Двойственность Вердье

редактировать

В математике, двойственность Вердье двойственность в теории пучков, которая обобщает двойственность Пуанкаре для многообразий. Двойственность Вердье была введена Жан-Луи Вердье (1967, 1995) как аналог для локально компактных пространств когерентной двойственности для схемы из-за Александра Гротендика. Это часто встречается при изучении конструктивных или извращенных пучков.

Содержание

1 Двойственность Вердье
2 Двойственность Пуанкаре
3 См. Также
4 Ссылки

Двойственность Вердье утверждает, что некоторые функторы изображений для пучков на самом деле являются присоединенными функторами. Есть две версии.

Глобальная двойственность Вердье утверждает, что для непрерывного отображения $f: X → Y {\ displaystyle f \ двоеточие X \ to Y}$ ${\ displaystyle f \ двоеточие X \ to Y}$ производный функтор прямого изображения с надлежащим поддерживает $R f! {\ displaystyle Rf_ {!}}$ $Rf_ {!}$ имеет присоединенный справа $f! {\ displaystyle f ^ {!}}$ $f ^ {!}$ в производной категории связок, другими словами, для связки $F {\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$ на $X {\ displaystyle X}$ $X$ и $G {\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$ ${\ mathcal {G}}$ на $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ имеем

RH om (R f! F, G) ≅ RH om (F, f! G). {\ displaystyle RHom (Rf _ {!} {\ mathcal {F}}, {\ mathcal {G}}) \ cong RHom ({\ mathcal {F}}, f ^ {!} {\ mathcal {G}}).}

{\ displaystyle RHom (Rf _ {!} {\ Mathcal {F}}, {\ mathcal {G}}) \ cong RHom ({\ mathcal {F}}, f ^ {!} {\ Mathcal {G}}).}

Восклицательный знак часто произносится как «визг» (сленг для восклицательного знака), а карты называются « $f {\ displaystyle f}$ $f$ визг» или « $f { \ displaystyle f}$ $f$ нижний вопль "и" f верхний вопль "- см. также карту визга.

Локальная двойственность Вердье утверждает, что

RH om (R f! F, G) ≅ р е * RH ом (F, е! G) {\ Displaystyle R \, {\ mathcal {H}} ом (Rf _ {!} {\ Mathcal {F}}, {\ mathcal {G}}) \ cong Rf _ {\ ast} R \, {\ mathcal {H}} om ({\ mathcal {F}}, f ^ {!} {\ mathcal {G}})}

R \, \ mathcal {H} om (Rf _! \ mathcal {F}, \ mathcal {G}) \ cong Rf _ {\ ast} R \, \ mathcal {H} om (\ mathcal {F}, f ^! \ mathcal {G})

в производной категории пучков k модулей над Y. Важно отметить, что различие между глобальной и локальной версиями состоит в том, что первая связывает карты между пучками, тогда как вторая связывает (комплексы) пучков напрямую и поэтому может быть вычислена локально.. Взятие глобальных секций обеих сторон в локальное утверждение дает глобальную двойственность Вердье.

дуализирующий комплекс $DX {\ displaystyle D_ {X}}$ $D_ {X}$ на $X {\ displaystyle X}$ $X$ определяется как

ω X = p! (k), {\ displaystyle \ omega _ {X} = p ^ {!} (k),}

{\ displaystyle \ omega _ {X} = p ^ {!} ( k),}

, где p - это карта из $X {\ displaystyle X}$ $X$ в точка. Отчасти двойственность Вердье интересна в сингулярном контексте, потому что, когда $X {\ displaystyle X}$ $X$ не является многообразием (например, графом или сингулярным алгебраическим многообразием), то дуализирующий комплекс не является квази -изоморфен пучку, сосредоточенному в одной степени. С этой точки зрения производная категория необходима при изучении особых пространств.

