Первая основная форма

редактировать

Внутреннее произведение поверхности в 3D, вызванное скалярным произведением

В дифференциальной геометрии первый фундаментальный форма - это внутренний продукт на касательном пространстве поверхности поверхности в трехмерном евклидовом пространстве, которое индуцировано канонически из скалярного произведения из R . Он позволяет вычислять кривизну и метрические свойства поверхности, такие как длина и площадь, в соответствии с окружающим пространством. Первая основная форма обозначается римской цифрой I,

I (x, y) = ⟨x, y⟩. {\ displaystyle \ mathrm {I} (x, y) = \ langle x, y \ rangle.}

{\ displaystyle \ mathrm {I} (x, y) = \ langle x, y \ rangle.}

Пусть X (u, v) будет параметрической поверхностью. Тогда скалярное произведение двух касательных векторов равно

I (a X u + b X v, c X u + d X v) = ac ⟨X u, X u⟩ + (ad + bc) ⟨Икс U, Икс v⟩ + ш.д. ⟨Икс v, Икс v⟩ = E ac + F (ad + bc) + G bd, {\ displaystyle {\ begin {align} {} \ quad \ mathrm {I} (aX_ {u} + bX_ {v}, cX_ {u} + dX_ {v}) \\ = ac \ langle X_ {u}, X_ {u} \ rangle + (ad + bc) \ langle X_ {u }, X_ {v} \ rangle + bd \ langle X_ {v}, X_ {v} \ rangle \\ = Eac + F (ad + bc) + Gbd, \ end {align}}}

{\ begin {align} {} \ quad {\ mathrm {I}} (aX_ {u} + bX_ {v}, cX_ {u} + dX_ {v}) \\ = ac \ langle X_ {u }, X_ {u} \ rangle + (ad + bc) \ langle X_ {u}, X_ {v} \ rangle + bd \ langle X_ {v}, X_ {v} \ rangle \\ = Eac + F ( ad + bc) + Gbd, \ конец {выровненный}}

где E, F и G - коэффициенты первой фундаментальной формы .

Первая фундаментальная форма может быть представлена в виде симметричной матрицы.

I (x, y) = x T (EFFG) y { \ displaystyle \ mathrm {I} (x, y) = x ^ {\ mathsf {T}} {\ begin {pmatrix} EF \\ FG \ end {pmatrix}} y}

{\ displaystyle \ mathrm {I} (x, y) = x ^ {\ mathsf {T}} {\ begin {pmatrix} EF \\ FG \ end {pmatrix}} y}

Содержание

1 Дополнительные обозначения
2 Расчет длин и площадей
- 2.1 Пример
  - 2.1.1 Длина кривой на сфере
  - 2.1.2 Площадь области на сфере
3 Гауссова кривизна
4 См. также
5 Внешние ссылки

Дальнейшие обозначения

Когда записана первая основная форма десять с одним аргументом, он обозначает внутренний продукт этого вектора с самим собой.

I (v) = ⟨v, v⟩ = | v | 2 {\ displaystyle \ mathrm {I} (v) = \ langle v, v \ rangle = | v | ^ {2}}

{\ displaystyle \ mathrm {I} (v) = \ langle v, v \ rangle = | v | ^ {2}}

Первая фундаментальная форма часто записывается в современных обозначениях метрического тензора . Тогда коэффициенты можно записать как g ij:

(gij) = (g 11 g 12 g 21 g 22) = (EFFG) {\ displaystyle \ left (g_ {ij} \ right) = {\ begin {pmatrix} g_ {11} g_ {12} \\ g_ {21} g_ {22} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} EF \\ FG \ end {pmatrix}}}

\ left (g _ {{ij}} \ right) = {\ begin {pmatrix} g _ {{11}} g _ {{12}} \\ g _ {{21}} g _ {{22}} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} EF \\ FG \ end {pmatrix}}

Компоненты этого тензора вычисляется как скалярное произведение касательных векторов X 1 и X 2:

gij = X i ⋅ X j {\ displaystyle g_ {ij} = X_ {i} \ cdot X_ {j}}

g _ {{ij}} = X_ {i} \ cdot X_ {j}

для i, j = 1, 2. См. пример ниже.

