярные локальные кольца были первоначально определены Вольфгангом Крулля в 1937 году, но впервые они стали заметными в работе Оскара Зариски несколько лет спустя, который показал, что геометрически правильное локальное кольцо соответствует гладкой точке на алгебраическом многообразии.. Пусть Y - алгебраическое многообразие, содержащееся в аффинном n-пространстве над совершенным полем, и предположим, что Y - множество исчезающих многочленов f 1,..., f м. Y неособен в P, если Y удовлетворяет условию Якоби : Если M = (∂f i / ∂x j) - матрица частных производных определяя уравнения многообразия, то ранг матрицы, полученной вычислением M в P, равен n - dim Y. Зариски доказал, что Y неособо в P тогда и только тогда, когда локальное кольцо Y в P регулярно. (Зариски заметил, что это может дать сбой в несовершенных полях.) Это означает, что гладкость является внутренним свойством многообразия, другими словами, она не зависит от того, где и как многообразие вложено в аффинное пространство. Это также предполагает, что регулярные локальные кольца должны обладать хорошими свойствами, но до введения методов из гомологической алгебры в этом направлении было известно очень мало. После того, как такие методы были введены в 1950-х годах, Ослендер и Бухсбаум доказали, что каждое регулярное локальное кольцо является уникальной областью факторизации.

Еще одно свойство, предложенное геометрической интуицией, состоит в том, что локализация регулярного локального кольца снова должна быть регулярной. Опять же, этот вопрос оставался неразрешенным до введения гомологических методов. Жан-Пьер Серр нашел гомологическую характеристику регулярных локальных колец: локальное кольцо A регулярно тогда и только тогда, когда A имеет конечную глобальную размерность, т.е. если каждый A-модуль имеет проективную резольвенту конечной длины. Легко показать, что свойство иметь конечную глобальную размерность сохраняется при локализации, и, следовательно, локализации регулярных локальных колец в простых идеалах снова регулярны.

Это позволяет нам определить регулярность для всех коммутативных колец, а не только для локальных: коммутативное кольцо A называется регулярным кольцом, если его локализации вообще его простых идеалов - регулярные локальные кольца. Если A конечномерно, то можно сказать, что A имеет конечную глобальную размерность.

Регулярное кольцо

В коммутативной алгебре правильное кольцо - это коммутативное нётерово кольцо, такое что локализация в каждом простом идеале является регулярным локальным кольцом : то есть каждая такая локализация обладает тем свойством, что минимальное число образующих ее максимального идеала равно ее Размерность Крулля.

Происхождение термина регулярное кольцо заключается в том, что аффинное многообразие невырожденное (то есть каждая точка регулярна ) тогда и только тогда, когда его кольцо регулярных функций регулярно.

Для регулярных колец размерность Крулля согласуется с глобальной гомологической размерностью.

Жан-Пьер Серр определил регулярное кольцо как коммутативное нётерово кольцо конечной глобальной гомологической размерности. Его определение сильнее, чем определение выше, которое допускает регулярные кольца бесконечной размерности Крулля.

Примеры обычных колец включают поля (нулевой размерности) и дедекиндовы домены. Если A является регулярным, то также и A [X], размерность которого на единицу больше, чем у A.

В частности, если k - поле, кольцо целых чисел или область главных идеалов, тогда кольцо многочленов $k [X 1,…, X n] {\ displaystyle k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$ ${\ displaystyle k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$ регулярно. В случае поля это теорема Гильберта о сизигии.

Любая локализация регулярного кольца также является регулярной.

Обычное кольцо сокращено, но не обязательно должно быть целостной областью. Например, произведение двух регулярных областей целостности является регулярным, но не областью целостности.

См. Также

Геометрически правильное кольцо

Примечания

^Локальное регулярное кольцо фон Неймана является телом, поэтому эти два условия не очень совместимы.
^Херрманн, М., С. Икеда и У. Орбанц: Равноразмерность и взрыв. Алгебраический этюд с приложением Б. Мунена. Springer Verlag, Berlin Heidelberg New-York, 1988. Теорема 6.8.
^Крулль, Вольфганг (1937), "Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III", Math. Z.: 745–766, doi : 10.1007 / BF01160110
^Зариски, Оскар (1940), «Алгебраические многообразия над основными полями характеристики 0», Amer. J. Math., 62 : 187–221, doi : 10.2307 / 2371447
^Зариски, Оскар (1947), «Концепция простого точка абстрактного алгебраического многообразия », Пер. Амер. Математика. Soc., 62 : 1–52, doi : 10.1090 / s0002-9947-1947-0021694-1
^, поскольку кольцо сокращается тогда и только тогда, когда его локализации в простых идеалах есть.
^Является ли регулярное кольцо областью

Литература

Кунц, Характеризация регулярных локальных колец характеристики p. Амер. J. Math. 91 (1969), 772–784.
Жан-Пьер Серр, Локальная алгебра, Springer-Verlag, 2000, ISBN 3- 540-66641-9. Глава IV.D.
Цит-Юэн Лам, Лекции по модулям и кольцам, Springer-Verlag, 1999, ISBN 978- 1-4612-0525-8. Глава 5.G.
Обычные звонки в The Stacks Project