Глоссарий римановой и метрической геометрии

редактировать

Математический глоссарий

Это глоссарий некоторых терминов, используемых в римановой геометрии и метрическая геометрия - не охватывает терминологию дифференциальной топологии.

. Следующие статьи также могут быть полезны; они либо содержат специализированную лексику, либо предоставляют более подробное изложение определений, приведенных ниже.

См. Также:

Если не указано иное, буквы X, Y, Z ниже обозначают метрические пространства, M, N обозначают римановы многообразия, | xy | или $| х у | X {\ displaystyle | xy | _ {X}}$ $|xy|_{X}$ обозначает расстояние между точками x и y в X. Курсивное слово обозначает ссылку на сам глоссарий.

Предостережение: многие термины в римановой и метрической геометрии, такие как выпуклая функция, выпуклое множество и другие, не имеют в точности того же значения, что и в общем математическом использовании.

Содержание:

Top
0–9
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z

Пространство Александрова обобщение римановых многообразий с верхними, нижними или целыми границами кривизны (последнее работает только в размерности 2)

Почти плоский коллектор

Изометрия по дуге такая же, как изометрия по траектории.

Автопараллельный то же, что и полностью геодезический

Центр масс, см. Центр масс.

билипшицево отображение. отображение $f: X → Y {\ displaystyle f: X \ to Y}$ $f : От X \ до Y$ называется билипшицевым, если есть положительные константы c и C такой, что для любых x и y из X

c | х у | X ≤ | f (x) f (y) | Y ≤ C | х у | X {\ displaystyle c | xy | _ {X} \ leq | f (x) f (y) | _ {Y} \ leq C | xy | _ {X}}

c | xy | _ {X} \ Leq | е (х) е (у) | _ {Y} \ leq C | ху | _ {X}

функция Буземана для луча, γ: [0, ∞) → X, функция Буземана определяется как

B γ (p) = lim t → ∞ (| γ (t) - p | - t) {\ displaystyle B _ {\ gamma} (p) = \ lim _ {t \ to \ infty} (| \ gamma (t) -p | -t)}

B _ {\ gamma} (p) = \ lim _ {t \ to \ infty} (| \ gamma (t) -p | -t)

теорема Картана – Адамара - это утверждение, что связное односвязное полное риманово многообразие с неположительной секционной кривизной диффеоморфно R через экспоненциальное отображение; для метрических пространств утверждение, что связное односвязное полное геодезическое метрическое пространство с неположительной кривизной в смысле Александрова является (глобально) CAT (0) пространством.

Картаном расширенным От общей теории относительности до теории Эйнштейна – Картана с использованием геометрии Римана-Картана вместо геометрии Римана. Это расширение обеспечивает аффинное кручение, которое допускает несимметричные тензоры кривизны и включение спин-орбитальной связи.

Центр масс . Точка q ∈ M называется центром масс точек $p 1, p 2,…, pk {\ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, \ dots, p_ {k}}$ $p_ {1}, p_ {2}, \ dots, p_ {k}$ , если это точка глобального минимума функции

f (x) = ∑ i | п я х | 2 {\ displaystyle f (x) = \ sum _ {i} | p_ {i} x | ^ {2}}

f (x) = \ sum _ {i} | p_ {i} x | ^ {2}

Такая точка уникальна, если все расстояния $| п я п j | {\ displaystyle | p_ {i} p_ {j} |}$ $|p_{i}p_{j}|$ меньше радиуса выпуклости.

Символ Кристоффеля

Свертывающееся многообразие

Полное пространство

Завершение

Конформная карта - это карта, сохраняющая углы.

Конформно плоский M является конформно плоским, если он локально конформно эквивалентен евклидову пространству, например, стандартная сфера конформно плоская.

Сопряженные точки две точки p и q на геодезической $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ называются сопряженными, если существует поле Якоби. на $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ , который имеет ноль в точках p и q.

Выпуклая функция. Функция f на римановом многообразии является выпуклой, если для любой геодезической $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ функция $f ∘ γ {\ displaystyle f \ circ \ gamma}$ $f \ circ \ gamma$ - выпуклый. Функция f называется $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ -convex, если для любой геодезической $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ с естественным параметром $t {\ displaystyle t}$ $t$ , функция $f ∘ γ (t) - λ t 2 {\ displaystyle f \ circ \ gamma (t) - \ lambda t ^ {2}}$ $f \ circ \ gamma (t) - \ lambda t ^ {2}$ is convex.

Convex Подмножество K риманова многообразия M называется выпуклым, если для любых двух точек в K существует кратчайший путь, соединяющий их, который целиком лежит в K, см. также полностью выпуклый.

Котангенсное расслоение

Ковариантная производная

Разрезанное геометрическое место

Диаметр метрического пространства - это верхняя грань расстояний между парами точек.

Разворачивающаяся поверхность - это поверхность , изометричная плоскости.

Расширение отображения между метрическими пространствами - это точная нижняя грань чисел L, такая что данное отображение является L- липшицевым.

экспоненциальным отображением : экспоненциальным отображением (теория Ли), Экспоненциальное отображение (риманова геометрия)

метрика Финслера

Первая фундаментальная форма для встраивания или погружения - это откат метрический тензор.

