Глубина (теория колец)

редактировать

В коммутативной и гомологической алгебре глубина является важным инвариантом для колец и модули. Хотя глубину можно определить в более общем смысле, наиболее распространенным рассматриваемым случаем является случай модулей над коммутативным нётеровым локальным кольцом. В этом случае глубина модуля связана с его проективной размерностью по формуле Ауслендера – Буксбаума. Более элементарным свойством глубины является неравенство

depth (M) ≤ dim ⁡ (M), {\ displaystyle \ mathrm {depth} (M) \ leq \ dim (M),}

{\ mathrm {depth}} (M) \ leq \ dim (M),

где dim M обозначает размерность Крулля модуля M. Глубина используется для определения классов колец и модулей с хорошими свойствами, например, колец Коэна-Маколея и модулей, для которых выполняется равенство.

Содержание

1 Определение
- 1.1 Теорема (Рис)
2 Глубина и проективный размер
3 Кольца нуля глубины
4 Ссылки

Определение

Пусть R будет коммутативное кольцо, I - идеал R, а M - конечный R-модуль со свойством, что IM правильно содержится в M. Тогда I- глубина M, также обычно называемая степень M определяется как

глубина I (M) = min {i: Ext i ⁡ (R / I, M) ≠ 0}. {\ displaystyle \ mathrm {depth} _ {I} (M) = \ min \ {i: \ operatorname {Ext} ^ {i} (R / I, M) \ neq 0 \}.}

{\ mathrm {depth}} _ {I} (M) = \ min \ {i: \ operatorname {Ext} ^ {i } (R / I, M) \ neq 0 \}.

По определению, глубина локального кольца R с максимальным идеалом $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ mathfrak {m}}$ равна его $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ mathfrak {m}}$ -глубина как модуль над собой. Если R является локальным кольцом Коэна-Маколея, то глубина R равна размерности R.

По теореме Дэвида Риза глубина может также можно охарактеризовать с помощью понятия регулярной последовательности.

Теорема (Рис)

Предположим, что R - коммутативное нетерово локальное кольцо с максимальным идеалом $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ mathfrak {m}}$ и M конечно порожденный R-модуль. Тогда все максимальные регулярные последовательности x1,..., x n для M, где каждый x i принадлежит $m {\ displaystyle {\ mathfrak { m}}}$ ${\ mathfrak {m}}$ , иметь одинаковую длину n, равную $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ mathfrak {m}}$ -глубина M.

Глубина и проективная размерность

Проективная размерность и глубина модуля над коммутативным нётеровым локальным кольцом дополняют друг друга. Это содержание формулы Ауслендера – Буксбаума, которая имеет не только фундаментальное теоретическое значение, но также обеспечивает эффективный способ вычисления глубины модуля. Предположим, что R - коммутативное нетерово локальное кольцо с максимальным идеальным $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ mathfrak {m}}$ и M - конечно порожденный R-модуль. Если проективная размерность M конечна, то формула Ауслендера – Буксбаума утверждает, что

p d R (M) + d e p t h (M) = d e p t h (R). {\ displaystyle \ mathrm {pd} _ {R} (M) + \ mathrm {depth} (M) = \ mathrm {depth} (R).}

{\ mathrm {pd}} _ {R} (M) + {\ mathrm {depth}} (M) = {\ mathrm {depth}} (R).

Кольца нуля глубины

коммутативный нётер локальное кольцо R имеет нулевую глубину тогда и только тогда, когда его максимальный идеал $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ mathfrak {m}}$ является ассоциированным простым числом, или, что то же самое, когда существует ненулевой элемент x в R такой, что $xm = 0 {\ displaystyle x {\ mathfrak {m}} = 0}$ $x {\ mathfrak {m}} = 0$ (то есть x аннигилирует $m {\ displaystyle { \ mathfrak {m}}}$ ${\ mathfrak {m}}$ ). По сути, это означает, что закрытая точка - это.

Например, кольцо $k [x, y] / (x 2, xy) {\ displaystyle k [x, y] / (x ^ {2}, xy)}$ $k [x, y] / (x ^ {2}, xy)$ (где k - поле), который представляет линию ( $x = 0 {\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ ) со встроенной двойной точкой в начале координат, имеет нулевую глубину в происхождение, но размер один: это дает пример кольца, которое не является Коэн-Маколей.

Ссылки

Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии, Тексты для выпускников по математике, 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94269- 8, MR 1322960
Винфрид Брунс; Юрген Херцог, кольца Коэна – Маколея. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii + 403 pp. ISBN 0-521-41068-1