Теория Эйнштейна – Картана

редактировать

классическая теория гравитации

В теоретической физике, Эйнштейн –Теория Картана, также известная как теория Эйнштейна – Картана – Скиамы – Киббла, представляет собой классическую теорию гравитации, аналогичную общей теории относительности. Теория была впервые предложена Эли Картаном в 1922 году. Теория Эйнштейна – Картана является самой простой.

Содержание

1 Обзор
2 История
3 Полевые уравнения
4 Избегание сингулярностей
5 См. также
6 Ссылки
7 Дополнительная литература

Обзор

Теория Эйнштейна – Картана отличается от общей теории относительности двумя способами: (1) она сформулирована в рамках геометрии Римана – Картана, которая обладает локально калиброванной симметрией Лоренца, в то время как общая теория относительности сформулирована в рамках римановой геометрии, чего нет; (2) формулируется дополнительная система уравнений, связывающих кручение со спином. Это различие может быть учтено в

общей теории относительности (Эйнштейн – Гильберт) → общей теории относительности (Палатини) → Эйнштейна – Картана

, сначала переформулировав общую теорию относительности на геометрию Римана – Картана, заменив Эйнштейна - действие Гильберта над римановой геометрией действием Палатини над геометрией Римана – Картана; и, во-вторых, устранение ограничения нулевого кручения из действия Палатини, что приводит к дополнительной системе уравнений для спина и кручения, а также к добавлению дополнительных членов, связанных со спином, в сами уравнения поля Эйнштейна.

Общая теория относительности была первоначально сформулирована в контексте римановой геометрии с помощью действия Эйнштейна – Гильберта, из которого возникают уравнения поля Эйнштейна.. Во время его первоначальной формулировки не существовало концепции геометрии Римана – Картана. Не было также достаточного понимания концепции калибровочной симметрии, чтобы понять, что римановы геометрии не обладают необходимой структурой для воплощения локально калиброванной симметрии Лоренца, например, которая должна быть может выражать уравнения неразрывности и законы сохранения для вращательной и буст-симметрии или описывать спиноры в изогнутых геометриях пространства-времени. Результатом добавления этой инфраструктуры является геометрия Римана – Картана. В частности, для описания спиноров требуется включение спиновой структуры , которой достаточно для создания такой геометрии.

Основное различие между геометрией Римана – Картана и римановой геометрией состоит в том, что в первой аффинная связность не зависит от метрики, а во второй она выводится из метрики как связь Леви-Чивита, разница между ними называется искривлением. В частности, антисимметричная часть связи (называемая кручением ) равна нулю для связок Леви-Чивита как одно из определяющих условий для таких связей.

Поскольку искривление может быть выражено линейно через кручение, то также можно напрямую перевести действие Эйнштейна – Гильберта в геометрию Римана – Картана, в результате чего будет действие Палатини (см. также вариант Палатини ). Он выводится путем переписывания действия Эйнштейна – Гильберта в терминах аффинной связности и затем отдельного установления ограничения, которое заставляет и кручение, и скручивание равняться нулю, что, таким образом, заставляет аффинную связь равняться связности Леви-Чивиты. Поскольку это прямой перевод уравнений действия и поля общей теории относительности, выраженный в терминах связи Леви-Чивиты, ее можно рассматривать как саму общую теорию относительности, перенесенную в рамки геометрии Римана-Картана.

Теория Эйнштейна – Картана ослабляет это условие и, соответственно, ослабляет предположение общей теории относительности о том, что аффинная связность имеет исчезающую антисимметричную часть (тензор кручения ). Используемое действие такое же, как действие Палатини, за исключением того, что ограничение на кручение снимается. Это приводит к двум отличиям от общей теории относительности: (1) уравнения поля теперь выражаются в терминах аффинной связи, а не в терминах связи Леви-Чивиты, и поэтому имеют дополнительные члены в уравнениях поля Эйнштейна, включающие искривление, которых нет в уравнения поля, полученные из формулировки Палатини; (2) теперь присутствует дополнительная система уравнений, которые связывают кручение с собственным угловым моментом (спин ) материи, почти так же, как аффинная связь связана с энергией и импульсом иметь значение. В теории Эйнштейна – Картана кручение теперь является переменной в принципе стационарного действия, который связан с криволинейной пространственно-временной формулировкой спина (тензор спина ). Эти дополнительные уравнения выражают кручение линейно через тензор спина, связанный с источником материи, из чего следует, что кручение обычно не равно нулю внутри материи.

