Алгебраическая операция

редактировать
Алгебраические операции в решении квадратного уравнения. Знак корня √, обозначающий квадратный корень, эквивалентен возведению в степень в степени ½. Знак ± означает, что уравнение может быть записано либо со знаком +, либо со знаком -.

В математике базовой алгебраической операцией является любая общих операций из арифметики, которые включают сложение, вычитание, умножение, деление, возводя в целое число степень и извлекая корни (дробная степень). Эти операции могут выполняться с числами, и в этом случае их часто называют арифметическими операциями. Они также могут выполняться аналогичным образом для переменных, алгебраических выражений и, в более общем смысле, для элементов алгебраических структур, таких как группирует и поля. Алгебраическая операция также может быть определена просто как функция от декартовой степени набора набора до того же набора.

Термин алгебраическая операция также может использоваться для операции, которые могут быть определены путем сложения основных алгебраических операций, таких как скалярное произведение. В исчислении и математическом анализе алгебраические операции также используются для операций, которые могут быть определены чисто алгебраическими методами. Например, возведение в степень с целым числом или рациональным показателем является алгебраической операцией, но не общее возведение в степень с действительным или комплексная экспонента. Кроме того, производная - это операция, которая не является алгебраической.

Содержание

  • 1 Обозначение
  • 2 Арифметические и алгебраические операции
  • 3 Свойства арифметических и алгебраических операций
  • 4 См. Также
  • 5 Примечания
  • 6 Ссылки

Обозначение

Символы умножения обычно опускаются и подразумеваются, когда нет оператора между двумя переменными или членами, или когда используется коэффициент . Например, 3 × x записывается как 3x, а 2 × x × y записывается как 2xy. Иногда символы умножения заменяются точкой или центральной точкой, так что x × y записывается как x. y или x · y. Обычный текст, языки программирования и калькуляторы также используют одну звездочку для представления символа умножения, и он должен использоваться явно; например, 3x записывается как 3 * x.

Вместо использования неоднозначного знака деления (÷), деление обычно представляется горизонтальной линией винкулума, как в 3 / x + 1. В обычный текст и языки программирования, используется косая черта (также называемая солидус ), например 3 / (х + 1).

Показатели обычно форматируются с использованием надстрочных индексов, как в x. В обычном тексте и в языке разметки TeX символ каретки, ^, представляет экспоненты, поэтому x записывается как x ^ 2. языки программирования, такие как Ada, Fortran, Perl, Python и Ruby, используется двойная звездочка, поэтому x записывается как x ** 2.

Знак плюс-минус, ± используется в качестве сокращенного обозначения для двух выражений, записанных как одно, представляющих одно выражение со знаком плюс., другой со знаком минус. Например, y = x ± 1 представляет два уравнения y = x + 1 и y = x - 1. Иногда оно используется для обозначения положительного или отрицательного термина, такого как ± x.

Арифметические и алгебраические операции

Алгебраические операции работают так же, как арифметические операции, как показано в таблице ниже.

ОперацияАрифметика. ПримерАлгебра . ПримерКомментарии . ≡ означает «эквивалентно». ≢ означает «не эквивалентно»
Сложение (5 × 5) + 5 + 5 + 3 {\ displaystyle (5 \ times 5) + 5 + 5 + 3}(5 \ times 5) + 5 + 5 + 3

эквивалентно:

5 2 + (2 × 5) + 3 {\ displaystyle 5 ^ {2} + (2 \ times 5) +3}5 ^ {2} + (2 \ times 5) +3

(b × b) + b + b + a {\ displaystyle (b \ times b) + b + b + a}(b \ times b) + b + b + a

эквивалент:

b 2 + 2 b + a {\ displaystyle b ^ {2} + 2b + a}b ^ {2} + 2b + a

2 × b ≡ 2 bb + b + b ≡ 3 bb × b ≡ b 2 {\ displaystyle {\ begin {align} 2 \ times b \ Equ 2b \\ b + b + b \ Equiv 3b \\ b \ times b \ Equiv b ^ {2} \ end {align}}}{\ begin {выровнено} 2 \ times b \ Equiv 2b \\ b + b + b \ Equiv 3b \\ b \ times b \ Equiv b ^ {2} \ end {align}}
Вычитание (7 × 7) - 7-5 {\ displaystyle (7 \ times 7) -7-5}(7 \ times 7) -7-5

эквивалент:

7 2-7-5 {\ displaystyle 7 ^ {2} - 7-5}7 ^ {2} -7-5

(b × b) - b - a {\ displaystyle (b \ times b) -ba}(b \ times b) -ba

эквивалент:

b 2 - b - a {\ displaystyle b ^ {2 } -ba}b ^ {2} -ba

b 2 - b ≢ b 3 b - b ≡ 2 bb 2 - b ≡ b (b - 1) {\ displaystyle {\ begin {align} b ^ {2} -b \ not \ Equiv b \\ 3b-b \ Equiv 2b \\ b ^ {2} -b \ Equiv b (b-1) \ end {align}}}{\ begin {выровнено} b ^ {2} -b \ not \ эквив б \\ 3b-b \ эквив 2b \\ b ^ {2} -b \ эквив б (б-1) \ конец {выровнено}}
Умножение 3 × 5 {\ displaystyle 3 \ times 5}3 \ times 5 или

3. 5 {\ displaystyle 3 \. \ 5}3 \. \ 5 или 3 ⋅ 5 {\ displaystyle 3 \ cdot 5}3 \ cdot 5

или (3) (5) {\ displaystyle (3) (5)}(3) (5)

a × b {\ displaystyle a \ times b}a \ times b или

a. b {\ displaystyle ab}ab или a ⋅ b {\ displaystyle a \ cdot b}a \ cdot b

или ab {\ displaystyle ab}ab

a × a × a {\ displaystyle a \ times a \ times a}a \ times a \ times a совпадает с a 3 {\ displaystyle a ^ {3}}a ^ {3}
Division 12 ÷ 4 {\ displaystyle 12 \ div 4 }12 \ div 4 или

12/4 {\ displaystyle 12/4}12 / 4 или

12 4 {\ displaystyle {\ frac {12} {4}}}{\ frac {12} {4}}

b ÷ a {\ displaystyle b \ div a}b \ div a или

b / a {\ displaystyle b / a}b / a или

ba {\ displaystyle {\ frac {b} {a}}}{\ frac {b} {a}}

(a + b) 3 ≡ 1 3 × (a + b) {\ displaystyle {\ frac {(a + b)} {3}} \ Equiv { \ tfrac {1} {3}} \ times (a + b)}{\ frac {(a + b)} {3}} \ Equiv {\ tfrac {1} {3}} \ times (a + b)
Возведение в степень 3 1 2 {\ displaystyle 3 ^ {\ frac {1} {2}}}3 ^ {{{\ frac {1} {2}}}} . 2 3 {\ displaystyle 2 ^ {3}}2 ^ {3} a 1 2 {\ displaystyle a ^ {\ frac {1} {2}}}a ^ {{{\ frac {1} {2}}}} . a 3 {\ displaystyle a ^ {3}}a ^ {3} a 1 2 { \ displaystyle a ^ {\ frac {1} {2}}}a ^ {{{\ frac {1} {2}}}} совпадает с a {\ displaystyle {\ sqrt {a}}}{\ sqrt a} .

a 3 {\ displaystyle a ^ {3}}a ^ {3} совпадает с a × a × a {\ displaystyle a \ times a \ times a}a \ times a \ times a

Примечание: использование l etters a {\ displaystyle a}a и b {\ displaystyle b}b произвольно, и примеры были бы одинаково допустимы, если x {\ displaystyle x}x и y {\ displaystyle y}y использовались.

Свойства арифметических и алгебраических операций

СвойствоАрифметика. ПримерАлгебра. ПримерКомментарии. ≡ означает «эквивалентно». ≢ означает «не эквивалентно»
Коммутативность 3 + 5 = 5 + 3 {\ displaystyle 3 + 5 = 5 + 3}{\ displaystyle 3 + 5 = 5 + 3} . 3 × 5 = 5 × 3 {\ displaystyle 3 \ times 5 = 5 \ times 3}{\ displaystyle 3 \ times 5 = 5 \ times 3} a + b = b + a {\ displaystyle a + b = b + a}a + b = b + a . a × b = b × a {\ displaystyle a \ times b = b \ times a}a \ times b = b \ times a Сложение и умножение. коммутативны и ассоциативны. Вычитание и деление не являются:.

например (a - b) ≢ (b - a) {\ displaystyle (ab) \ not \ Equiv (ba)}( ab) \ not \ Equiv (ba)

ассоциативность (3 + 5) + 7 = 3 + (5 + 7) {\ displaystyle (3 + 5) + 7 = 3 + (5 + 7)}(3 + 5) + 7 = 3 + (5 + 7) . (3 × 5) × 7 = 3 × (5 × 7) {\ displaystyle (3 \ times 5) \ times 7 = 3 \ times (5 \ times 7)}(3 \ times 5) \ times 7 = 3 \ times (5 \ times 7) (a + b) + c = a + (b + c) {\ displaystyle (a + b) + c = a + (b + c)}(a + b) + c = a + (b + c) . ( a × b) × c = a × (b × c) {\ displaystyle (a \ times b) \ times c = a \ times (b \ times c)}(a \ times b) \ times c = a \ times ( b \ times c)

См. также

Примечания

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-10 22:35:50
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте