Целочисленный элемент

В коммутативной алгебре элемент b из коммутативного кольца B называется быть целым над A, подкольцом кольца B, если в A имеется n ≥ 1 и j, такие что

$bn\; +\; an\; -\; 1\; bn\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; a\; 1\; b\; +\; a\; 0\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{n\}\; +\; a\_\; \{n-1\}\; b\; ^\; \{n-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{1\}\; b\; +\; a\_\; \{0\}\; =\; 0.\}$

Другими словами, b является корнем монического многочлена над A. Набор элементов B, целых над A, называется интегральным замыканием A в B. Это подкольцо B, содержащее A. Если каждый элемент B цел над A, то мы говорим, что B является целым над A, или, что то же самое, B является интегралом расширение A.

Если A, B - поля, то понятия «целое над» и «целое расширение» в точности являются «алгебраическим над» и «алгебраическими расширениями "в теории поля (поскольку корень любого многочлена - это корень монического многочлена).

Наибольший интерес в теории чисел представляет случай комплексных чисел, целых над Z (например, $2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\; \}\}$или $1\; +\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; +\; i\}$); в этом контексте интегральные элементы обычно называются целыми алгебраическими числами. Алгебраические целые числа в поле конечного расширения k рациональных чисел Qобразуют подкольцо k, называемое кольцом целых чисел k, центральным объектом изучения в теория алгебраических чисел.

В этой статье термин кольцо будет пониматься как коммутативное кольцо с мультипликативной единицей.

• 1 Примеры
  • 1.1 Целочисленное замыкание в алгебраической теории чисел
    • 1.1.1 Целочисленное замыкание целых чисел в рациональных числах
    • 1.1.2 Квадратичные расширения
    • 1.1.3 Корни единства
    • 1.1.4 Кольцо алгебраических целых чисел
    • 1.1.5 Другое
  • 1.2 Целочисленное замыкание в геометрии
  • 1.3 Целостность в алгебре
• 2 Эквивалентные определения
• 3 Элементарные свойства
  • 3.1 Формы интегрального замыкания a кольцо
  • 3.2 Транзитивность целочисленности
  • 3.3 Интеграл, замкнутый в поле дробей
    • 3.3.1 Транзитивность целочисленного замыкания с целозамкнутыми областями
      • 3.3.1.1 Транзитивность в алгебраической теории чисел
    • 3.3.2 Замечания
  • 3.4 Связь с условиями конечности
• 4 Интегральные расширения
  • 4.1 Теоремы Коэна-Зайденберга
    • 4.1.1 Приложения
    • 4.1.2 Геометрическая интерпретация восходящего движения
    • 4.1.3 Геометрическая интерпретация интеграла расширения
  • 4.2 Целостность, замена базы, универсально замкнутая и геометрия
  • 4.3 Действия Галуа на интегральных расширениях целозамкнутых областей
    • 4.3.1 Приложение к теории алгебраических чисел
    • 4.3.2 Замечания
• 5 Интегральное замыкание
• 6 Проводник
• 7 Конечность интегрального замыкания
• 8 Лемма Нётер о нормализации
• 9 Интегральные морфизмы
• 10 Абсолютное интегральное замыкание
• 11 См. Также
• 12 Примечания
• 13 Ссылки
• 14 Дополнительная литература

Целочисленное замыкание в теории алгебраических чисел

Есть много примеров целочисленного замыкания, которое можно найти в теории алгебраических чисел, поскольку оно является фундаментальным для определения кольца целых чисел для расширения алгебраического поля $K\; /\; Q\; \{\; \backslash \; displaystyle\; K\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$(или $L\; /\; Q\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; \_\; \{p\}\}$).

Целочисленное замыкание целых чисел в рациональных числах

Целые числа - единственные элементы Q, которые являются целыми над Z . Другими словами, Z - это целое замыкание Z в Q.

Квадратичных расширениях

Гауссовские целые числа, являются комплексными числами форма $a\; +\; b\; -\; 1,\; a,\; b\; \in \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; +\; b\; \{\backslash \; sqrt\; \{-1\}\},\; a,\; b\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\}$и являются целыми по Z. $Z\; [-\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; [\{\backslash \; sqrt\; \{-1\}\}]\}$тогда является интегральным замыканием Z в $Q\; (-\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{-1\}\})\}$. Обычно это кольцо обозначается $OQ\; [i]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\; [i]\}\}$.

Интегральное замыкание Z в $Q\; (5)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{5\}\})\}$- это кольцо

$OQ\; [5]\; =\; Z\; [1\; +\; 5\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\; [\{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}]\}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; \{2\; \}\}\; \backslash \; right]\}$

этот и предыдущий примеры являются примерами целых квадратичных чисел. Целочисленное замыкание квадратичного расширения $Q\; (d)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{d\}\})\}$можно найти, построив минимальный многочлен произвольного элемента $a\; +\; bd\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; +\; b\; \{\backslash \; sqrt\; \{d\}\}\}$и нахождение теоретико-числового критерия того, что полином имеет целые коэффициенты. Этот анализ можно найти в статье о квадратичных расширениях.

Корни единицы

Пусть ζ будет корнем из единицы. Тогда интегральное замыкание Z в циклотомическом поле Q(ζ) равно Z [ζ]. Это можно найти, используя минимальный многочлен и критерий Эйзенштейна.

Кольцо алгебраических целых чисел

Целочисленное замыкание Z в поле комплексные числа C, или алгебраическое замыкание $Q\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\}\}$, называется кольцом целых алгебраических чисел..

Другое

Корни из единства, нильпотентные элементы и идемпотентные элементы в любом кольце являются целыми над Z.

Интегральным замыканием в geometry

В геометрии интегральное замыкание тесно связано с нормализацией и нормальными схемами. Это первый шаг в разрешении сингулярностей, так как он дает процесс разрешения сингулярностей коразмерности 1.

• Например, интегральное замыкание $C\; [x,\; y,\; z]\; /\; (\; ху)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x,\; y,\; z]\; /\; (xy)\}$- это кольцо $C\; [x,\; z]\; \times \; C\; [y,\; z]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x,\; z]\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [y,\; z]\}$, поскольку геометрически первое кольцо соответствует $xz\; \{\backslash \; displaystyle\; xz\}$-плоскость, объединенная с $yz\; \{\backslash \; displaystyle\; yz\}$-плоскостью. У них есть особенность коразмерности 1 вдоль $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$-оси, где они пересекаются.

• Пусть конечная группа G действует на кольце A. Тогда A является целым над A набором элементов, фиксированных G. См. кольцо инвариантов.
• Пусть R - кольцо и единица u в кольце, содержащем R. Тогда

1. u цело над R тогда и только тогда, когда u ∈ R [u].
2. $R\; [u]\; \cap \; R\; [u\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; [u]\; \backslash \; cap\; R\; [u\; ^\; \{-\; 1\}]\}$является целым над R.
3. Целочисленное замыкание однородного координатного кольца нормального проективного многообразия X - это кольцо сечений

$⨁\; n\; \ge \; 0\; H\; 0\; \; (X,\; OX\; (n)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; \backslash \; operatorname\; \{H\}\; ^\; \{0\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\; (n)).\}$

Целостность в алгебре

• Если $k\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{k\}\}\}$является алгебраическим замыканием поля k, то $k\; ¯\; [x\; 1,\dots ,\; xn]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{k\}\}\; [x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n\}]\}$является целым над $k\; [x\; 1,\dots ,\; xn].\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; [x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n\}].\}$
• Целочисленное замыкание C [[x]] в конечном расширении C ((x)) имеет форму $C\; [[x\; 1\; /\; n]]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; [[x\; ^\; \{1\; /\; n\}]]\}$(cf. Серия Пюизо )

Пусть B - кольцо, а A - подкольцо B. Для элемента b в B следующие условия эквивалентны:

(i) b является целым над A;

(ii) подкольцо A [b] кольца B, порожденное A, и b является конечно порожденным A-модулем ;

(iii) существует подкольцо C модуля B, содержащего A [b] и являющегося конечно порожденным A-модулем;

(iv) существует точный A [b] -модуль M такой, что M конечно порожден как A-модуль.

Обычное доказательство этого использует следующий вариант теоремы Кэли – Гамильтона о детерминантах :

Теорема Пусть u эндоморфизм A -модуль M, порожденный n элементами, а I - идеал A, такой что $u\; (M)\; \subset \; IM\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (M)\; \backslash \; subset\; IM\}$. Тогда существует соотношение:

$u\; n\; +\; a\; 1\; u\; n\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; a\; n\; -\; 1\; u\; +\; a\; n\; =\; 0,\; a\; i\; \in \; I\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; ^\; \{n\}\; +\; a\_\; \{1\}\; u\; ^\; \{n-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n-1\}\; u\; +\; a\_\; \{n\}\; =\; 0,\; \backslash ,\; a\_\; \{i\}\; \backslash \; in\; I\; ^\; \{\; i\}.\}$

Эта теорема (с I = A и умножением u на b) дает (iv) ⇒ (i), а остальное несложно. По совпадению лемма Накаямы также является непосредственным следствием этой теоремы.

Целостное замыкание образует кольцо

Из приведенных выше четырех эквивалентных утверждений следует, что набор элементов $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$, которые являются целыми над $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, образует подкольцо $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$, содержащее $A\; \{\backslash \; displaystyle\; А\}$. (Доказательство: если x, y являются элементами $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$, которые являются целыми над $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, то $x\; +\; y,\; xy,\; -\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; +\; y,\; xy,\; -x\}$являются целыми по $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, поскольку они стабилизируют $A\; [x]\; A\; [y]\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; [x]\; A\; [y]\}$, который является конечно сгенерированным модулем над $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и является аннулируется только нулем.) Это кольцо называется интегральным замыканием элемента $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$в $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$.

Транзитивность Целостность

Другим следствием вышеуказанной эквивалентности является то, что «целостность» транзитивна в следующем смысле. Пусть $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$будет кольцом, содержащим $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$и $c\; \in \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; \backslash \; in\; C\}.$. Если $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$является целым от $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$и $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$интеграл по $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, тогда $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$является целым по $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$. В частности, если $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$сам является целым над $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$и $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$является целым по $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, тогда $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$также является целым по $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$.

Целое закрытие в поле дроби

Если $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$оказывается целым закрытием $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$в $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$, тогда A называется целиком замкнутым в $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$. Если $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$- это общее кольцо дробей из $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$(например, поле дробей, когда $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$является областью целостности), тогда иногда опускается квалификация «в $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$» и просто говорит: «Целое закрытие $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$» и «$A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$является целиком закрытым ». Например, кольцо целых чисел $OK\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{K\}\}$целиком замкнуто в поле $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$.

Транзитивность интегрального замыкания с целочисленно замкнутыми областями

Пусть A - область целостности с полем частных K, а A '- целочисленное замыкание A в расширении алгебраического поля L поля K. Тогда поле дробей A 'равно L. В частности, A' является интегрально замкнутой областью.

Транзитивностью в теории алгебраических чисел

Эта ситуация применима в алгебраической теории чисел при связывании кольца целые числа и расширение поля. В частности, с учетом расширения поля $L\; /\; K\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; /\; K\}$интегральное замыкание $OK\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{K\}\}$в $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$- это кольцо целых чисел $OL\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{L\}\}$.

Примечания

Обратите внимание, что транзитивность приведенной выше целочисленности подразумевает, что если $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$является целым над $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, то $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$- объединение (эквивалентно индуктивный предел ) подколец, которые конечным образом генерируются $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$-модули.

Если $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$равно noetherian, транзитивность целочисленности может быть ослаблена до утверждения:

Существует конечно порожденный $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$-подмодуль $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$, содержащий $A\; [b]\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; [b]\}$.

Связь с условиями конечности

Наконец, предположение, что $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$является подкольцом $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$можно немного доработать. Если $f:\; A\; \to \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; A\; \backslash \; to\; B\}$является кольцевым гомоморфизмом, то говорят, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$равно целому, если $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$является целым над $f\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (A)\}$. Таким же образом говорят, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является конечным ($B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$конечно сгенерированным $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$-module) или конечного типа ($B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$конечно сгенерированного $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$-алгебра). С этой точки зрения,

$f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$конечно тогда и только тогда, когда $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является целым и имеет конечный тип.

Или, точнее,

$B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$является конечно сгенерированным $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$-модулем тогда и только тогда, когда $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$создается как $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$-алгебра конечным числом элементов, целых над $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$.

