Теория гравитации

Теория гравитации (GTG ) - это теория гравитации на математическом языке геометрической алгебры. Для тех, кто знаком с общей теорией относительности, она очень напоминает тетрадный формализм, хотя есть значительные концептуальные различия. В частности, фон в GTG плоский, пространство-время Минковского. Принцип эквивалентности не предполагается, а вместо этого следует из того факта, что калибровочная ковариантная производная является минимально связанной. Как и в общей теории относительности, уравнения, структурно идентичные уравнениям поля Эйнштейна, выводятся из вариационного принципа. Спиновый тензор может также поддерживаться способом, аналогичным теории Эйнштейна – Картана – Скиамы – Киббла. GTG была впервые предложена Ласенби, Дораном и Галлом в 1998 году как выполнение частичных результатов, представленных в 1993 году. Теория не получила широкого распространения среди остального физического сообщества, которое в основном выбрало дифференциальная геометрия подходит, как и в соответствующей калибровочной теории гравитации.

• 1 Математические основы
• 2 Уравнения поля
• 3 Связь с общей теорией относительности
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

В основе GTG лежат два принципа. Во-первых, позиционно-калибровочная инвариантность требует, чтобы произвольные локальные смещения полей не влияли на физическое содержание уравнений поля. Во-вторых, калибровочно-вращательная инвариантность требует, чтобы произвольные локальные вращения полей не влияли на физическое содержание уравнений поля. Эти принципы приводят к введению новой пары линейных функций - позиционно-калибровочного поля и вращательно-калибровочного поля. Смещение некоторой произвольной функцией f

$x\; \mapsto \; x\; \prime \; =\; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; mapsto\; x\; \text{'}=\; f\; (x)\}$

приводит к появлению поля позиционирования, определяемого отображением на его сопряженный,

$час\; ¯\; (a,\; x)\; \mapsto \; h\; ¯\; \prime \; (a,\; x)\; =\; h\; ¯\; (f\; -\; 1\; (a),\; f\; (x)),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; mathsf\; \{h\}\; \}\}\; (a,\; x)\; \backslash \; mapsto\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; mathsf\; \{h\}\}\}\; \text{'}(a,\; x)\; =\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; mathsf\; \{h\}\}\}\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; (a),\; f\; (x)),\}$

, который является линейным по своему первому аргументу, а a - постоянный вектор. Аналогично, вращение некоторым произвольным ротором R порождает вращательно-калибровочное поле

$\Omega \; ¯\; (a,\; x)\; \mapsto \; \Omega \; ¯\; \prime \; (a,\; x)\; =\; R\; \Omega \; ¯\; (a,\; x)\; R\; †\; -\; 2\; a\; \cdot \; \nabla \; RR\; †.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; mathsf\; \{\backslash \; Omega\}\}\}\; (a,\; x)\; \backslash \; mapsto\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; mathsf\; \{\backslash \; Omega\}\}\}\; \text{'}(a,\; x)\; =\; R\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; mathsf\; \{\backslash \; Omega\}\}\}\; (a,\; x)\; R\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; -2a\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla\; RR\; ^\; \{\backslash \; dagger\}.\}$

Мы можем определить две разные ковариантные производные по направлению

$a\; \cdot \; D\; =\; a\; \cdot \; h\; ¯\; (\nabla )\; +\; 1\; 2\; Ом\; (час\; (а))\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; cdot\; D\; =\; a\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; mathsf\; \{h\}\}\}\; (\backslash \; nabla)\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\; \}\; \{\backslash \; mathsf\; \{\backslash \; Omega\}\}\; (\{\backslash \; mathsf\; \{h\}\}\; (a))\}$

$a\; \cdot \; D\; =\; a\; \cdot \; h\; ¯\; (\nabla )\; +\; \Omega \; (h\; (a))\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; mathcal\; \{D\}\}\; =\; a\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; mathsf\; \{h\}\}\}\; (\backslash \; nabla)\; +\; \{\backslash \; mathsf\; \{\backslash \; Omega\}\}\; (\{\backslash \; mathsf\; \{h\}\}\; (a))\}$

или с указанием системы координат

$D\; \mu \; =\; \partial \; \mu \; +\; 1\; 2\; \Omega \; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; Омега\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}$

$D\; \mu \; =\; \partial \; \mu \; +\; \Omega \; \mu \; \times ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{D\}\}\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; +\; \backslash \; Omega\; \_\; \{\backslash \; mu\; \}\; \backslash \; times,\}$

где × обозначает коммутаторное произведение.

Первая из этих производных лучше подходит для работы непосредственно со спинорами , тогда как вторая лучше подходит для наблюдаемых. GTG-аналог тензора Римана построен на основе правил коммутации этих производных.

$[D\; \mu ,\; D\; \nu ]\; \psi \; =\; 1\; 2\; R\; \mu \; \nu \; \psi \; \{\backslash \; Displaystyle\; [D\; \_\; \{\backslash \; mu\},\; D\; \_\; \{\backslash \; nu\}]\; \backslash \; psi\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; mathsf\; \{R\}\}\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; \backslash \; psi\}$

$R\; (a\; \wedge \; b)\; =\; R\; (h\; (a\; \wedge \; b))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{R\}\}\; (a\; \backslash \; wedge\; b)\; =\; \{\backslash \; mathsf\; \{R\}\}\; (\{\backslash \; mathsf\; \{h\}\}\; (a\; \backslash \; wedge\; b))\}$

Уравнения поля выводятся путем постулирования действия Эйнштейна – Гильберта управляет эволюцией калибровочных полей, т.е.

$S\; =\; \int \; [1\; 2\; \kappa \; (R\; -\; 2\; \Lambda )\; +\; LM]\; (det\; h)\; -\; 1\; d\; 4\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; left\; [\{1\; \backslash \; over\; 2\; \backslash \; kappa\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; mathcal\; \{R\}\}\; -\; 2\; \backslash \; Lambda\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{M\}\; \}\; \backslash \; right]\; (\backslash \; det\; \{\backslash \; mathsf\; \{h\}\})\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{4\}\; x.\}$

Результат минимизации вариации действия по отношению к двум калибровочным полям в уравнениях поля

$G\; (a)\; -\; \Lambda \; a\; =\; \kappa \; T\; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; (a)\; -\; \backslash \; Lambda\; a\; =\; \backslash \; kappa\; \{\backslash \; mathcal\; \{T\}\}\; (a)\; \}$

$D\; \wedge \; час\; ¯\; (a)\; =\; \kappa \; S\; \cdot \; час\; ¯\; (a),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{D\}\}\; \backslash \; wedge\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; mathsf\; \{h\}\}\}\; (a)\; =\; \backslash \; kappa\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; mathsf\; \{h\}\}\}\; (a),\}$

где $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{T\}\}\}$- ковариантный тензор энергии-импульса, а $S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\}$- ковариантный тензор спина. Важно отметить, что эти уравнения не дают развивающейся кривизны пространства-времени, а скорее просто дают эволюцию калибровочных полей в плоском пространстве-времени.

Для тех, кто более знаком с общей теорией относительности, можно определить метрический тензор из поля позиционной калибровки аналогично тетрадам.. В формализме тетрад вводится набор из четырех векторов $\{e\; (a)\; \mu \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\{e\; \_\; \{(a)\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \}\}$. Греческий индекс μ равен , повышается или понижается путем умножения и сжатия с метрическим тензором пространства-времени. Латинский индекс (а) в скобках - это метка для каждой из четырех тетрад, которая поднимается и опускается, как если бы она умножалась и сокращалась с отдельным метрическим тензором Минковского. GTG, грубо говоря, меняет роли этих индексов. При выборе алгебры пространства-времени неявно предполагается, что метрика является метрикой Минковского. Информация, содержащаяся в другом наборе индексов, учитывается поведением калибровочных полей.

Мы можем создать ассоциации

$g\; \mu \; =\; h\; -\; 1\; (e\; \mu )\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; =\; \{\backslash \; mathsf\; \{h\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (e\; \_\; \{\backslash \; mu\; \})\}$

$g\; \mu \; =\; h\; ¯\; (e\; \mu )\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; =\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; mathsf\; \{h\}\}\}\; (e\; ^\; \{\backslash \; mu\})\}$

для ковариантный вектор и контравариантный вектор в искривленном пространстве-времени, где теперь единичные векторы $\{e\; \mu \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{e\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \}\}$- выбранный координатный базис. Они могут определять метрику, используя правило

$g\; \mu \; \nu \; =\; g\; \mu \; \cdot \; g\; \nu .\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; =\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; cdot\; g\; \_\; \{\backslash \; nu\}.\}$

Следуя этой процедуре, можно показать, что по большей части наблюдаемые предсказания GTG согласуются с Эйнштейном. –Теория Картана – Сциамы – Киббла для ненулевого спина и сводится к общей теории относительности для исчезающего спина. Однако GTG делает разные прогнозы относительно глобальных решений. Например, при изучении точечной массы выбор «ньютоновской калибровки» дает решение, подобное метрике Шварцшильда в координатах Гуллстранда – Пенлеве. Общая теория относительности допускает расширение, известное как координаты Крускала – Секереса. GTG, с другой стороны, запрещает любое такое расширение.

1. ^Ласенби, Энтони; Крис Доран; Стивен Галл (1998), «Гравитация, калибровочные теории и геометрическая алгебра», Philosophical Transactions of the Royal Society A, 356 : 487–582, arXiv : gr-qc / 0405033, Bibcode : 1998RSPTA.356..487L, doi : 10.1098 / rsta.1998.0178
2. ^Доран, Крис; Энтони Ласенби; Стивен Галл (1993), Ф. Браккс; Р. Деланге; Х. Серрас (ред.), "Гравитация как калибровочная теория в алгебре пространства-времени", Третья международная конференция по алгебрам Клиффорда и их приложениям в математической физике, doi : 10.1007 / 978-94- 011-2006-7_42

• Дэвид Хестенес: Расчет пространства-времени для теории гравитации - описание математического формализма, явно направленного на GTG