Рациональное разнообразие

редактировать

В математике рациональное разнообразие - это алгебраическое разнообразие над заданным полем K, которое бирационально эквивалентно проективному пространству некоторой размерности над K. Это означает, что его функциональное поле изоморфен

K (U 1,…, U d), {\ displaystyle K (U_ {1}, \ dots, U_ {d}),}

K (U_ {1}, \ dots, U_ {d}),

полем всех рациональных функции для некоторого набора ${U 1,…, U d} {\ displaystyle \ {U_ {1}, \ dots, U_ {d} \}}$ $\ {U_ {1}, \ dots, U_ {d} \}$ of не определяет, где d - размер разновидности.

Содержание

1 Рациональность и параметризация
2 Вопросы рациональности
3 Теорема Люрота
4 Унирациональность
5 Рационально связанное разнообразие
6 Стабильно рациональное разнообразие
7 См. Также
8 Примечания
9 Ссылки

Рациональность и параметризация

Пусть V будет аффинным алгебраическим многообразием размерности d, определяемым простым идеалом I = ⟨f 1,..., f k ⟩ в $K [X 1,…, X n] {\ displaystyle K [X_ {1}, \ dots, X_ {n}]}$ $К [X_ {1}, \ точки, X_ {n}]$ . Если V рационально, то существует n + 1 многочленов g 0,..., g n в $K (U 1,…, U d) {\ displaystyle K (U_ {1}, \ dots, U_ {d})}$ $K (U_ {1}, \ dots, U_ {d})$ такой, что $fi (g 1 / g 0,…, gn / g 0) = 0. {\ displaystyle f_ { i} (g_ {1} / g_ {0}, \ ldots, g_ {n} / g_ {0}) = 0.}$ $f_ {i} (g_ {1} / g_ {0}, \ ldots, g_ {n} / g_ {0}) = 0.$ В словах порядка у нас есть рациональная параметризация $xi = гиг 0 (u 1,…, ud) {\ displaystyle x_ {i} = {\ frac {g_ {i}} {g_ {0}}} (u_ {1}, \ ldots, u_ {d})}$ $x_ {i} = {\ frac {g_ {i}} {g_ {0}}} (u_ {1}, \ ldots, u_ {d})$ разновидности.

И наоборот, такая рациональная параметризация индуцирует гомоморфизм поля поля функций V в $K (U 1,…, U d) {\ displaystyle K (U_ { 1}, \ точки, U_ {d})}$ $K (U_ {1}, \ dots, U_ {d})$ . Но этот гомоморфизм не обязательно является на. Если такая параметризация существует, разнообразие называется унирациональным. Из теоремы Люрота (см. Ниже) следует, что унирациональные кривые рациональны. Из теоремы Кастельнуово также следует, что в нулевой характеристике любая унирациональная поверхность рациональна.

Вопросы рациональности

A вопрос рациональности спрашивает, является ли данное расширение поля рациональным в том смысле, что оно (с точностью до изоморфизма) является функциональным полем рационального разнообразия; такие расширения полей также описываются как чисто трансцендентный. Точнее, вопрос рациональности для расширения поля $K ⊂ L {\ displaystyle K \ subset L}$ $K \ subset L$ заключается в следующем: is $L {\ displaystyle L}$ $L$ изоморфен полю рациональных функций над $K {\ displaystyle K}$ $K$ по количеству неопределенностей, заданных степенью трансцендентности ?

Там есть несколько различных вариантов этого вопроса, возникающих из-за способа построения полей $K {\ displaystyle K}$ $K$ и $L {\ displaystyle L}$ $L$ .

Например, пусть $K {\ displaystyle K}$ $K$ будет полем и пусть

{y 1,…, yn} {\ displaystyle \ {y_ {1 }, \ dots, y_ {n} \}}

\ {y_ {1}, \ dots, y_ {n} \}

не определены над K, и пусть L будет полем, порожденным ими над K. Рассмотрим конечную группу $G {\ displaystyle G}$ $G$ , переставляющую эти неопределенные над K. По стандартной теории Галуа множество из фиксированных точек этого группового действия является подполем из $L {\ displaystyle L}$ $L$ , обычно обозначаемым $LG {\ displaystyle L ^ {G}}$ $L ^ {G}$ . Вопрос о рациональности для $K ⊂ LG {\ displaystyle K \ subset L ^ {G}}$ $K \ subset L ^ {G}$ называется проблемой Нётер и задает вопрос, является ли это поле неподвижных точек или нет чисто трансцендентное расширение К. В статье (Noether 1918) по теории Галуа она изучала проблему параметризации уравнений с заданной группой Галуа, которую она свела к «проблеме Нётер». (Она впервые упомянула эту проблему в (Noether 1913), где приписала проблему Э. Фишеру.) Она показала, что это верно для n = 2, 3 или 4. R. Дж. Суон (1969) нашел контрпример к проблеме Нётер, где n = 47 и G - циклическая группа порядка 47.

Теорема Люрота

Знаменитым случаем является проблема Люрота, которую Якоб Люрот решил в девятнадцатом веке. Проблема Люрота касается подрасширений L поля K (X), рациональных функций в единственном неопределенном X. Любое такое поле либо равно K, либо также рационально, то есть L = K (F) для некоторой рациональной функции F. В геометрических терминах это утверждает, что непостоянное рациональное отображение от проективной прямой до кривой C может иметь место только тогда, когда C также имеет род 0. Этот факт геометрически можно прочитать из формулы Римана – Гурвица.

. Хотя теорема Люрота часто считается неэлементарным результатом, несколько элементарных коротких доказательств были обнаружены уже давно. Эти простые доказательства используют только основы теории поля и лемму Гаусса для примитивных многочленов (см., Например).

Унирациональность

A унирациональное многообразие V над полем K - это многообразие, в котором доминирует рациональное многообразие, так что его функциональное поле K (V) лежит в чистом трансцендентном поле конечного типа (которое может быть выбирается конечной степени над K (V), если K бесконечно). Решение проблемы Люрота показывает, что для алгебраических кривых рациональное и унирациональное одинаковы, и теорема Кастельнуово подразумевает, что для сложных поверхностей унирациональность влечет рациональность, потому что обе характеризуются равенством нулю арифметики род и второй plurigenus. Зариский нашел несколько примеров (поверхностей Зарисского ) в характеристике p>0, которые унирациональны, но не рациональны. Клеменс и Гриффитс (1972) показали, что кубическая тройная в общем случае не является рациональным разнообразием, предоставив пример трех измерений, что унирациональность не предполагает рациональности. В их работе использовался промежуточный якобиан. Исковских и Манин (1971) показали, что все неособые трехмерные многообразия четвертой степени иррациональны, хотя некоторые из них унирациональны. Артин и Мамфорд (1972) нашли некоторые унирациональные трехмерные многообразия с нетривиальным кручением в их третьей группе когомологий, из чего следует, что они не рациональны.

Для любого поля K, Янош Коллар доказал в 2000 г., что гладкая кубическая гиперповерхность размерности не меньше 2 является унирациональной, если она имеет точку, определенную над K. Это является улучшением многих классических результатов, начиная со случая кубических поверхностей (которые являются рациональными многообразиями над алгебраическим замыканием). Другими примерами многообразий, которые оказались унирациональными, являются многие случаи пространства модулей кривых.

Рационально связное многообразие

A рационально связное многообразие (или однолинейное многообразие) V является проективным алгебраическим многообразием над алгебраически замкнутым полем такое, что через каждые две точки проходит изображение регулярного отображения из проективной прямой в V. Эквивалентно, многообразие является рационально связным, если каждые две точки соединены рациональной кривой, содержащейся в многообразии.

Это определение отличается от определения линейной связности только природа пути, но очень отличается, поскольку единственные алгебраические кривые, которые рационально связаны, являются рациональными.