Теоремы Коэна-Зайденберга

Целочисленное расширение A ⊆ B имеет свойство восходящего движения, свойство , лежащее над, а также свойство несравнимости (теоремы Коэна – Зайденберга ). Явно дана цепочка простых идеалов $p\; 1\; \subset \; \cdots \; \subset \; pn\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; subset\; \backslash \; cdots\; \backslash \; subset\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \_\; \{n\}\}$в A существует $p\; 1\; \prime \; \subset \; \cdots \; \subset \; pn\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \text{'}\_\; \{1\}\; \backslash \; subset\; \backslash \; cdots\; \backslash \; subset\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\text{'}\; \_\; \{n\}\}$в B с $pi\; =\; pi\; \prime \; \cap \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \text{'}\_\; \{i\}\; \backslash \; cap\; A\}$(поднимающийся и лежащий наверху) и два различных простых идеала с отношением включения не могут стягиваться в один и тот же простой идеал (несравнимость). В частности, размеры Крулля для A и B одинаковы. Кроме того, если A - целозамкнутая область, то имеет место спад (см. Ниже).

В общем, подъем подразумевает перерыв. Таким образом, ниже мы просто говорим «подъем», чтобы означать «подъем» и «лежание».

Когда A, B - области, такие, что B является целым над A, A является полем тогда и только тогда, когда B является полем. Как следствие: дан простой идеал $q\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{q\}\}\}$of B, $q\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{q\}\}\}$является максимальным идеалом B тогда и только тогда, когда $q\; \cap \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{q\}\}\; \backslash \; cap\; A\}$является максимальный идеал в A. Еще одно следствие: если L / K - алгебраическое расширение, то любое подкольцо L, содержащее K, является полем.

Приложения

Пусть B - кольцо, целое над подкольцом A, а k - алгебраически замкнутое поле. Если $f:\; A\; \to \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; A\; \backslash \; to\; k\}$является гомоморфизмом, то f продолжается до гомоморфизма B → k. Это следует из взлета.

Геометрическая интерпретация восходящего движения

Пусть $f:\; A\; \to \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; A\; \backslash \; to\; B\}$является интегральным продолжением колец. Тогда индуцированное отображение

$\{f\; \#:\; Spec\; \; B\; \to \; Spec\; \; A\; p\; \mapsto \; f\; -\; 1\; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; f\; ^\; \{\backslash \; \#\}:\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; B\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; A\; \backslash \backslash \; p\; \backslash \; mapsto\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (p)\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

- это закрытая карта ; на самом деле $f\; \#\; (V\; (I))\; =\; V\; (f\; -\; 1\; (I))\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{\backslash \; \#\}\; (V\; (I))\; =\; V\; (f\; ^\; \{-\; 1\}\; (I))\}$для любого идеала I и $f\; \#\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{\backslash \; \#\}\}$сюръективно, если f инъективно. Это геометрическая интерпретация восходящего движения.

Геометрическая интерпретация интегральных расширений

Пусть B - кольцо, а A - подкольцо, которое является нётеровой интегрально замкнутой областью (т. Е. $Spec\; \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; A\}$- это нормальная схема.) Если B является целым над A, то $Spec\; \; B\; \to \; Spec\; \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; B\; \backslash \; to\; \backslash \; имя\; оператора\; \{Spec\}\; A\}$есть; то есть топология $Spec\; \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; A\}$- это факторная топология. Доказательство использует понятие конструктивных множеств. (См. Также: торсор (алгебраическая геометрия).)

Целостность, изменение базы, универсально замкнутая и геометрия

Если $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \}$является целым по $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, затем $B\; \otimes \; AR\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \backslash \; otimes\; \_\; \{A\}\; R\}$является целым над R для любой A-алгебры R. В частности, $Spec\; \; (B\; \otimes \; AR)\; \to \; Spec\; \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; (B\; \backslash \; otimes\; \_\; \{A\}\; R)\; \backslash \; to\; \backslash \; имя\; оператора\; \{Spec\}\; R\}$закрыто; то есть интегральное расширение индуцирует отображение «универсально замкнутое ». Это приводит к геометрической характеристике интегрального расширения. А именно, пусть B - кольцо только с конечным числом минимальных простых идеалов (например, область целостности или нётерово кольцо). Тогда B является целым над a (подкольцом) A тогда и только тогда, когда $Spec\; \; (B\; \otimes \; AR)\; \to \; Spec\; \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; (B\; \backslash \; otimes\; \_\; \{A\}\; R)\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; R\}$замкнут для любой A-алгебры R. В частности, каждое собственное отображение универсально замкнуто.