Геодезический - это кривая, которая локально минимизирует расстояние.

Геодезический поток является потоком на касательном расслоении TM многообразия M, порожденном векторным полем, траектории которого имеют вид $(γ (t), γ ′ (t)) {\ displaystyle (\ gamma (t), \ gamma '(t))}$ $(\gamma (t),\gamma '(t))$ где $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ - это геодезическая.

сходимость Громова-Хаусдорфа

Геодезическое метрическое пространство - это метрическое пространство, в котором любые две точки являются конечными точками минимизирующей геодезической.

пространства Адамара - полного односвязного пространство с неположительной cur vature.

Горосфера набор уровней функции Буземана.

Радиус инъективности Радиус инъективности в точке p риманова многообразия - это наибольший радиус, для которого экспоненциальное отображение в p является диффеоморфизмом. Радиус инъективности риманова многообразия - это нижняя грань радиусов инъективности во всех точках. См. Также cut locus.

Для полных многообразий, если радиус инъективности в p является конечным числом r, то либо существует геодезическая длиной 2r, которая начинается и заканчивается в p, либо существует точка q, сопряженная с p (см. сопряженную точку выше) и на расстоянии r от p. Для замкнутого риманова многообразия радиус инъективности равен либо половине минимальной длины замкнутой геодезической, либо минимальному расстоянию между сопряженными точками на геодезической.

Инфранилмногообразие Для односвязной нильпотентной группы Ли N, действующей на себя левым умножением, и конечной группы автоморфизмов F группы N можно определить действие полупрямого произведения $N ⋊ F {\ displaystyle N \ rtimes F}$ $N \ rtimes F$ на N. Пространство орбит N посредством дискретной подгруппы $N ⋊ F {\ displaystyle N \ rtimes F}$ $N \ rtimes F$ , которая действует свободно на N называется инфранилмногообразием. Инфранилмногообразие конечно покрывается нильмногообразием.

Изометрия - это карта с сохранением расстояний.

Внутренняя метрика

Поле Якоби Поле Якоби - это векторное поле на геодезической γ, которое можно получить следующим образом: Возьмем сглаживание однопараметрического семейства геодезических $γ τ {\ displaystyle \ gamma _ {\ tau}}$ $\ gamma _ {\ tau}$ с $γ 0 = γ {\ displaystyle \ gamma _ {0} = \ gamma}$ $\ gamma _ {0} = \ gamma$ , то поле Якоби описывается формулой

J (t) = ∂ γ τ (t) ∂ τ | τ = 0. {\ displaystyle J (t) = \ left. {\ frac {\ partial \ gamma _ {\ tau} (t)} {\ partial \ tau}} \ right | _ {\ tau = 0}.}

{ \ Displaystyle J (t) = \ left. {\ frac {\ partial \ gamma _ {\ tau} (t)} {\ partial \ tau}} \ right | _ {\ tau = 0}.}

Кривая Жордана

[[Векторное поле Киллинга] ]

Метрика длины такая же, как внутренняя метрика.

Связность Леви-Чивита - это естественный способ дифференцировать векторные поля на римановых многообразиях.

Липшицева сходимость сходимость, определяемая липшицевой метрикой.

Липшицево расстояние между метрическими пространствами - это нижняя грань чисел r, такая что существует биективное билипшицево отображение между этими пространствами с константами exp (-r), exp (r).

Липшицево отображение

Логарифмическое отображение является правым обратным экспоненциальному отображению.

Средняя кривизна

Метрический шар

Метрический тензор

Минимальная поверхность - это подмногообразие с нулевой средней кривизной (вектором).

Естественная параметризация - параметризация по длине.

Сеть . Подмножество S метрического пространства X называется $ϵ {\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ -net, если для любой точки в X существует точка в S на расстоянии $≤ ϵ { \ Displaystyle \ Leq \ epsilon}$ $\ leq \ epsilon$ . Это отличается от топологических сетей, которые обобщают пределы.

Нильмногообразие : элемент минимального набора многообразий, который включает точку и обладает следующим свойством: любой ориентированный $S 1 {\ displaystyle S ^ {1}}$ $S^{1}$ -расслоение над нильмногообразием является нильмногообразием. Его также можно определить как фактор связной нильпотентной группы Ли с помощью решетки.

Нормальное расслоение : связанный с вложением многообразия M в окружающее евклидово пространство $RN {\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {N}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {N}$ , нормальное расслоение - это векторное расслоение, слой которого в каждой точке p является ортогональным дополнением (в $RN {\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {N}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {N}$ ) касательного пространства $T p M {\ displaystyle T_ {p} M}$ $T_{p}M$ .

нерасширяющаяся карта то же, что и короткое отображение

Параллельный перенос

Многогранное пространство a симплициальный комплекс с такой метрикой, что каждый симплекс с индуцированной метрикой изометричен симплексу в евклидовом пространстве.

Основная кривизна - максимальная и минимальная нормальная кривизна в точке на поверхности.

Главное направление - это направление главных изгибов.

