Полное кольцо пересечения

В коммутативной алгебре, полное пересечение кольцо - это коммутативное кольцо, подобное координатным кольцам разновидностей, которые являются полными пересечениями. Неформально их можно представить примерно как локальные кольца, которые могут быть определены с использованием «минимально возможного» количества отношений.

Для нётеровых локальных колец существует следующая цепочка включений:

Универсальные цепные кольца ⊃ кольца Коэна – Маколея ⊃ кольца Горенштейна ⊃ кольца полного пересечения ⊃ регулярные локальные кольца

Локальное полное кольцо пересечений - это нётеровское локальное кольцо, завершение которого является частным от регулярного локального кольца. идеалом, порожденным регулярной последовательностью. Пополнение - это небольшая техническая сложность, вызванная тем, что не все локальные кольца являются частными от обычных. Для колец, которые являются факторами регулярных локальных колец, покрывающих большинство локальных колец, встречающихся в алгебраической геометрии, нет необходимости делать дополнения в определении.

Существует альтернативное внутреннее определение, которое не зависит от вложения кольца в регулярное локальное кольцо. Если R - нетерово локальное кольцо с максимальным идеалом m, то размерность m / m называется размерностью вложения emb dim (R) кольца R. Определим градуированную алгебру H (R) как гомологию комплекс Кошуля относительно минимальной системы образующих m / m; с точностью до изоморфизма это зависит только от R, а не от выбора образующих m. Размер H 1 (R) обозначается ε 1 и называется первым отклонением R; он обращается в нуль тогда и только тогда, когда R регулярно. Нётерово локальное кольцо называется полным кольцом пересечений, если его размерность вложения является суммой измерения и первого отклонения:

emb dim (R) = dim (R) + ε 1 (R).

Существует также рекурсивная характеристика локальных полных колец пересечений, которая может использоваться в качестве определения следующим образом. Предположим, что R - полное нётерово локальное кольцо. Если R имеет размерность больше 0 и x является элементом максимального идеала, который не является делителем нуля, то R является полным кольцом пересечений тогда и только тогда, когда R / (x) есть. (Если максимальный идеал состоит полностью из делителей нуля, то R не является полным кольцом пересечений.) Если R имеет размерность 0, то Вибе (1969) показал, что это полное кольцо пересечений тогда и только тогда, когда Подгонка идеала его максимального идеала не равна нулю.

• Регулярные локальные кольца являются полными кольцами пересечения, но обратное неверно: кольцо $k\; [x]\; /\; (x\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; [x]\; /\; (x\; ^\; \{2\})\}$- 0-мерное полное кольцо пересечений, которое не является регулярным.
• Локальные кольца полных пересечений - это кольца Горенштейна, но обратное неверно: кольцо $k\; [x,\; y,\; z]\; /\; (x\; 2,\; y\; 2,\; xz,\; yz,\; z\; 2\; -\; xy)\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; [x,\; y,\; z]\; /\; (x\; ^\; \{\; 2\},\; y\; ^\; \{2\},\; xz,\; yz,\; z\; ^\; \{2\}\; -xy)\}$- 0-мерное кольцо Горенштейна, которое не является полным кольцом пересечений.
• пример локально полного кольца пересечения, которое не является полным кольцом пересечения, дается как $k\; [x,\; y]\; /\; (y\; -\; x\; 2,\; x\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; [x,\; y]\; /\; (yx\; ^\; \{\; 2\},\; x\; ^\; \{3\})\}$который имеет длину 3, поскольку он изоморфен как векторное пространство $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$векторному пространству $k\; \oplus \; k\; \cdot \; Икс\; \oplus \; К\; \cdot \; Икс\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; к\; \backslash \; oplus\; k\; \backslash \; cdot\; x\; \backslash \; oplus\; k\; \backslash \; cdot\; x\; ^\; \{2\}\}$.

• Брунс, Винфрид; Герцог, Юрген (1993), Кольца Коэна – Маколея, Кембриджские исследования в области высшей математики, 39, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521- 41068-7, MR 1251956
• Тейт, Джон (1957), «Гомология нётеровых колец и локальных колец», Illinois Journal of Mathematics, 1 : 14 –27, ISSN 0019-2082, MR 0086072
• Wiebe, Hartmut (1969), «Über homologische Invarianten lokaler Ringe», Mathematische Annalen, 179 : 257–274, doi : 10.1007 / BF01350771, ISSN 0025-5831, MR 0255531