Минимальная связь

В аналитической механике и квантовой теория поля, минимальная связь относится к связи между полями, которая включает только распределение заряда и не более высокие мультипольные моменты распределение заряда. Эта минимальная связь отличается, например, от связи Паули, которая включает магнитный момент электрона непосредственно в лагранжиан.

Содержание

• 1 Электродинамика
  • 1.1 Нерелятивистская заряженная частица в электромагнитном поле
  • 1.2 Релятивистская заряженная частица в электромагнитном поле
• 2 Инфляция
• 3 Ссылки

Электродинамика

В электродинамике минимальная связь достаточна для учета всех электромагнитных взаимодействий. Более высокие моменты частиц являются следствием минимального взаимодействия и ненулевого спина.

Нерелятивистская заряженная частица в электромагнитном поле

В декартовых координатах лагранжиан нерелятивистской классической частицы в электромагнитном поле имеет вид (в единицах СИ ):

$L\; =\; \sum \; i\; 1\; 2\; mx\; \dot{}\; i\; 2\; +\; \sum \; iqx\; \dot{}\; i\; A\; i\; -\; q\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; m\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; q\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{i\}\; A\_\; \{i\}\; -q\; \backslash \; varphi\}$

где q - электрический заряд частицы, φ - электрический скалярный потенциал, а A i - это компоненты вектора магнитного потенциала, которые все могут явно зависеть от $xi\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\}\}$и $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$.

Этот лагранжиан в сочетании с уравнением Эйлера – Лагранжа дает закон силы Лоренца

$mx\; ¨\; =\; q\; E\; +\; qx\; \dot{}\; \times \; B,\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; =\; q\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; +\; q\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathb\; f\; \{B\}\; \backslash ,,\}$

и называется минимальной связью.

Обратите внимание, что значения скалярного потенциала и векторного потенциала будут изменяться во время калибровочного преобразования, и сам лагранжиан будет также подобрать дополнительные условия; Но дополнительные члены в лагранжиане складываются в полную производную по времени скалярной функции и, следовательно, по-прежнему дают то же уравнение Эйлера-Лагранжа.

канонические импульсы задаются следующим образом:

$pi\; =\; \partial \; L\; \partial \; x\; \dot{}\; i\; =\; mx\; \dot{}\; i\; +\; q\; A\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{i\}\}\}\; =\; m\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{i\}\; +\; qA\_\; \{i\}\}$

Обратите внимание, что канонические импульсы не являются калибровочным инвариантом и физически не измеримы. Однако кинетический импульс

$P\; i\; \equiv \; mx\; \dot{}\; i\; =\; pi\; -\; q\; A\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{i\}\; \backslash \; Equiv\; m\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{i\}\; =\; p\_\; \{i\}\; -\; qA\_\; \{i\}\}$

калибровочно инвариантен и физически измерим.

Гамильтониан, как преобразование Лежандра лагранжиана, поэтому:

$H\; =\; \{\sum \; ix\; \dot{}\; ipi\}\; -\; L\; =\; \sum \; i\; (pi\; -\; q\; A\; я)\; 2\; 2\; м\; +\; q\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{i\}\; p\_\; \{i\}\; \backslash \; right\; \backslash \; \}\; -\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (p\_\; \{i\}\; -qA\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; +\; q\; \backslash \; varphi\}$

Это уравнение часто используется в квантовой механике.

При калибровочном преобразовании:

$A\; \to \; A\; +\; \nabla \; f,\; \phi \; \to \; \phi \; -\; f\; \dot{},\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbf\; \{\; A\}\; +\; \backslash \; nabla\; f\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; \backslash \; varphi\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; varphi\; -\; \{\backslash \; dot\; \{f\}\}\; \backslash ,,\}$

где f (r, t) - любая скалярная функция от пространство и время, вышеупомянутые лагранжиан, канонические импульсы и гамильтоново преобразование вида:

$L\; \to \; L\; \prime \; =\; L\; +\; qdfdt,\; p\; \to \; p\; \prime \; =\; p\; +\; q\; \nabla \; f,\; H\; \to \; H\; \prime \; =\; H\; -\; q\; \partial \; f\; \partial \; T,\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\; \backslash \; rightarrow\; L\; \text{'}=\; L\; +\; Q\; \{\backslash \; frac\; \{df\}\; \{dt\}\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbf\; \{p\text{'}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; +\; q\; \backslash \; nabla\; f\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; H\; \backslash \; rightarrow\; H\; \text{'}=\; Hq\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash ,,\}$