Следствием линейности является то, что вне материи существует нулевое кручение, так что внешняя геометрия остается такой же, как и то, что было бы описано в общей теории относительности. Различия между теорией Эйнштейна – Картана и общей теорией относительности (сформулированной в терминах действия Эйнштейна – Гильберта в римановой геометрии или действия Палатини в геометрии Римана – Картана) основываются исключительно на том, что происходит с геометрией внутри источников материи. То есть: «кручение не распространяется». Были рассмотрены обобщения действия Эйнштейна – Картана, которые допускают распространение кручения.

Поскольку геометрии Римана – Картана обладают лоренц-симметрией как локальной калибровочной симметрией, можно сформулировать соответствующие законы сохранения. В частности, рассмотрение метрических и торсионных тензоров как независимых переменных дает правильное обобщение закона сохранения для полного (орбитального плюс собственный) углового момента на наличие гравитационного поля.

История

Теория была впервые предложена Эли Картаном в 1922 году и изложена в последующие несколько лет. Альберт Эйнштейн присоединился к теории в 1928 году во время его безуспешной попытки согласовать торсион с тензором электромагнитного поля в рамках единой теории поля. Это направление мысли привело его к родственной, но другой теории телепараллелизма.

Деннис Скиама и Том Киббл независимо друг от друга пересмотрели теорию в 1960-х, и важный обзор был опубликован в 1976 году..

Теория Эйнштейна – Картана исторически затмевалась ее аналогом без кручения и другими альтернативами, такими как теория Бранса – Дике, потому что кручение, казалось, не давало прогностических преимуществ за счет управляемости его уравнения. Поскольку теория Эйнштейна – Картана является чисто классической, она также не решает полностью проблему квантовой гравитации. В теории Эйнштейна – Картана уравнение Дирака становится нелинейным, и поэтому принцип суперпозиции, используемый в обычных методах квантования, не работает. В последнее время интерес к теории Эйнштейна-Картана был направлен на космологические выводы, и самое главное, на избежание гравитационной сингулярности в начале Вселенной. Теория считается жизнеспособной и остается активной темой в сообществе физиков.

Уравнения поля

Уравнения поля Эйнштейна общей теории относительности можно вывести, постулируя Действие Эйнштейна – Гильберта, чтобы быть истинным действием пространства-времени, а затем варьировать это действие относительно метрического тензора. Полевые уравнения теории Эйнштейна – Картана основаны на том же подходе, за исключением того, что предполагается общая асимметричная аффинная связь, а не симметричная связь Леви-Чивита (т. Е. Предполагается, что пространство-время иметь кручение в дополнение к кривизне ), а затем метрика и кручение изменяются независимо.

Пусть $LM {\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}}$ ${\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}}$ представляет лагранжевую плотность материи и $LG {\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {G}}}$ ${\ mathcal {L} } _ {\ mathrm {G}}$ представляет плотность лагранжиана гравитационного поля. Плотность лагранжиана для гравитационного поля в теории Эйнштейна – Картана пропорциональна скаляру Риччи :

L G = 1 2 κ R | г | {\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {1} {2 \ kappa}} R {\ sqrt {| g |}}}

{\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {1} { 2 \ kappa}} R {\ sqrt {| g |}}

S = ∫ (LG + LM) d 4 Икс, {\ Displaystyle S = \ int \ left ({\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {G}} + {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}} \ right) \, d ^ {4} x,}

S = \ int \ left ({\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {G}} + {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M}} \ right) \, d ^ {4 } x,

где $g {\ displaystyle g}$ $g$ - определитель метрического тензора, а $κ { \ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ - физическая константа $8 π G / c 4 {\ displaystyle 8 \ pi G / c ^ {4}}$ $8 \ pi G / c ^ {4}$ , включающая гравитационный постоянная и скорость света. Согласно принципу Гамильтона, вариация полного действия $S {\ displaystyle S}$ $S$ для гравитационного поля и материи исчезает:

δ S = 0. {\ displaystyle \ delta S = 0.}

\ delta S = 0.

Изменение по отношению к метрическому тензору $gab {\ displaystyle g ^ {ab}}$ $g ^ {ab}$ дает уравнения Эйнштейна:

δ LG δ gab - 1 2 P ab = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {G}}} {\ delta g ^ {ab}}} - {\ frac {1} {2 }} P_ {ab} = 0}

{\ frac {\ delta {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {G}}} {\ delta g ^ {ab}}} - { \ frac {1} {2}} P_ {ab} = 0

R ab - 1 2 R gab = κ P ab {\ displaystyle R_ {ab} - {\ frac {1} {2}} Rg_ {ab} = \ kappa P_ { ab}}

R_ {ab} - {\ frac {1} {2}} Rg_ {ab} = \ kappa P_ {ab}

где $R ab {\ displaystyle R_ {ab}}$ $R_ {ab}$ - это тензор Риччи и $P ab {\ displaystyle P_ {ab}}$ $P_ {ab}$ - это канонический тензор энергии-импульса. Тензор Риччи больше не является симметричным, поскольку связность содержит ненулевой тензор кручения; следовательно, правая часть уравнения также не может быть симметричной, что означает, что $P ab {\ displaystyle P_ {ab}}$ $P_ {ab}$ должен включать асимметричный вклад, который, как можно показать, связан с тензор спина. Этот канонический тензор энергии-импульса связан с более известным симметричным тензором энергии-импульса с помощью процедуры Белинфанте – Розенфельда.

Изменение тензора кручения $T abc {\ displaystyle {T ^ {ab }} _ {c}}$ ${T ^ {ab}} _ {c}$ дает спиновые связи уравнения Картана

δ LG δ T abc - 1 2 σ abc = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ delta { \ mathcal {L}} _ {\ mathrm {G}}} {\ delta {T ^ {ab}} _ {c}}} - {\ frac {1} {2}} {\ sigma _ {ab}} ^ {c} = 0}

{\ frac {\ delta {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {G}}} {\ delta {T ^ { ab}} _ {c}}} - {\ frac {1} {2}} {\ sigma _ {ab}} ^ {c} = 0

T abc + gac T bdd - gbc T add = κ σ abc {\ displaystyle {T_ {ab}} ^ {c} + {g_ {a}} ^ {c} {T_ {bd}} ^ {d} - {g_ {b}} ^ {c} {T_ {ad}} ^ {d} = \ kappa {\ sigma _ {ab}} ^ {c}}

{T_ {ab}} ^ {c} + {g_ {a}} ^ {c } {T_ {bd}} ^ {d} - {g_ {b}} ^ {c} {T_ {ad}} ^ {d} = \ kappa {\ sigma _ {ab}} ^ {c}

где $σ abc {\ displaystyle {\ sigma _ {ab}} ^ {c}}$ ${\ sigma _ {ab}} ^ {c}$ - тензор спина . Поскольку уравнение кручения является алгебраическим ограничением, а не уравнением в частных производных, торсионное поле не распространяется как волна, и исчезает вне материи. Следовательно, в принципе кручение может быть алгебраически исключено из теории в пользу спинового тензора, который порождает эффективное «спин-спиновое» нелинейное самодействие внутри вещества.

Избегание сингулярностей

Теоремы сингулярности, которые основаны и сформулированы в рамках римановой геометрии (например, теоремы об особенностях Пенроуза – Хокинга ), не обязательно должны выполняться в Римане – Картане. геометрия. Следовательно, теория Эйнштейна – Картана способна избежать общерелятивистской проблемы сингулярности Большого взрыва. Минимальная связь между кручением и спинорами Дирака порождает эффективное нелинейное спин-спиновое самодействие, которое становится существенным внутри фермионной материи при чрезвычайно высоких плотностях. Предполагается, что такое взаимодействие заменит сингулярный Большой взрыв на каспообразный Большой отскок при минимальном, но конечном масштабном коэффициенте, до которого наблюдаемая Вселенная была договор. Этот сценарий также объясняет, почему нынешняя Вселенная в самых больших масштабах кажется пространственно плоской, однородной и изотропной, обеспечивая физическую альтернативу космической инфляции. Кручение позволяет пространственно расширять фермионы вместо «точечных», что помогает избежать образования сингулярностей, таких как черные дыры, и устраняет ультрафиолетовое расхождение в квантовой теория поля. Согласно общей теории относительности, гравитационный коллапс достаточно компактной массы образует сингулярную черную дыру. В теории Эйнштейна – Картана, наоборот, коллапс достигает отскока и образует регулярный мост Эйнштейна – Розена (червоточину ) к новой, растущей вселенной по другую сторону горизонта событий.