Всякое рациональное многообразие, включая проективные пространства, рационально связно, но обратное неверно. Таким образом, класс рационально связных многообразий является обобщением класса рациональных многообразий. Унирациональные многообразия рационально связны, но не известно, верно ли обратное.

Стабильно рациональные многообразия

Многообразие V называется стабильно рациональным, если $V × P m {\ displaystyle V \ times \ mathbf {P} ^ {m}}$ ${\ displaystyle V \ times \ mathbf {P} ^ {m}}$ рационально для некоторого $m ≥ 0 {\ displaystyle m \ geq 0}$ $m \ geq 0$ . Таким образом, любое рациональное разнообразие по определению стабильно рационально. Примеры, построенные Beauville et al. (1985) показывают, что обратное неверно.

Schreieder (2018) ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFSchreieder2018 (help ) показал, что очень общие гиперповерхности $V ⊂ PN + 1 {\ displaystyle V \ подмножество \ mathbf {P} ^ {N + 1}}$ ${\ displaystyle V \ subset \ mathbf {P} ^ {N + 1}}$ не являются стабильно рациональными, при условии, что степень V не менее $log 2 ⁡ N + 2 {\ displaystyle \ log _ {2} N + 2}$ ${\ displaystyle \ log _ {2 } N + 2}$ .

См. также

Примечания

Ссылки

Артин, Майкл ; Мамфорд, Дэвид (1972), «Некоторые элементарные примеры унирациональных многообразий, которые не являются рациональными», Труды Лондонского математического общества, Третья серия, 25 : 75–95, CiteSeerX 10.1.1.121.2765, doi : 10.1112 / plms / s3-25.1.75, ISSN 0024-6115, MR 0321934
Бовиль, Арно; Коллио-Телен, Жан-Луи; Сансук, Жан-Жак; Суиннертон-Дайер, Питер (1985), "Variétés stablement rationnelles non rationnelles", Annals of Mathematics. Вторая серия, 121 (2): 283–318, doi : 10.2307 / 1971174, JSTOR 1971174, MR 0786350
Клеменс, К. Герберт ; Гриффитс, Филипп А. (1972), «Промежуточный якобиан трехмерного куба», Анналы математики, Вторая серия, 95 (2): 281 –356, CiteSeerX 10.1.1.401.4550, doi : 10.2307 / 1970801, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970801, MR 0302652
Исковских, ВА; Манин, Ю. I. (1971), «Трехмерные квартики и контрпримеры к проблеме Люрота», Математический сборник, Новая серия, 86 (1): 140–166, Bibcode : 1971SbMat..15..141I, doi : 10.1070 / SM1971v015n01ABEH001536, MR 0291172
Коллар, Янош ; Смит, Карен Э. ; Корти, Алессио (2004), Рациональные и почти рациональные разновидности, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 92, Cambridge University Press, doi : 10.1017 / CBO9780511734991, ISBN 978-0-521-83207-6, MR 2062787
Нётер, Эмми (1913), «Rationale Funkionenkorper», J. Ber. D. DMV, 22 : 316–319.
Нётер, Эмми (1918), «Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe», Mathematische Annalen, 78(1–4): 221 –229, doi : 10.1007 / BF01457099.
Свон, Р.Г. (1969), «Инвариантные рациональные функции и проблема Стинрода», Inventiones Mathematicae, 7 (2): 148–158, Bibcode : 1969InMat... 7..148S, doi : 10.1007 / BF01389798
Martinet, J. (1971), «Exp. 372 Un contre-instance à une conjecture d'E. Noether (d'après R. Swan)», Séminaire Bourbaki. Vol. 1969/70: Exposés 364–381, Lecture Notes in Mathematics, 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 0272580
Schreieder, Stefan (2019), «St устойчиво иррационально. гиперповерхности небольших склонов », Журнал Американского математического общества, 32 (4): 1171–1199, arXiv : 1801.05397, doi : 10.1090 / jams / 928