Минимальный идеал

В ветви абстрактной алгебры, известной как теория колец, минимальный правый идеал из кольцо R - ненулевой правый идеал , который не содержит других ненулевых правых идеалов. Аналогично, минимальный левый идеал - это ненулевой левый идеал в R, не содержащий других ненулевых левых идеалов в R, а минимальный идеал в R - это ненулевой идеал, не содержащий других ненулевых двумерных идеалов. двусторонний идеал R. (Isaacs 2009, p. 190)

Другими словами, минимальные правые идеалы - это минимальные элементы poset упорядоченных по включению ненулевых правых идеалов кольца R. Читателя предупреждают, что вне этого контекста некоторые множества идеалов могут допускать нулевой идеал, и поэтому нулевой идеал потенциально может быть минимальным элементом в этом множестве. Это имеет место для ч.у. набора простых идеалов кольца, которое может включать нулевой идеал как минимальный простой идеал.

• 1 Определение
• 2 Свойства
• 3 Обобщение
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Определение минимального правого идеала N кольца R эквивалентно следующим условиям:

• N ненулевое и если K - правый идеал в R с {0} ⊆ K ⊆ N, то либо K = {0}, либо K = N.
• N - простой правый R-модуль.

Минимальные правые идеалы - это двойственное понятие к максимальным правым идеалам.

Многие стандартные факты о минимальных идеалах можно найти в стандартных текстах, таких как (Anderson Fuller 1992), (Isaacs 2009), (Lam 2001) и (Lam 1999).

• В кольце с единицей всегда существуют максимальные правые идеалы. Напротив, минимальные правые, левые или двусторонние идеалы в кольце с единством могут не существовать.
• Правый цоколь кольца $soc\; (RR)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{soc\}\; (R\_\; \{R\})\}$- важная структура, определенная в терминах минимальных правых идеалов R.
• Кольца, для которых каждый правый идеал содержит минимальный правый идеал являются в точности кольцами с существенным правым цоколем.
• Любое правое артиново кольцо или правое кольцо Каша имеет минимальный правый идеал.
• Области, которые не тела не имеют минимальных правых идеалов.
• В кольцах с единицей минимальные правые идеалы обязательно являются главными правыми идеалами, потому что для любого ненулевого x в минимальном правый идеал N, множество xR является ненулевым правым идеалом кольца R внутри N, поэтому xR = N.
• Лемма Брауэра: Любой минимальный правый идеал N в кольце R удовлетворяет N = {0} или N = eR для некоторого идемпотентного элемента e из R. (Lam 2001, стр. 162)
• Если N 1 и N 2 неизоморфны минимальным r Для двух идеалов кольца R произведение N 1N2равно {0}.
• Если N 1 и N 2 - различные минимальные идеалы кольца R, то N 1N2= {0}.
• A простое кольцо с минимальным правым идеалом является полупростым кольцом.
• В полупервичном кольце существует минимальный правый идеал тогда и только тогда, когда существует минимальный левый идеал. (Lam 2001, p. 174)

Ненулевой подмодуль N правого модуля M называется минимальным подмодулем, если он не содержит других ненулевых подмодули M. Эквивалентно N ненулевой подмодуль M, который является простым модулем. Это также может быть расширено до бимодулей путем вызова ненулевого суббимодуля N минимальным суббимодулем модуля M, если N не содержит других ненулевых суббимодулей.

Если в качестве модуля M взять правый R-модуль R R, то очевидно, что минимальные подмодули - это в точности минимальные правые идеалы R. Аналогично, минимальные левые идеалы R - в точности минимальные подмодули левого модуля R R. В случае двусторонних идеалов мы видим, что минимальные идеалы R являются в точности минимальными подбимодулями бимодуля RRR.

. Как и в случае с кольцами, нет гарантии, что минимальные подмодули существуют в модуле. Минимальные подмодули могут использоваться для определения цоколя модуля.

• Anderson, Frank W.; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей, Graduate Texts in Mathematics, 13(2 ed.), New York: Springer-Verlag, pp. X + 376, ISBN 0-387-97845-3, MR 1245487
• Айзекс, И. Мартин (2009) [1994], Алгебра: курс для аспирантов, Аспирантура по математике, 100, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. Xii + 516, ISBN 978-0-8218-4799-2, MR 2472787
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам, Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428 -5, MR 1653294
• Лам, Т.Ю. (2001), Первый курс некоммутативных колец, Тексты для выпускников по математике, 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx + 385, ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439

• http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Minimal_ideal