Войти
Следствием теоремы Egregium является то, что Земля не может быть отображена на карте без искажений. Проекция Меркатора, показанная здесь, сохраняет углы, но не сохраняет площадь. Теорема Гаусса Egregium (лат. «Замечательная теорема») является важной результат дифференциальной геометрии (доказанный Карлом Фридрихом Гауссом в 1827 году), который касается кривизны поверхностей. Теорема состоит в том, что гауссова кривизна может быть полностью определена путем измерения углов, расстояний и их скорости на поверхности, без ссылки на конкретный способ, которым поверхность встроена в окружающую среду 3 -мерное евклидово пространство. Другими словами, гауссова кривизна поверхности поверхности не изменяется, если поверхность изгибается, не растягивая ее. Таким образом, гауссова кривизна является внутренним инвариантом поверхности.
Гаусс изложил теорему следующим образом (в переводе с латыни):
Теорема «замечательна», потому что исходное определение гауссовой кривизны напрямую использует положение поверхности в пространстве. Поэтому довольно удивительно, что результат не зависит от его заделки, несмотря на все деформации изгиба и скручивания.
В современной математической терминологии эту теорему можно сформулировать следующим образом:
Гауссова кривизна поверхности инвариантна относительно локальной изометрии.
Анимация, показывающая деформацию геликоида в катеноид. Деформация осуществляется изгибом без растяжения. Во время процесса гауссова кривизна поверхности в каждой точке остается постоянной. A сфера радиуса R имеет постоянную гауссову кривизну, равную 1 / R. В то же время плоскость имеет нулевую гауссову кривизну. Как следствие из теоремы Egregium, лист бумаги нельзя согнуть на сфере, не смяв. И наоборот, поверхность шара не может быть развернута на плоскую плоскость без искажения расстояний. Если наступить на пустую яичную скорлупу, ее края должны расколоться при расширении, прежде чем они станут плоскими. Математически сфера и плоскость не являются изометричными даже локально. Этот факт имеет огромное значение для картографии : он подразумевает, что никакая планарная (плоская) карта Земли не может быть идеальной даже для части земной поверхности. Таким образом, каждая картографическая проекция обязательно искажает по крайней мере некоторые расстояния.
катеноид и геликоид - это две очень разные по виду поверхности. Тем не менее, каждый из них можно непрерывно загибать в другой: они локально изометричны. Из теоремы Egregium следует, что при таком изгибе гауссова кривизна в любых двух соответствующих точках катеноида и геликоида всегда одинакова. Таким образом, изометрия - это просто изгибание и скручивание поверхности без внутреннего смятия или разрыва, другими словами без дополнительного растяжения, сжатия или сдвига.
Применение теоремы эгрегия наблюдается, когда плоский объект несколько сгибается или изгибается вдоль линии, создавая жесткость в перпендикулярном направлении. Это имеет практическое применение в строительстве, а также в обычной стратегии поедания пиццы : плоский кусок пиццы можно рассматривать как поверхность с постоянной гауссовой кривизной 0. Затем осторожно сгибая ломтик, необходимо примерно выдержать его. эта кривизна (при условии, что изгиб является примерно локальной изометрией). Если срез изгибается горизонтально по радиусу, ненулевые основные кривизны создаются вдоль изгиба, что означает, что другая основная кривизна в этих точках должна быть равна нулю. Это создает жесткость в направлении, перпендикулярном складке, что является желательным атрибутом при поедании пиццы, поскольку она сохраняет свою форму достаточно долго, чтобы ее можно было съесть без беспорядка. Этот же принцип используется для упрочнения гофрированных материалов, наиболее известных гофрированного картона и гофрированного гальванизированного железа, а также в некоторых формах картофельных чипсов.