Если $X {\ displaystyle X}$ $X$ является конечномерным локально компактным пространством и $D b (X) {\ displaystyle D ^ {b} (X)}$ ${\ displaystyle D ^ {b} (X)}$ ограниченная производная категория пучков абелевых групп над $X {\ displaystyle X}$ $X$ , затем двойственная категория Вердье является контравариантным функтором

D: D b (X) → D b (X) {\ displaystyle D \ двоеточие D ^ {b} (X) \ to D ^ {b} (X)}

{\ displaystyle D \ двоеточие D ^ {b} (X) \ к D ^ {b} (X)}

определяется как

D (F) = RH om (F, ω X). {\ displaystyle D ({\ mathcal {F}}) = R \, {\ mathcal {H}} om ({\ mathcal {F}}, \ omega _ {X}).}

{\ displaystyle D ({\ mathcal {F}}) = R \, {\ mathcal {H}} ом ({\ mathcal {F}}, \ omega _ {X}).}

Он имеет следующее свойства:

$D 2 (F) ≅ F {\ displaystyle D ^ {2} ({\ mathcal {F}}) \ cong {\ mathcal {F}}}$ $D ^ 2 (\ mathcal {F}) \ cong \ mathcal {F}$ для пучков с конструктивными когомологиями.
(Переплетение функторов $f ∗ {\ displaystyle f _ {*}}$ $f _ {*}$ и $f! {\ Displaystyle f_ {!}}$ $f_ {!}$ ). Если $f {\ displaystyle f}$ $f$ - это непрерывная карта от $X {\ displaystyle X}$ $X$ до $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ , то существует изоморфизм
$D (R f! (F)) ≅ R f ∗ D (F) {\ displaystyle D (Rf _ {!} ({\ Mathcal {F}})) \ cong Rf_ {\ ast} D ({\ mathcal {F}})}$ ${\ displaystyle D (Rf_ {!} ({\ mathcal {F}})) \ cong Rf _ {\ ast} D ({\ mathcal {F}})}$ .

Двойственность Пуанкаре

Двойственность Пуанкаре может быть получена как частный случай двойственности Вердье. Здесь явно вычисляются когомологии пространства с использованием механизма пучковых когомологий.

. Предположим, X - компактное ориентируемое n-мерное многообразие, k - поле и $k X {\ displaystyle k_ {X}}$ ${\ displaystyle k_ {X}}$ - постоянный пучок на X с коэффициентами при k. Пусть $f = p {\ displaystyle f = p}$ ${\ displaystyle f = p}$ будет отображением констант. Затем глобальная двойственность Вердье утверждает

[R p! k X, k] ≅ [k X, p! k]. {\ displaystyle [Rp _ {!} k_ {X}, k] \ cong [k_ {X}, p ^ {!} k].}

{\ displaystyle [Rp _ {!} k_ {X}, k] \ конг [k_ {X}, p ^ {!} k].}

Чтобы понять, как двойственность Пуанкаре получается из этого утверждения, возможно, самый простой чтобы понять обе стороны по частям. Пусть

k X → (IX ∙ = IX 0 → IX 1 → ⋯) {\ displaystyle k_ {X} \ to (I_ {X} ^ {\ bullet} = I_ {X} ^ {0} \ to I_ {X} ^ {1} \ to \ cdots)}

{\ displaystyle k_ {X} \ to (I_ {X} ^ {\ bullet} = I_ {X} ^ {0} \ to I_ {X} ^ {1} \ to \ cdots)}

- инъективная резольвента постоянного пучка. Тогда по стандартным фактам о правых производных функторах

R p! к X = р! IX ∙ = Γ c (X; IX ∙) {\ displaystyle Rp _ {!} K_ {X} = p _ {!} I_ {X} ^ {\ bullet} = \ Gamma _ {c} (X; I_ {X} ^ {\ bullet})}

Rp_! k_X = p_! I ^ {\ bullet} _X = \ Gamma_c (X; I ^ {\ bullet} _X)

- комплекс, когомологиями которого являются когомологии X с компактным носителем. Поскольку морфизмы между комплексами пучков (или векторных пространств) сами по себе образуют комплекс, мы находим, что

H om ∙ (Γ c (X; IX ∙), к) знак равно ⋯ → Γ c (X; IX 2) ∨ → Γ c (X; IX 1) ∨ → Γ c (X; IX 0) ∨ → 0 {\ displaystyle \ mathrm {Hom } ^ {\ bullet} (\ Gamma _ {c} (X; I_ {X} ^ {\ bullet}), k) = \ cdots \ to \ Gamma _ {c} (X; I_ {X} ^ {2 }) ^ {\ vee} \ to \ Gamma _ {c} (X; I_ {X} ^ {1}) ^ {\ vee} \ to \ Gamma _ {c} (X; I_ {X} ^ {0 }) ^ {\ vee} \ to 0}

\ mathrm {Hom} ^ {\ bullet} (\ Gamma_c (X; I ^ {\ bullet} _X), k) = \ cdots \ to \ Gamma_c (X; I ^ 2_X) ^ {\ vee} \ to \ Gamma_c (X; I ^ 1_X) ^ {\ vee} \ to \ Gamma_c (X; I ^ 0_X) ^ {\ vee} \ к 0

, где последний ненулевой член находится в степени 0, а единицы слева - в отрицательной степени. Морфизмы в производной категории получаются из гомотопической категории цепных комплексов пучков путем взятия нулевых когомологий комплекса, т.е.

