Теорема Картана – Адамара

В математике Картан– Теорема Адамара - это утверждение из римановой геометрии, касающееся структуры полных римановых многообразий неположительной секционной кривизны. Теорема утверждает, что универсальное покрытие такого многообразия диффеоморфно евклидову пространству через экспоненциальное отображение в любой точке. Впервые это было доказано Гансом Карлом Фридрихом фон Мангольдтом для поверхностей в 1881 году и независимо Жаком Адамаром в 1898 году. Эли Картан обобщил теорема о римановых многообразиях в 1928 г. (Helgason 1978 ; do Carmo 1992 ; Kobayashi Nomizu 1969). Теорема была далее обобщена на широкий класс метрических пространств Михаилом Громовым в 1987 г.; подробные доказательства были опубликованы Ballmann (1990) harvtxt error: no target: CITEREFBallmann1990 (help ) для метрических пространств неположительной кривизны и Alexander Bishop (1990) для общих локально выпуклых метрических пространств.

• 1 Риманова геометрия
• 2 Метрическая геометрия
  • 2.1 Обобщение на локально выпуклые пространства
• 3 Значение
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Теорема Картана – Адамара в традиционной римановой геометрии утверждает, что универсальное накрывающее пространство связного полного риманова многообразия не- положительная кривизна сечения диффеоморфна R . Фактически, для полных многообразий неположительной кривизны экспоненциальное отображение, базирующееся в любой точке многообразия, является покрывающим отображением.

Теорема верна также для гильбертовых многообразий в том смысле, что экспоненциальное отображение неположительно искривленного геодезически полного связного многообразия является накрывающим (McAlpin 1965 ; Lang 1991, IX, §3 harvnb error: no target: CITEREFLang1991 (help )). Полнота здесь понимается в том смысле, что экспоненциальное отображение определено на всем касательном пространстве точки.

В метрической геометрии теорема Картана – Адамара - это утверждение, что универсальное покрытие связного неположительно искривленного полного метрическое пространство X - это пространство Адамара. В частности, если X односвязно, то это геодезическое пространство в том смысле, что любые две точки соединены единственной минимизирующей геодезической и, следовательно, стягиваемым.

Метрическое пространство X называется быть неположительно искривленной, если каждая точка p имеет окрестность U, в которой любые две точки соединены геодезической, а для любой точки z в U и геодезической γ постоянной скорости в U

$d\; (z,\; \gamma \; (1/2))\; 2\; \le \; 1\; 2\; d\; (z,\; \gamma \; (0))\; 2\; +\; 1\; 2\; d\; (z,\; \gamma \; (1))\; 2\; -\; 1\; 4\; d\; (\gamma \; (0),\; \gamma \; (1))\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (z,\; \backslash \; gamma\; (1/2))\; ^\; \{2\}\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; d\; (z,\; \backslash \; gamma\; (0))\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{2\}\}\; d\; (z,\; \backslash \; gamma\; (1))\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; d\; (\backslash \; gamma\; (0),\; \backslash \; gamma\; (1))\; ^\; \{2\}.\; \}$

Это неравенство полезно рассматривать в терминах геодезического треугольника Δ = zγ (0) γ (1). Левая часть - это квадратное расстояние от вершины z до середины противоположной стороны. Правая часть представляет собой квадратное расстояние от вершины до середины противоположной стороны в евклидовом треугольнике, имеющем такую ​​же длину стороны, что и Δ. Это условие, называемое условием CAT (0), является абстрактной формой теоремы сравнения треугольников Топоногова.

Обобщение на локально выпуклые пространства

Предположение о неположительной кривизне может быть ослабленным (Alexander Bishop 1990), хотя и с соответственно более слабым заключением. Назовем метрическое пространство X выпуклым, если для любых двух геодезических, минимизирующих постоянную скорость, a (t) и b (t) функция

$t\; \mapsto \; d\; (a\; (t),\; b\; (t))\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; mapsto\; d\; (a\; (t),\; b\; (t))\}$

- это выпуклая функция от t. Тогда метрическое пространство является локально выпуклым, если каждая точка имеет выпуклую в этом смысле окрестность. Теорема Картана – Адамара для локально выпуклых пространств утверждает:

• Если X - локально выпуклое полное связное метрическое пространство, то универсальное покрытие X является выпуклым геодезическим пространством по отношению к метрике индуцированной длины d.

In В частности, универсальное покрытие такого пространства стягиваемо. Выпуклость функции расстояния вдоль пары геодезических является хорошо известным следствием неположительной кривизны метрического пространства, но не эквивалентна (Ballmann 1990) harv error: no target: CITEREFBallmann1990 ( справка ).

Теорема Картана – Адамара дает пример локального и глобального соответствия в римановой и метрической геометрии: а именно, локальное условие (неположительная кривизна) и глобальное условие (простая связность) вместе подразумевают сильное глобальное свойство (стягиваемость); или в римановом случае диффеоморфизм с R.

. Метрическая форма теоремы демонстрирует, что неположительно искривленный многогранный клеточный комплекс асферический. Этот факт имеет решающее значение для современной геометрической теории групп.

• Глоссарий римановой и метрической геометрии
• Многообразие Картана – Адамара
• Гипотеза Картана – Адамара