Действия Галуа на целочисленных расширениях целозамкнутых областей

Предложение. Пусть A - целозамкнутая область с полем частных K, L - конечное нормальное расширение области K, B - целое замыкание A в L. Тогда группа $G\; =\; Gal\; \; (L\; /\; K)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (L\; /\; K)\}$действует транзитивно на каждое волокно $Spec\; \; B\; \to \; Spec\; \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; B\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; A\}$.

Доказательство. Предположим, $p\; 2\; \ne \; \sigma \; (p\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; neq\; \backslash \; sigma\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \_\; \{1\})\}$для любого $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \}$в G. Затем, по простому избеганию, существует элемент x в $p\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \_\; \{2\}\}$такой, что $\sigma \; (x)\; \notin \; p\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (x)\; \backslash \; not\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \_\; \{1\}\}$для любого $\sigma \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sigma\}$. G фиксирует элемент $y\; =\; \prod \; \sigma \; \sigma \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \backslash \; prod\; \backslash \; nolimits\; \_\; \{\backslash \; sigma\}\; \backslash \; sigma\; (x)\}$, и поэтому y полностью неотделим над K. Тогда некоторая мощность $ye\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{e\}\}$принадлежит K; поскольку A целозамкнуто, имеем: $y\; e\; \in \; A.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{e\}\; \backslash \; in\; A.\}$Таким образом, мы обнаружили, что $ye\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{e\}\}$находится в $p\; 2\; \cap \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; cap\; A\}$, но не в $p\; 1\; \cap \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; крышка\; A\}$; т. е. $п\; 1\; \cap \; A\; \ne \; p\; 2\; \cap \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; cap\; A\; \backslash \; neq\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; cap\; A\}$.

Приложение к теории алгебраических чисел

Группа Галуа $Gal\; \; (L\; /\; K)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (L\; /\; K)\}$затем действует на все простые идеалы $q\; 1,\dots ,\; qk\; \in \; Spec\; (OL)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{q\}\}\; \_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; \{\backslash \; mathfrak\; \{q\}\}\; \_\; \{k\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; текст\; \{Spec\}\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{L\})\}$, лежащий над фиксированным простым идеалом $p\; \in \; Spec\; (OK)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; text\; \{Spec\}\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{K\})\}$. То есть, если

$p\; =\; q\; 1\; e\; 1\; \cdots \; qkek\; \subset \; OL\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; =\; \{\backslash \; mathfrak\; \{q\}\}\; \_\; \{1\}\; ^\; \{e\_\; \{1\}\}\; \backslash \; cdots\; \{\backslash \; mathfrak\; \{q\}\}\; \_\; \{k\}\; ^\; \{e\_\; \{k\}\}\; \backslash \; subset\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{L\}\}$

то есть действие Галуа на множестве $S\; p\; =\; \{q\; 1,\dots ,\; qk\}\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \_\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; =\; \backslash \; \{\{\backslash \; mathfrak\; \{q\}\}\; \_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; \{\backslash \; mathfrak\; \{q\}\}\; \_\; \{k\}\; \backslash \}\}$. Это называется расщеплением простых идеалов в расширениях Галуа.

Замечания

Та же идея в доказательстве показывает, что если $L\; /\; K\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; /\; K\}$является полностью неотделимым расширением (не обязательно нормальным), тогда $Spec\; \; B\; \to \; Spec\; \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; B\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; A\}$является биективный.

Пусть A, K и т. Д., Как и раньше, но предположим, что L является только конечным расширением поля K. Тогда

(i) $Spec\; \; B\; \to \; Spec\; \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{\; Spec\}\; B\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; A\}$имеет конечные слои.

(ii) движение вниз выполняется между A и B: для данного $p\; 1\; \subset \; \cdots \; \subset \; pn\; =\; pn\; \prime \; \cap \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; subset\; \backslash \; cdots\; \backslash \; subset\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \text{'}\_\; \{n\}\; \backslash \; cap\; A\}$, существует $p\; 1\; \prime \; \subset \; \cdots \; \subset \; pn\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \text{'}\_\; \{1\}\; \backslash \; subset\; \backslash \; cdots\; \backslash \; subset\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\; \}\}\; \text{'}\_\; \{n\}\}$, который сжимается с ним.