который все еще производит использует то же уравнение Гамильтона:

$\partial \; H\; \prime \; \partial \; x\; i\; |\; p\; i\; \prime \; =\; \partial \; \partial \; x\; i\; |\; p\; i\; \prime \; (x\; \dot{}\; i\; p\; i\; \prime \; -\; L\; \prime )\; =\; -\; \partial \; L\; \prime \; \partial \; x\; i\; |\; p\; i\; \prime \; =\; -\; \partial \; L\; \partial \; x\; i\; |\; p\; i\; \prime \; -\; q\; \partial \; \partial \; x\; i\; |\; pi\; \prime \; dfdt\; =\; -\; ddt\; (\partial \; L\; \partial \; x\; \dot{}\; i\; |\; pi\; \prime \; +\; q\; \partial \; f\; \partial \; xi\; |\; pi\; \prime )\; =\; -\; p\; \dot{}\; i\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; H\; \text{'}\}\; \{\backslash \; partial\; \{x\_\; \{i\}\}\}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{p\text{'}\; \_\; \{i\}\}\; =\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; Frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \{x\_\; \{i\}\}\}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{p\; \text{'}\_\; \{i\}\}\; (\{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{i\}\; p\text{'}\; \_\; \{i\}\; -L\; \text{'})\; =\; -\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\text{'}\}\; \{\backslash \; partial\; \{x\_\; \{i\}\}\}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{p\; \text{'}\_\; \{i\}\}\; \backslash \backslash \; =\; -\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; \{x\_\; \{i\}\}\}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{p\; \text{'}\_\; \{i\}\}\; -\; q\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \{x\_\; \{i\}\}\}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{p\text{'}\; \_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{df\}\; \{dt\}\}\; \backslash \backslash \; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; \{\{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; \_\; \{i\}\}\}\; \}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{p\; \text{'}\_\; \{i\}\}\; +\; q\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; \{x\_\; \{i\}\}\}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{p\text{'}\; \_\; \{i\}\}\; \backslash \; справа)\; \backslash \backslash \; =\; -\; \{\backslash \; dot\; \{p\}\}\; \text{'}\_\; \{i\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

В квантовой механике волновая функция также подвергнется локальному U (1) групповое преобразование во время калибровочного преобразования, которое подразумевает, что все физические результаты должны быть инвариантными относительно локальных преобразований U (1).

Релятивистская заряженная частица в электромагнитном поле

релятивистский лагранжиан для частицы (масса покоя м и заряд q) определяется выражением:

$L\; (t)\; =\; -\; mc\; 2\; 1\; -\; x\; \dot{}\; (t)\; 2\; c\; 2\; +\; qx\; \dot{}\; (t)\; \cdot \; A\; (x\; (t),\; t)\; -\; q\; \phi \; (x\; (t),\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; (t)\; =\; -\; mc\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\{\{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; (t)\}\; ^\; \{2\}\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\}\}\; +\; q\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; (t)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t),\; t\; \backslash \; right)\; -q\; \backslash \; varphi\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t),\; t\; \backslash \; right)\}$

Таким образом, канонический импульс частицы равен

$p\; (t)\; =\; \partial \; L\; \partial \; x\; \dot{}\; =\; mx\; \dot{}\; 1\; -\; Икс\; \dot{}\; 2\; с\; 2\; +\; Q\; A\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\}\; \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{m\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; ^\; \{2\}\}\; \{c\; ^\; \{2\; \}\}\}\}\}\}\; +\; q\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\}$

то есть сумма кинетического и потенциального импульса.

Решая для скорости, получаем

$x\; \dot{}\; (t)\; =\; p\; -\; q\; A\; m\; 2\; +\; 1\; c\; 2\; (p\; -\; q\; A)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\; \}\}\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\; -q\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{m\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{p\}\; -q\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; right)\}\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$

Итак, гамильтониан

$H\; (t)\; =\; x\; \dot{}\; \cdot \; p\; -\; L\; =\; cm\; 2\; с\; 2\; +\; (п\; -\; q\; A)\; 2\; +\; q\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; -\; \{\backslash \; mathcal\; \{\; L\}\}\; =\; c\; \{\backslash \; sqrt\; \{m\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{p\}\; -q\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; right)\}\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; q\; \backslash \; varphi\; \}$

В результате получается уравнение силы (эквивалентное уравнению Эйлера – Лагранжа )

$p\; \dot{}\; =\; -\; \partial \; H\; \partial \; x\; =\; qx\; \dot{}\; \cdot \; (\nabla \; A)\; -\; q\; \nabla \; \phi \; =\; q\; \nabla \; (x\; \dot{}\; \cdot \; A)\; -\; q\; \nabla \; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; =\; q\; \{\; \backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; \backslash \; cdot\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\})\; -q\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; varphi\; =\; q\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; (\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{A\})\; -q\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; varphi\}$

, из которого можно получить

$ddt\; (\; mx\; \dot{}\; 1\; -\; x\; \dot{}\; 2\; c\; 2)\; =\; ddt\; (p\; -\; q\; A)\; =\; p\; \dot{}\; -\; q\; \partial \; A\; \partial \; t\; -\; q\; (x\; \dot{}\; \cdot \; \nabla )\; A\; =\; q\; \nabla \; (x\; \dot{}\; \cdot \; A)\; -\; q\; \nabla \; \phi \; -\; q\; \partial \; A\; \partial \; T\; -\; q\; (Икс\; \dot{}\; \cdot \; \nabla )\; A\; =\; q\; E\; +\; qx\; \dot{}\; \times \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{m\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\}\; ^\; \{2\}\}\; \{c\; ^\; \{\; 2\}\}\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{p\}\; -q\; \backslash \; mathbf\; \{A\})\; =\; \{\backslash \; dot\; \{\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\; -\; q\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; A\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; -\; q\; (\{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla)\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \backslash \; =\; q\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; (\{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{A\})\; -q\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; varphi\; -q\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; A\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; -\; q\; (\{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla)\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \backslash \; =\; q\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; +\; q\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

В приведенном выше выводе используется тождество векторного исчисления :

$1\; 2\; \nabla \; (A\; \cdot \; A)\; =\; A\; \cdot \; JA\; =\; A\; \cdot \; (\nabla \; A)\; =\; (A\; \cdot \; \nabla )\; A\; +\; A\; \times \; (\nabla \; \times \; A).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; nabla\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; =\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{J\}\; \_\; \{\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\}\; \backslash \; =\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; nabla\; \backslash \; mathbf\; \{A\})\; \backslash \; =\; \backslash \; (\backslash \; mathbf\; \{A\}\; \{\backslash \; cdot\}\; \backslash \; nabla)\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \{\backslash \; times\}\; (\backslash \; nabla\; \{\backslash \; times\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}).\}$

Эквивалентное выражение для гамильтониана как функция релятивистского (кинетического) импульса, P = γm ẋ (t) = p - q A, равно

$H\; (t)\; =\; x\; \dot{}\; (t)\; \cdot \; P\; (t)\; +\; MC\; 2\; \gamma \; +\; Q\; \phi \; (Икс\; (T),\; T)\; знак\; равно\; \gamma \; MC\; 2\; +\; Q\; \phi \; (Икс\; (T),\; T)\; =\; E\; +\; V\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\; (т)\; =\; \{\backslash \; точка\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; (t)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{P\}\; (t)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{mc\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; gamma\}\}\; +\; q\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t),\; t)\; =\; \backslash \; gamma\; mc\; ^\; \{2\}\; +\; q\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t),\; t)\; =\; E\; +\; V\}$

Это имеет то преимущество, что кинетический импульс P можно измерить экспериментально, тогда как канонический импульс p не может. Обратите внимание, что гамильтониан (полная энергия ) можно рассматривать как сумму релятивистской энергии (кинетическая + покой), E = γmc, плюс потенциальная энергия, V = eφ.

Инфляция

В исследованиях космологической инфляции минимальная связь скалярного поля обычно относится к минимальной связи с гравитацией. Это означает, что действие для поля inflaton $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$не связано со скалярной кривизной . Его единственная связь с гравитацией - это связь с инвариантом Лоренца мера $gd\; 4\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{g\}\}\; \backslash ,\; d\; ^\; \{4\}\; x\}$, построенный из метрики (в единицах Планка ):

$S\; =\; \int \; d\; 4\; xg\; (-\; 1\; 2\; R\; +\; 1\; 2\; \nabla \; \mu \; \phi \; \nabla \; \mu \; \phi \; -\; В\; (\phi ))\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\; =\; \backslash \; int\; d\; ^\; \{4\}\; х\; \backslash ,\; \{\backslash \; sqrt\; \{g\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; R\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; varphi\; \backslash \; nabla\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; varphi\; -V\; (\backslash \; varphi)\; \backslash \; right)\}$

где $g:\; =\; det\; g\; \mu \; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; g:\; =\; \backslash \; det\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\}$и с использованием калибровочной ковариантной производной.

Ссылки