Расчет длин и площадей

Первая фундаментальная форма полностью описывает метрические свойства поверхности. Таким образом, он позволяет рассчитывать длины кривых на поверхности и площади участков на поверхности. Элемент строки ds может быть выражен через коэффициенты первой основной формы как

d s 2 = E d u 2 + 2 F d u d v + G d v 2. {\ displaystyle ds ^ {2} = E \, du ^ {2} + 2F \, du \, dv + G \, dv ^ {2} \,.}

{\ displaystyle ds ^ {2} = E \, du ^ {2} + 2F \, du \, dv + G \, dv ^ {2} \,.}

Классический элемент площади, задаваемый dA = | X u × X v | du dv может быть выражен в терминах первой фундаментальной формы с помощью тождества Лагранжа,

d A = | X u × X v | d u d v знак равно ⟨X u, X u⟩ ⟨X v, X v⟩ - X u, X v⟩ 2 d u d v = E G - F 2 d u d v. {\ displaystyle dA = | X_ {u} \ times X_ {v} | \ du \, dv = {\ sqrt {\ langle X_ {u}, X_ {u} \ rangle \ langle X_ {v}, X_ {v} } \ rangle - \ left \ langle X_ {u}, X_ {v} \ right \ rangle ^ {2}}} \, du \, dv = {\ sqrt {EG-F ^ {2}}} \, du \, dv.}

{\ displaystyle dA = | X_ {u} \ times X_ {v} | \ du \, dv = {\ sqrt {\ langle X_ {u}, X_ {u} \ rangle \ langle X_ {v}, X_ {v} \ rangle - \ left \ la ngle X_ {u}, X_ {v} \ right \ rangle ^ {2}}} \, du \, dv = {\ sqrt {EG-F ^ {2}}} \, du \, dv.}

Пример

Единица сфера в R может быть параметризована как

X (u, v) = (cos ⁡ u sin ⁡ v sin ⁡ u sin ⁡ v cos ⁡ v), (u, v) ∈ [0, 2 π) × [0, π]. {\ Displaystyle X (u, v) = {\ begin {pmatrix} \ cos u \ sin v \\\ sin u \ sin v \\\ cos v \ end {pmatrix}}, \ (u, v) \ in [0,2 \ pi) \ times [0, \ pi].}

X (u, v) = {\ begin {pmatrix} \ cos u \ sin v \\\ sin u \ sin v \\\ cos v \ end {pmatrix}}, \ (u, v) \ in [0,2 \ pi) \ times [0, \ pi].

Дифференцируя X (u, v) по u и v, получаем

X u = (- sin ⁡ u sin ⁡ v cos ⁡ u sin ⁡ v 0), X v = (cos ⁡ u cos ⁡ v sin ⁡ u cos ⁡ v - sin ⁡ v). {\ displaystyle {\ begin {align} X_ {u} = {\ begin {pmatrix} - \ sin u \ sin v \\\ cos u \ sin v \\ 0 \ end {pmatrix}}, \\ X_ { v} = {\ begin {pmatrix} \ cos u \ cos v \\\ sin u \ cos v \\ - \ sin v \ end {pmatrix}}. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} X_ {u} = {\ begin {pmatrix} - \ sin u \ sin v \\\ cos u \ sin v \\ 0 \ end {pmatrix}}, \\ X_ {v} = {\ begin {pmatrix} \ cos u \ cos v \\\ sin u \ cos v \\ - \ sin v \ end { pmatrix}}. \ конец {выравнивается}}}

Коэффициенты первая фундаментальная форма может быть найдена путем скалярного произведения частных производных.

