Связанное оцениваемое кольцо

редактировать

В математике, связанное градуированное кольцо кольца кольца R относительно правильного идеала I - градуированное кольцо :

gr I ⁡ R = ⊕ n = 0 ∞ I n / I n + 1 {\ displaystyle \ operatorname {gr} _ {I} R = \ oplus _ {n = 0} ^ {\ infty} I ^ {n} / I ^ {n + 1}}

\ operatorname {gr} _ {I} R = \ oplus _ {{n = 0 }} ^ {\ infty} I ^ {n} / I ^ {{n + 1}}

Аналогично, если M является левым R-модулем, то связанный оцениваемый модуль является оцениваемым модуль более $гр I ⁡ R {\ displaystyle \ operatorname {gr} _ {I} R}$ $\ operatorname {gr} _ {I} R$ :

гр I ⁡ M = ⊕ 0 ∞ I n M / I n + 1 M {\ displaystyle \ имя оператора {gr} _ {I} M = \ oplus _ {0} ^ {\ infty} I ^ { n} M / I ^ {n + 1} M}

\ operatorname {gr} _ {I} M = \ oplus _ {0} ^ {\ infty} I ^ {n} M / I ^ {{n + 1}} M

Содержание

1 Основные определения и свойства
2 gr модуля частного
3 Примеры
4 Обобщение на мультипликативные фильтрации
5 См. Также
6 Ссылки

Основные определения и свойства

Для кольца R и идеала I, умножение в $gr I ⁡ R {\ displaystyle \ operatorname {gr} _ {I} R}$ $\ operatorname {gr} _ {I} R$ определяется следующим образом: сначала рассмотрим однородные элементы $a ∈ I i / I i + 1 {\ displaystyle a \ in I ^ {i} / I ^ {i + 1}}$ $a \ in I ^ { я} / я ^ {{я + 1}}$ и $b ∈ I j / I j + 1 {\ displaystyle b \ in I ^ {j} / I ^ {j + 1}}$ $b \ in I ^ {j} / I ^ {{j + 1}}$ и предположим, что $a ′ ∈ I i {\ displaystyle a '\ in I ^ {i}}$ $a'\in I^{i}$ является представителем a и $b ′ ∈ I j {\ displaystyle b' \ в I ^ {j}}$ $b'\in I^{j}$ является представителем b. Затем определите $ab {\ displaystyle ab}$ $ab$ как класс эквивалентности $a 'b' {\ displaystyle a'b '}$ $a'b'$ в $I i + j / I i + j + 1 {\ displaystyle I ^ {i + j} / I ^ {i + j + 1}}$ $I ^ {{i + j}} / I ^ {{i + j + 1}}$ . Обратите внимание, что это четко определенный по модулю $I i + j + 1 {\ displaystyle I ^ {i + j + 1}}$ $I ^ {{i + j + 1}}$ . Умножение неоднородных элементов определяется с помощью свойства распределенности.

Кольцо или модуль могут быть связаны с его ассоциированным градуированным кольцом или модулем через начальную карту формы . Пусть M - R-модуль, а I - идеал R. Для $f ∈ M {\ displaystyle f \ in M}$ $f \ in M $ , исходная форма f в $гр I ⁡ M {\ displaystyle \ operatorname {gr} _ {I} M}$ $\ operatorname {gr} _ {I} M$ , записано $in (f) {\ displaystyle \ mathrm {in} (f)}$ ${\ mathrm {in}} (f)$ , является классом эквивалентности f в $I m M / I m + 1 M {\ displaystyle I ^ {m} M / I ^ {m + 1} M}$ $I ^ {m} M / I ^ {{m + 1}} M$ где m - максимальное целое число такое, что $f ∈ I m M {\ displaystyle f \ in I ^ {m} M}$ $f \ in I ^ {m} M$ . Если $f ∈ I m M {\ displaystyle f \ in I ^ {m} M}$ $f \ in I ^ {m} M$ для каждого m, тогда установите $in (f) = 0 {\ displaystyle \ mathrm {in } (f) = 0}$ ${\ mathrm {in}} (f) = 0$ . Первоначальная карта формы - это всего лишь карта множеств, а не гомоморфизм . Для подмодуля $N ⊂ M {\ displaystyle N \ subset M}$ $N \ subset M$ , $in (N) {\ displaystyle \ mathrm {in} (N)}$ ${\ mathrm {in}} ( N)$ определяется быть подмодулем $gr I ⁡ M {\ displaystyle \ operatorname {gr} _ {I} M}$ $\ operatorname {gr} _ {I} M$ , сгенерированного ${in (f) | е ∈ N} {\ Displaystyle \ {\ mathrm {in} (е) | е \ в N \}}$ $\ {{\ mathrm {in}} (f) | f \ in N \}$ . Это может быть не то же самое, что подмодуль $gr I ⁡ M {\ displaystyle \ operatorname {gr} _ {I} M}$ $\ operatorname {gr} _ {I} M$ , генерируемый единственными начальными формами генераторов N.

Кольцо наследует некоторые «хорошие» свойства от связанного с ним градуированного кольца. Например, если R - нётерское локальное кольцо, а $gr I ⁡ R {\ displaystyle \ operatorname {gr} _ {I} R}$ $\ operatorname {gr} _ {I} R$ является областью целостности, тогда R сама является областью целостности.

gr модуля частного

Пусть $N ⊂ M {\ displaystyle N \ subset M}$ $N \ subset M$ - левые модули над кольцом R, а I - идеал кольца R. Поскольку

I n (M / N) I n + 1 (M / N) ≃ I n M + NI n + 1 M + N ≃ I N MI N M ∩ (I N + 1 M + N) знак равно I N MI n M ∩ N + I n + 1 M {\ displaystyle {I ^ {n} (M / N) \ over I ^ {n + 1} (M / N)} \ simeq {I ^ {n} M + N \ over I ^ {n + 1} M + N} \ simeq {I ^ {n} M \ over I ^ {n} M \ cap (I ^ {n + 1} M + N)} = {I ^ {n} M \ over I ^ {n} M \ cap N + I ^ {n + 1} M}}

{\ displaystyle {I ^ {n} (M / N) \ over I ^ { n + 1} (M / N)} \ simeq {I ^ {n} M + N \ над I ^ {n + 1} M + N} \ simeq {I ^ {n} M \ над I ^ {n} M \ cap (I ^ {n + 1} M + N)} = {I ^ {n} M \ over I ^ {n} M \ cap N + I ^ {n + 1} M}}

(последнее равенство соответствует модульному закону ), существует каноническая идентификация:

gr I ⁡ (M / N) = gr I ⁡ M / in ⁡ (N) {\ displaystyle \ operatorname {gr} _ {I} (M / N) = \ operatorname {gr} _ {I} M / \ operatorname {in} (N)}

{\ displaystyle \ operatorname {gr} _ {I} (M / N) = \ operatorname {gr} _ {I} M / \ operatorname {in} (N)}

где

in ⁡ (N) = ⨁ n = 0 ∞ я N M ∩ N + I n + 1 MI n + 1 M, {\ displaystyle \ operatorname {in} (N) = \ bigoplus _ {n = 0} ^ {\ infty} { I ^ {n} M \ cap N + I ^ {n + 1} M \ over I ^ {n + 1} M},}

{\ displaystyle \ operatorname {in} (N) = \ bigoplus _ {n = 0} ^ {\ infty} {I ^ {n} M \ cap N + I ^ {n + 1} M \ over I ^ {n + 1} M},}

называется подмодулем, порожденным начальными формами элементов $N {\ displaystyle N}$ $N$ .

Примеры

Пусть U будет универсальной обертывающей алгеброй алгебры Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ над полем k; фильтруется по степени. Из теоремы Пуанкаре – Биркгофа – Витта следует, что $gr ⁡ U {\ displaystyle \ operatorname {gr} U}$ $\ operatorname {gr} U$ является кольцом многочленов; фактически, это координатное кольцо $k [g ∗] {\ displaystyle k [{\ mathfrak {g}} ^ {*}]}$ $k [{\ mathfrak {g}} ^ {*}]$ .

Ассоциированная градуированная алгебра a Алгебра Клиффорда - внешняя алгебра; т.е. алгебра Клиффорда вырождается в внешнюю алгебру.

Обобщение до мультипликативных фильтраций

Связанная градуированная также может быть определена в более общем смысле для мультипликативной нисходящие фильтрации кольца R (см. Также фильтрованное кольцо.) Пусть F - нисходящая цепочка идеалов вида

R = I 0 ⊃ I 1 ⊃ I 2 ⊃ ⋯ {\ displaystyle R = I_ {0} \ supset I_ {1} \ supset I_ {2} \ supset \ dotsb}

R = I_ {0} \ supset I_ {1} \ supset I_ {2} \ supset \ dotsb

такой, что $I j I k ⊂ I j + k {\ displaystyle I_ {j} I_ { k} \ subset I_ {j + k}}$ $I_ {j} I_ {k} \ subset I _ {{j + k}}$ . Градуированное кольцо, связанное с этой фильтрацией, имеет вид $gr F ⁡ R = ⊕ n = 0 ∞ I n / I n + 1 {\ displaystyle \ operatorname {gr} _ {F} R = \ oplus _ {n = 0} ^ {\ infty} I_ {n} / I_ {n + 1}}$ $\ operatorname {gr} _ {F} R = \ oplus _ {{n = 0}} ^ {\ infty} I_ {n} / I _ {{n + 1}}$ . Умножение и начальная форма карты определены, как указано выше.

См. Также

Ссылки

Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра. Тексты для выпускников по математике. 150 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1. ISBN 0-387-94268-8. MR 1322960.
Мацумура, Хидеюки (1989). Коммутативная теория колец. Кембриджские исследования в области высшей математики. 8 . Перевод с японского М. Рейда (Второе изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-36764-6. MR 1011461.
Зариски, Оскар ; Самуэль, Пьер (1975), Коммутативная алгебра. Vol. II, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90171-8, MR 0389876