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Gronwald, F.; Хел, Ф. В. (1996). «О калибровочных аспектах гравитации». arXiv : gr-qc / 9602013.
Хаммонд, Ричард Т. (27.03.2002). «Торсионная гравитация». Отчеты о достижениях физики. 65 (5): 599–649. Bibcode : 2002RPPh... 65..599H. DOI : 10.1088 / 0034-4885 / 65/5/201. ISSN 0034-4885.
Hehl, F. W. (1973). «Спин и кручение в общей теории относительности: I. Основы». Общая теория относительности и гравитации. 4 (4): 333–349. Bibcode : 1973GReGr... 4..333H. doi : 10.1007 / bf00759853. ISSN 0001-7701.
Hehl, F. W. (1974). «Спин и кручение в общей теории относительности II: геометрия и уравнения поля». Общая теория относительности и гравитации. 5 (5): 491–516. Bibcode : 1974GReGr... 5..491H. doi : 10.1007 / bf02451393. ISSN 0001-7701.
Hehl, Friedrich W.; фон дер Хейде, Пауль; Керлик, Дж. Дэвид (1974-08-15). «Общая теория относительности со спином и кручением и ее отклонения от теории Эйнштейна». Physical Review D. 10 (4): 1066–1069. Bibcode : 1974PhRvD..10.1066H. doi : 10.1103 / Physrevd.10.1066. ISSN 0556-2821.
Кляйнерт, Хаген (2000). «Принцип неголономных отображений для классической и квантовой механики в пространствах с кривизной и кручением». Общая теория относительности и гравитации. 32 (5): 769–839. arXiv : gr-qc / 9801003. doi : 10.1023 / a: 1001962922592. ISSN 0001-7701.
Кухович, Бронислав (1978). «Космологические модели типа Фридмана без сингулярности». Общая теория относительности и гравитации. 9 (6): 511–517. Bibcode : 1978GReGr... 9..511K. doi : 10.1007 / bf00759545. ISSN 0001-7701.
Лорд, Э.А. (1976). «Тензор, теория относительности и космология» (МакГроу-Хилл).
Петти, Р. Дж. (1976). «Некоторые аспекты геометрии первоквантованных теорий». Общая теория относительности и гравитации. 7 (11): 869–883. Bibcode : 1976GReGr... 7..869P. doi : 10.1007 / bf00771019. ISSN 0001-7701.
Петти, Ричард Дж. (1986). «О локальной геометрии вращающейся материи». Общая теория относительности и гравитации. 18 (5): 441–460. Bibcode : 1986GReGr..18..441P. doi : 10.1007 / bf00770462. ISSN 0001-7701.
Петти, Р. Дж. (2006-01-12). «Трансляционные пространственно-временные симметрии в гравитационных теориях». Классическая и квантовая гравитация. 23 (3): 737–751. arXiv : 1804.06730. Bibcode : 2006CQGra..23..737P. DOI : 10.1088 / 0264-9381 / 23/3/012. ISSN 0264-9381.
Петти, Р. Дж. (2013). «Вывод теории Эйнштейна – Картана из общей теории относительности». arXiv : 1301.1588 [gr-qc ].
Поплавски, Никодем Дж. (2009). «Пространство-время и поля». arXiv : 0911.0334 [gr-qc ].
де Саббата, В. и Гасперини, М. (1985). «Введение в гравитацию» (World Scientific).
де Саббата, В. и Сиварам, К. (1994). «Спин и кручение в гравитации» (World Scientific).
Шапиро, И.Л. (2002). «Физические аспекты кручения пространства-времени». Отчеты по физике. 357 (2): 113–213. arXiv : hep-th / 0103093. Bibcode : 2002PhR... 357..113S. DOI : 10.1016 / s0370-1573 (01) 00030-8. ISSN 0370-1573.
Траутман, Анджей (1973). «Спин и кручение могут предотвратить гравитационные сингулярности». Природа Физическая наука. 242 (114): 7–8. Bibcode : 1973NPhS..242.... 7T. DOI : 10.1038 / Physci242007a0. ISSN 0300-8746.
Траутман, Анджей (2006). «Теория Эйнштейна – Картана». arXiv :gr-qc/0606062.