Изометрия пути

Собственное метрическое пространство - это метрическое пространство, в котором каждый замкнутый шар является компактным. Эквивалентно, если каждое замкнутое ограниченное подмножество компактно. Каждое собственное метрическое пространство полно.

Квазигеодезическое имеет два значения; здесь мы приводим самые распространенные. Карта $f: I → Y {\ displaystyle f: I \ to Y}$ ${\ displaystyle f: I \ to Y}$ (где $I ⊆ R {\ displaystyle I \ substeq \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle I \ substeq \ mathbb {R}}$ является подотрезком) называется квазигеодезическим, если есть константы $K ≥ 1 {\ displaystyle K \ geq 1}$ $K \ geq 1$ и $C ≥ 0 {\ displaystyle C \ geq 0}$ $C \ geq 0$ такое, что для каждого $x, y ∈ I {\ displaystyle x, y \ in I}$ ${\ displaystyle x, y \ in I}$

1 K d (x, y) - C ≤ d (f (x), f ( y)) ≤ K d (x, y) + C. {\ displaystyle {1 \ over K} d (x, y) -C \ leq d (f (x), f (y)) \ leq Kd (x, y) + C.}

{1 \ over K} d (x, y) -C \ leq d (f (x), f (y)) \ leq Kd ( x, y) + C.

Обратите внимание, что квазигеодезический не обязательно является непрерывной кривой.

Квазиизометрия. Карта $f: X → Y {\ displaystyle f: X \ to Y}$ $f : От X \ до Y$ называется квазиизометрией, если есть константы $К ≥ 1 {\ displaystyle K \ geq 1}$ $K \ geq 1$ и $C ≥ 0 {\ displaystyle C \ geq 0}$ $C \ geq 0$ такие, что

1 K d (x, y) - C ≤ d (f (x), f (y)) ≤ K d (x, y) + C. {\ displaystyle {1 \ over K} d (x, y) -C \ leq d (f (x), f (y)) \ leq Kd (x, y) + C.}

{1 \ over K} d (x, y) -C \ leq d (f (x), f (y)) \ leq Kd ( x, y) + C.

и каждая точка в Y находится на расстоянии не более C от некоторой точки f (X). Обратите внимание, что квазиизометрия не считается непрерывной. Например, любое отображение компактных метрических пространств является квазиизометрией. Если существует квазиизометрия от X до Y, то X и Y называются квазиизометричными .

Радиус метрического пространства - это нижняя грань радиусов метрических шаров, которые полностью содержат пространство.

Радиус выпуклости в точке p риманова многообразия - это наибольший радиус шара, который является выпуклым подмножеством.

Луч - это односторонняя бесконечная геодезическая, которая минимизирует на каждом интервале

тензор кривизны Римана

Риманово многообразие

Риманова субмерсия - это отображение между римановыми многообразиями, которое погружение и субметрия одновременно.

Вторая фундаментальная форма - это квадратичная форма на касательном пространстве гиперповерхности, обычно обозначаемая II, эквивалентный способ описания оператора формы гиперповерхности,

II (v, w) = ⟨S (v), вес⟩ {\ displaystyle {\ text {II}} (v, w) = \ langle S (v), w \ rangle}

{\ текст {II}} (v, w) = \ langle S (v), w \ rangle

Его также можно обобщить на произвольную коразмерность, и в этом случае это квадратичная форма со значениями в нормальном пространстве.

Оператор формы для гиперповерхности M является линейным оператором на касательных пространствах, S p : T p M → T p M. Если n - единичное нормальное поле к M, а v - касательный вектор, то

S (v) = ± ∇ vn {\ displaystyle S (v) = \ pm \ nabla _ {v} n}

S (v) = \ pm \ nabla _ {v} n

(там нет стандартного соглашения о том, использовать ли + или - в определении).

Краткая карта - это карта без увеличения расстояния.

Гладкое многообразие

Многообразие Сол является фактором связанной разрешимой группы Ли посредством решетки.

Субметрии краткого отображения f между метрикой пробелы называют субметрией, если существует R>0 такое, что для любой точки x и радиуса r < R we have that image of metric r-ball is an r-ball, i.e.

f (B r (x)) = B r (f (x)) {\ displaystyle f (B_ {r} ( x)) = B_ {r} (f (x))}

{\ displaystyle f (B_ {r} (x)) = B_ {r} (е (x))}

Субриманово многообразие

Систола. K-систола M, $s y s t k (M) {\ displaystyle syst_ {k} (M)}$ $syst_ {k} (M)$ , является минимальным объемом k-цикла, негомологичным нулю.

Касательное расслоение

Совершенно выпуклое. Подмножество K риманова многообразия M называется вполне выпуклым, если для любых двух точек из K любая соединяющая их геодезическая целиком лежит в K, см. Также выпуклое.

Полностью геодезическое подмногообразие - это такое подмногообразие, что все геодезические в подмногообразии также являются геодезическими окружающего многообразия.

Однозначно геодезическое метрическое пространство - это метрическое пространство, в котором любые две точки являются конечными точками уникальной минимизирующей геодезической.

Словарной метрики на группе, которая является метрикой Граф Кэли, построенный с использованием набора генераторов.