Секущее разнообразие

редактировать

В алгебраической геометрии секущее разнообразие Раздел ⁡ (V) {\ displaystyle \ operatorname {Sect} (V)}{\ displaystyle \ operatorname {Sect} (V)} , или разнообразие аккордов, проективного разнообразия V ⊂ P r {\ displaystyle V \ subset \ mathbb {P} ^ {r}}{\ displaystyle V \ subset \ mathbb {P} ^ {r}} - это замыкание Зарисского объединения всех секущих строки (аккорды) к V в P r {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {r}}{\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {r}} :

Sect ⁡ (V) = ⋃ x, y ∈ V xy ¯ {\ displaystyle \ operatorname {Раздел} (V) = \ bigcup _ {x, y \ in V} {\ overline {xy}}}{\ displaystyle \ operatorname {Sect} (V) = \ bigcup _ {x, y \ in V} {\ overline {xy}} }

(для x = y {\ displaystyle x = y}x=yстрока xy ¯ {\ displaystyle {\ overline {xy}}}{\ displaystyle {\ overline {xy}}} - это касательная линия.) Это также изображение под проекцией p 3: (P r) 3 → P r {\ displaystyle p_ { 3}: (\ mathbb {P} ^ {r}) ^ {3} \ to \ mathbb {P} ^ {r}}{\ displaystyle p_ {3}: (\ mathbb {P} ^ {r}) ^ {3} \ to \ mathbb {P} ^ {r}} замыкания Z для

{(x, y, г) | x ∧ y ∧ r = 0} {\ displaystyle \ {(x, y, r) | x \ wedge y \ wedge r = 0 \}}{\ displaystyle \ {(x, y, r) | x \ wedge y \ wedge r = 0 \}} .

Обратите внимание, что Z имеет размерность 2 dim ⁡ V + 1 {\ displaystyle 2 \ dim V + 1}{\ displaystyle 2 \ dim V + 1} и поэтому Sect ⁡ (V) {\ displaystyle \ operatorname {Sect} (V)}{\ displaystyle \ operatorname {Sect} (V)} имеет размер не более 2 dim ⁡ V + 1 {\ displaystyle 2 \ dim V + 1}{\ displaystyle 2 \ dim V + 1} .

В более общем смысле, kth {\ displaystyle k ^ {th}}k ^ {{th}} секущая разновидность - это замыкание Зарисского объединения линейных пространств, натянутых наборами из k + 1 точек на V {\ displaystyle V}V . Он может обозначаться как Σ k {\ displaystyle \ Sigma _ {k}}\ Сигма _ {к} . Вышеуказанная секущая разновидность является первой секущей разновидностью. Если Σ k = P r {\ displaystyle \ Sigma _ {k} = \ mathbb {P} ^ {r}}{\ displaystyle \ Sigma _ {k} = \ mathbb {P} ^ {r}} , он всегда сингулярен вдоль Σ k - 1 {\ displaystyle \ Sigma _ {k-1}}{\ displaystyle \ Sigma _ {k-1}} , но могут иметь и другие особые точки.

Если V {\ displaystyle V}V имеет размер d, размер Σ k {\ displaystyle \ Sigma _ {k}}\ Сигма _ {к} не более kd + d + k {\ displaystyle kd + d + k}{\ displaystyle kd + d + k} . Полезный инструмент для вычисления размерности секущей разновидности.

Примеры

Секущее разнообразие может использоваться, чтобы показать тот факт, что гладкая проективная кривая может быть встроена в проективное 3-пространство P 3 {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {3}}{\ mathbb {P}} ^ {3} следующим образом. Пусть C ⊂ P r {\ displaystyle C \ subset \ mathbb {P} ^ {r}}{\ displaystyle C \ subset \ mathbb {P} ^ {r}} - гладкая кривая. Поскольку размерность секущего многообразия от S до C имеет размерность не более 3, если r>3 {\ displaystyle r>3}{\displaystyle r>3} , то на P r {\ displaystyle} \ mathbb {P r {\ displaystyle} \ mathbb {P) есть точка p ^ {r}}{\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {r}} , которого нет на S, поэтому у нас есть проекция π p {\ displaystyle \ pi _ {p}}{\ displaystyle \ pi _ {p}} из p в гиперплоскость H, что дает вложение π p: C ↪ H ≃ P r - 1 {\ displaystyle \ pi _ {p}: C \ hookrightarrow H \ simeq \ mathbb {P} ^ {r-1 }}{\ displaystyle \ pi _ {p}: C \ hookrightarrow H \ simeq \ mathbb {P } ^ {r-1}} . Теперь повторите.

Если S ⊂ P 5 {\ displaystyle S \ subset \ mathbb {P} ^ {5}}{\ displaystyle S \ subset \ mathbb {P} ^ {5}} является поверхность, которая не лежит в гиперплоскости, и если Sect ⁡ (S) ≠ P 5 {\ displaystyle \ operatorname {Sect} (S) \ neq \ mathbb {P} ^ {5}}{\ displaystyle \ имя оператора {Раздел} (S) \ neq \ mathbb {P} ^ {5}} , то S - это поверхность Веронезе.

Ссылки
  • Эйзенбуд, Дэвид; Джо, Харрис (2016), 3264 и все это: второй курс алгебраической геометрии, CUP, ISBN 97 8-1107602724
  • стр. Гриффитс ; Дж. Харрис (1994). Основы алгебраической геометрии. Библиотека Wiley Classics. Wiley Interscience. п. 617. ISBN 0-471-05059-8.
  • Джо Харрис, Алгебраическая геометрия, первый курс, (1992) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97716-3

.

Последняя правка сделана 2021-06-07 07:54:39
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте