Войти
В алгебраической геометрии, пространство Зарисского – Римана или пространство Зарисского подкольца k поля K является локально окольцованным пространством, точки которого являются оценочными кольцами, содержащими k и содержащимися в K. Они обобщают риманову поверхность. сложной кривой.
Пространства Зарисского – Римана были введены Зарисским (1940, 1944), который (довольно путанно) назвал их римановыми многообразиями или Римановы поверхности . Они были названы пространствами Зарисского – Римана в честь Оскара Зарисского и Бернхарда Римана от Нагаты (1962), который использовал их, чтобы показать, что алгебраические многообразия могут быть вложены в полные.
Локальная униформизация (доказанная Зариским в характеристике 0) может быть истолкована как утверждение, что пространство Зарисского – Римана многообразия в некотором смысле неособо, поэтому это своего рода довольно слабое разрешение особенностей. Это не решает проблему разрешения особенностей, поскольку в размерностях больше единицы пространство Зарисского – Римана не является локально аффинным и, в частности, не является схемой.
Пространство Зарисского – Римана поля K над базовым полем k является локально окольцованным пространством, точками которого являются кольца нормирования, содержащее k и содержащееся в K. Иногда само оценочное кольцо K исключается, а иногда точки ограничиваются нульмерными оценочными кольцами (те, чье поле вычетов имеет степень трансцендентности нуль над k).
Если S - пространство Зарисского – Римана подкольца k поля K, оно имеет топологию, определенную путем взятия за основу открытых множеств колец оценки, содержащих заданное конечное подмножество K. Пространство S квазикомпактен. Он превращается в локально окольцованное пространство путем присвоения любому открытому подмножеству пересечения колец оценки точек подмножества. Локальное кольцо в любой точке является соответствующим оценочным кольцом.
Пространство Зарисского – Римана функционального поля также может быть построено как обратный предел всех полных (или проективных) моделей функционального поля.
Пространство Римана – Зарисского кривой над алгебраически замкнутым полем k с функциональным полем K совпадает с пространством его несингулярная проективная модель. Он имеет одну общую незамкнутую точку, соответствующую тривиальному нормированию с оценочным кольцом K, а его другие точки являются оценочными кольцами ранга 1 в K, содержащими k. В отличие от многомерных случаев пространство Зарисского – Римана кривой является схемой.
Кольца нормирования поверхности S над k с функциональным полем K можно классифицировать по размерности (степени трансцендентности поля вычетов) и ранг (количество ненулевых выпуклых подгрупп оценочной группы). Зариский (1939) дал следующую классификацию:
