Регулярное кольцо фон Неймана

В математике, фон Неймана регулярное кольцо - это кольцо R (ассоциативное, с 1, не обязательно коммутативное) такое, что для каждого элемента a в R существует x в R с a = axa. Можно думать о x как о «слабом инверсии» элемента a; в общем случае x не определяется однозначно a. Регулярные кольца фон Неймана также называют абсолютно плоскими кольцами, потому что эти кольца характеризуются тем, что каждый левый R-модуль является плоским.

регулярными кольцами фон Неймана были введен фон Нейманом (1936) под названием «регулярные кольца» в ходе его изучения алгебр фон Неймана и непрерывной геометрии. Регулярные кольца фон Неймана не следует путать с несвязанными регулярными кольцами и регулярными локальными кольцами из коммутативной алгебры.

Элемент a кольца называется регулярный элемент фон Неймана, если существует такой x, что a = axa. Идеальный $i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{i\}\}\}$называется (von Neumann) регулярным идеалом, если для каждого элемента a в $i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{i\}\}\}$существует элемент x в $i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{i\}\}\}$такой, что a = axa.

• 1 Примеры
• 2 Факты
• 3 Обобщения и специализации
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Дополнительная литература

Каждое поле (и каждое тело тело ) регулярно по фон Нейману: для a 0 мы можем взять x = a. Область целостности является регулярной по фон Нейману тогда и только тогда, когда она является полем. Каждое прямое произведение регулярных колец фон Неймана снова является регулярным по фон Нейману.

Еще одним важным классом примеров регулярных колец фон Неймана являются кольца M n (K) квадратных матриц размером n × n с элементами из некоторого поля K.Если r является рангом A ∈ M n (K), исключение Гаусса дает обратимые матрицы U и V такие, что

$A\; =\; U\; (I\; r\; 0\; 0\; 0)\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; U\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; I\_\; \{r\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; V\}$

(где I r - это единичная матрица r-by-r ). Если мы положим X = VU, то

$A\; X\; A\; =\; U\; (I\; r\; 0\; 0\; 0)\; (I\; r\; 0\; 0\; 0)\; V\; =\; U\; (I\; r\; 0\; 0\; 0)\; V\; =\; A.\; \{\backslash \; displaystyle\; AXA\; =\; U\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; I\_\; \{r\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; I\_\; \{r\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; V\; =\; U\; \{\; \backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; I\_\; \{r\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; V\; =\; A.\}$

В более общем смысле, кольцо матриц размера nxn над любым регулярным кольцом фон Неймана снова является регулярным по фон Нейману.

Если V является векторным пространством над полем (или телом ) K, то кольцо эндорморфизма End K (V) является регулярным по фон Нейману, даже если V не конечномерно.

Кольцо аффилированных операторов конечной алгебры фон Неймана регулярно по фон Нейману.

A Логическое кольцо - это кольцо, в котором каждый элемент удовлетворяет условию a = a. Каждое булево кольцо регулярно по фон Нейману.

Следующие утверждения эквивалентны для кольца R:

• R является регулярным по фон Нейману
• каждый главный левый идеал порождается идемпотентным элементом
• каждый конечно порожденный левый идеал порождается идемпотентом
• каждый главный левый идеал является прямым слагаемым левого R-модуля R
• каждый конечно порожденный левый идеал является прямым слагаемым левого R-модуля R
• любого конечно порожденного подмодуля из проективный левый R-модуль P является прямым слагаемым P
• каждый левый R-модуль плоский : это также известно как R, будучи абсолютно плоским, или R, имеющий слабую размерность 0.
• , каждая короткая точная последовательность левых R-модулей является чисто точной

Соответствующие операторы для правых модулей также эквивалентны R - регулярный фон Неймана.

В коммутативном регулярном кольце фон Неймана для каждого элемента x существует уникальный элемент y такой, что xyx = x и yxy = y, поэтому существует канонический способ выбора «слабого обратного» x. Следующие утверждения эквивалентны для коммутативного кольца R:

• R является регулярным по фон Нейману
• R имеет размерность Крулля 0 и сокращается
• Каждая локализация кольца R в максимальном идеале является полем
• R - подкольцо произведения полей, замкнутое относительно взятия «слабых обратных» x ∈ R (единственный элемент y такой что xyx = x и yxy = y).
• R является V-кольцом.

Кроме того, следующие условия эквивалентны: для коммутативного кольца A

• R = A / nil (A) является регулярным по фон Нейману.
• спектр матрицы A хаусдорфов (в топологии Зарисского ).
• Конструируемая топология и топология Зарисского для Spec (A) совпадают.

Обобщая приведенный выше пример, предположим, что S - некоторое кольцо, а M - такой S-модуль, что каждый подмодуль модуля M является прямым слагаемым в M (такое модули M называются полупростыми ). Тогда кольцо эндоморфизмов End S (M) регулярно по фон Нейману. В частности, каждое полупростое кольцо это фон Неум Энн регулярный. В самом деле, полупростые кольца - это в точности нётеровы регулярные кольца фон Неймана.

Каждое регулярное кольцо фон Неймана имеет радикал Джекобсона {0} и, таким образом, является полупримитивным (также называемым «полупростым Якобсоном»).

Специальные типы регулярных колец фон Неймана включают единичные регулярные кольца и строго регулярные кольца фон Неймана и ранговые кольца.

Кольцо R называется единичным регулярный, если для каждого a в R существует единица u в R такая, что a = aua. Каждое полупростое кольцо является единично регулярным, а единичные регулярные кольца - это непосредственно конечные кольца. Обычное регулярное кольцо фон Неймана не обязательно должно быть прямо конечным.

Кольцо R называется строго регулярным по фон Нейману, если для каждого a в R существует некоторый x в R с a = aax. Условие симметрично слева и справа. Сильно регулярные кольца фон Неймана единично регулярны. Каждое строго регулярное кольцо фон Неймана является подпрямым произведением тел. В некотором смысле это более точно имитирует свойства коммутативных регулярных колец фон Неймана, которые являются подпрямыми произведениями полей. Конечно, для коммутативных колец регулярный фон Неймана и строго регулярный фон Неймана эквивалентны. В общем, следующие условия эквивалентны для кольца R:

• R является строго регулярным по фон Нейману
• R является регулярным по фон Нейману и редуцированным
• R является регулярным по фон Нейману и каждый идемпотент в R является центральным
• Каждый главный левый идеал кольца R порождается центральным идемпотентом

Обобщения регулярных колец фон Неймана включают π -регулярные кольца, слева / справа, слева / справа невырожденные кольца и полупримитивные кольца.

• Регулярная полугруппа
• Слабая обратная

• Каплански, Ирвинг (1972), Поля и кольца, Чикагские лекции по математике (второе изд.), University of Chicago Press, ISBN 0-226-42451-0, Zbl 1001.16500
• LA Скорняков (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press

• Goodearl, KR (1991), регулярные кольца фон Неймана (2-е изд.), Малабар, FL: Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., стр. Xviii + 412, ISBN 0-89464-632-X, MR 1150975, Zbl 0749.16001
• фон Нейман, Джон (1936), «На регулярных кольцах», Proc. Natl. Акад. Sci. США, 22 (12): 707–712, doi : 10.1073 / pnas.22.12.707, JFM 62.1103.03, PMC 1076849, PMID 16577757, Zbl 0015.38802
• фон Нейман, Джон (1960), Непрерывная геометрия, Princeton University Press, Zbl 0171.28003