[R p! k X, k] H 0 (H o m ∙ (Γ c (X; I X ∙), k)) = H c 0 (X; k X) ∨. {\ displaystyle [Rp _ {!} k_ {X}, k] \ cong H ^ {0} (\ mathrm {Hom} ^ {\ bullet} (\ Gamma _ {c} (X; I_ {X} ^ {\ bullet}), k)) = H_ {c} ^ {0} (X; k_ {X}) ^ {\ vee}.}

[Rp_! k_X, k] \ cong H ^ 0 (\ mathrm {Hom} ^ {\ bullet} (\ Gamma_c (X; I ^ {\ bullet} _X), k)) = H ^ 0_c (X; k_X) ^ {\ vee}.

Для другой стороны утверждения двойственности Вердье, приведенного выше, мы должны принять при условии, что когда X - компактное ориентируемое n-мерное многообразие

p! k = k X [n], {\ displaystyle p ^ {!} k = k_ {X} [n],}

p ^! k = k_X [n],

, который является дуализирующим комплексом для многообразия. Теперь мы можем переформулировать правую часть как

[k X, k X [n]] ≅ H n (H o m ∙ (k X, k X)) = H n (X; k X). {\ Displaystyle [k_ {X}, k_ {X} [n]] \ cong H ^ {n} (\ mathrm {Hom} ^ {\ bullet} (k_ {X}, k_ {X})) = H ^ {n} (X; k_ {X}).}

[k_X, k_X [n]] \ cong H ^ n (\ mathrm {Hom} ^ {\ bullet} ( k_X, k_X)) = H ^ n (X; k_X).

В итоге мы получили утверждение, что

H c 0 (X; k X) ∨ ≅ H n (X; k X). {\ displaystyle H_ {c} ^ {0} (X; k_ {X}) ^ {\ vee} \ cong H ^ {n} (X; k_ {X}).}

H ^ 0_c (X; k_X) ^ {\ vee} \ cong H ^ n (X; k_X).

Повторяя этот аргумент с пучок k X заменен тем же пучком, помещенным в степень i, мы получим классическую двойственность Пуанкаре

H ci (X; k X) ∨ ≅ H n - i (X; k X). {\ displaystyle H_ {c} ^ {i} (X; k_ {X}) ^ {\ vee} \ cong H ^ {ni} (X; k_ {X}).}

H ^ i_c (X; k_X) ^ { \ vee} \ cong H ^ {ni} (X; k_X).

См. также

Ссылки

Borel, Armand (1984), Intersection cohomology, Progress in Mathematics, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978- 0-8176-3274-8
Гельфанд, Сергей I.; Манин, Юрий Иванович (1999), Гомологическая алгебра, Берлин: Springer, ISBN 978-3-540-65378-3
Гротендик, Александр ( 1977), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1965-66 - Cohomologie l-adique et Fonctions L - (SGA 5), Lecture Notes in Mathematics, 589, Berlin, New York: Springer -Verlag, pp. Xii + 484, ISBN 978-3-540-08248-4, Exposés I и II содержат соответствующую теорию в этальной ситуации
Иверсен, Биргер (1986), Когомология пучков, Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-3-642-82783-9, ISBN 978-3-540-16389-3, MR 0842190
Кашивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2002), Пучки на многообразиях, Берлин: Springer, ISBN 3540518614
Вердье, Жан-Луи (1967), «Двойственность теорема в этальных когомологиях схем », в Springer, Tonny Albert (ed.), Proceedings of a Conference on Local Fields: NUFFIC Summer School, проведенная в Дрибергене (Нидерланды) в 1966 г., Берлин, Нью-Йорк : Springer-Verlag, стр. 184–198, ISBN 978-3-540-03953-2, MR 0230732
Вердье, Жан-Луи (1995), "Dualité dans la cohomologie des espaces localement compacts", Séminaire Bourbaki, 9, Paris: Société Mathématique de France, стр. Exp. № 300, 337–349, ISBN 978-2-85629-042-2, MR 1610971