E = X u ⋅ X u = sin 2 ⁡ v F = X u ⋅ X v = 0 G = X v ⋅ X v = 1 {\ displaystyle {\ begin {выровнено} E = X_ {u} \ cdot X_ {u} = \ sin ^ {2} v \\ F = X_ {u} \ cdot X_ {v} = 0 \\ G = X_ {v} \ cdot X_ {v} = 1 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} E = X_ {u} \ cdot X_ { u} = \ sin ^ {2} v \\ F = X_ {u} \ cdot X_ {v} = 0 \\ G = X_ {v} \ cdot X_ {v} = 1 \ end {align}}}

итак:

(EFFG) = (sin 2 ⁡ v 0 0 1) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} EF \\ FG \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ sin ^ {2} v 0 \\ 0 1 \ end {pmatrix}}}

\ begin {pmatrix} E F \\ F G \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ sin ^ 2 v 0 \\ 0 1 \ end {pmatrix}

Длина кривой на сфере

экватор сферы - это параметризованная кривая, заданная формулой

(u (t), v (t)) = (t, π 2) {\ displaystyle (u (t), v (t))) = (t, {\ tfrac {\ pi} {2}})}

(u(t),v(t))=(t,\tfrac{\pi}{2})

с t в диапазоне от 0 до 2π. Элемент линии может использоваться для вычисления длины этой кривой.

∫ 0 2 π E (d u d t) 2 + 2 F d u d t d v d t + G (d v d t) 2 d t = ∫ 0 2 π | грех ⁡ v | dt знак равно 2 π грех ⁡ π 2 = 2 π {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ sqrt {E \ left ({\ frac {du} {dt}} \ right) ^ {2 } + 2F {\ frac {du} {dt}} {\ frac {dv} {dt}} + G \ left ({\ frac {dv} {dt}} \ right) ^ {2}}} \, dt = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} | \ sin v | \, dt = 2 \ pi \ sin {\ tfrac {\ pi} {2}} = 2 \ pi}

\ int_0 ^ {2 \ pi} \ sqrt {E \ left (\ frac {du} {dt} \ right) ^ 2 + 2F \ frac {du} {dt} \ frac {dv} {dt} + G \ left (\ frac {dv} {dt} \ right) ^ 2} \, dt = \ int_0 ^ {2 \ pi} | \ sin v | \, dt = 2 \ pi \ sin \ tfrac {\ pi} {2} = 2 \ pi

Площадь области на сфере

Элемент площади может использоваться для вычисления площади сферы.

∫ 0 π ∫ 0 2 π EG - F 2 dudv = ∫ 0 π ∫ 0 2 π sin ⁡ vdudv = 2 π [- cos ⁡ v] 0 π = 4 π {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ sqrt {EG-F ^ {2}}} \ du \, dv = \ int _ {0} ^ {\ pi} \ int _ { 0} ^ {2 \ pi} \ sin v \, du \, dv = 2 \ pi \ left [- \ cos v \ right] _ {0} ^ {\ pi} = 4 \ pi}

\ int _ {0} ^ {{\ pi}} \ int _ {0} ^ {{2 \ pi}} {\ sqrt {EG-F ^ {2}}} \ du \, dv = \ int _ { 0} ^ {{\ pi}} \ int _ {0} ^ {{2 \ pi}} \ sin v \, du \, dv = 2 \ pi \ left [- \ cos v \ right] _ {0} ^ {{\ pi}} = 4 \ pi

Гауссова кривизна

Гауссова кривизна поверхности определяется как

K = det II det I = LN - M 2 EG - F 2, {\ displaystyle K = {\ frac {\ det \ mathrm {I \! I}} {\ det \ mathrm {I}}} = {\ frac {LN-M ^ {2}} {EG-F ^ {2}}},}

K = {\ frac {\ det {\ mathrm {I \! I}}} {\ det {\ mathrm { I}}}} = {\ frac {LN-M ^ {2}} {EG-F ^ {2}}},

где L, M и N - коэффициенты второй фундаментальной формы..

Теорема egregium из Гаусса утверждает, что гауссова кривизна поверхности может быть выражена только через первую фундаментальную форму. формы и ее производных, так что K фактически является внутренним инвариантом поверхности. Явное выражение гауссовой кривизны в терминах первой фундаментальной формы дается с помощью формулы Бриоши.

См. Также

Внешние ссылки

Первая фундаментальная форма - из Wolfram MathWorld