Действительно, в обоих операторах, увеличивая L, мы можем предположить, что L является нормальным расширением. Тогда (i) немедленно. Что касается (ii), по мере роста мы можем найти цепочку $pi\; ″\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \text{'}\text{'}\; \_\; \{i\}\}$, которая сокращается до $pi\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \text{'}\_\; \{i\}\}$. По транзитивности существует $\sigma \; \in \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \backslash \; in\; G\}$такое, что $\sigma \; (pn\; ″)\; =\; pn\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{p\; \}\}\; \text{'}\text{'}\; \_\; \{n\})\; =\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \text{'}\_\; \{n\}\}$, а затем $pi\; \prime \; =\; \sigma \; (pi\; ″)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\; \}\}\; \text{'}\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; sigma\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\text{'}\; \text{'}\_\; \{i\})\}$- желаемая цепочка.

Пусть A ⊂ B - кольца, а A 'целочисленное замыкание A в B. (См. Определение выше.)

Целочисленные замыкания хорошо себя ведут при различные конструкции. В частности, для мультипликативно замкнутого подмножества S из A, локализация SA 'является интегральным замыканием SA в SB, и $A\text{'}\; [t]\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \text{'}\; [t]\}$- это интегральное замыкание $A\; [t]\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; [t]\}$в $B\; [t]\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; [t]\; ]\}$. Если $A\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{i\}\}$являются подкольцами колец $B\; i,\; 1\; \le \; i\; \le \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{i\},\; 1\; \backslash \; leq\; i\; \backslash \; leq\; n\; \}$, тогда интегральное замыкание $\prod \; A\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; prod\; A\_\; \{i\}\}$в $\prod \; B\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; prod\; B\_\; \{i\; \}\}$равно $\prod \; A\; i\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; prod\; \{A\_\; \{i\}\}\; \text{'}\}$где $A\; i\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \{A\_\; \{i\}\; \}\; \text{'}\}$- интегральные замыкания $A\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{i\}\}$в $B\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{i\}\}$.

Целостное замыкание локального кольца A, скажем, в B не обязательно должно быть локальным. (В этом случае кольцо называется unibranch.) Это имеет место, например, когда A является гензелевским, а B является расширением поля поля дробей A.

Если A является подкольцом поля K, то целое замыкание A в K является пересечением всех колец оценки поля K, содержащих A.

Пусть A быть $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$-градуированным подкольцом $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$-градуированным кольцом B. Тогда интегральное замыкание A в B является $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$-градуированным подкольцом B.

Существует также концепция интегральное замыкание идеала. Интегральное замыкание идеала $I\; \subset \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \backslash \; subset\; R\}$, обычно обозначается $I\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{I\}\}\}$, - это набор всех элементов $r\; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; in\; R\}$таких, что существует монический многочлен

$xn\; +\; a\; 1\; xn\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; an\; -\; 1\; x\; 1\; +\; an\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{n\}\; +\; a\_\; \{1\}\; x\; ^\; \{n-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n-1\}\; x\; ^\; \{1\}\; +\; a\_\; \{n\}\}$

с $ai\; \in \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\; \backslash \; in\; I\}$с $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$в качестве корня. Обратите внимание, что это определение появляется, например, в Eisenbud и отличается от определения Бурбаки и Атьи – Макдональда.

Для нётеровых колец также есть альтернативные определения.

• $r\; \in \; I\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; in\; \{\backslash \; overline\; \{I\}\}\}$, если существует $c\; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; \backslash \; in\; R\}$не содержится ни в каком минимальном простом числе, так что $crn\; \in \; I\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; cr\; ^\; \{n\}\; \backslash \; in\; I\; ^\; \{n\}\}$для всех $n\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; geq\; 1\}$.
• $r\; \in \; I\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; in\; \{\backslash \; overline\; \{I\}\}\}$если в нормализованном увеличении I оттягивание r содержится в прообраз I. Раздутие идеала - это операция схем, которая заменяет данный идеал главным идеалом. Нормализация схемы - это просто схема, соответствующая целочисленному замыканию всех ее колец.

Понятие целочисленного замыкания идеала используется в некоторых доказательствах теоремы о понижении.

Пусть B - кольцо, а A - подкольцо в B такое, что B цело над A. Тогда аннигилятор A-модуля B / A называется проводником A в B. Поскольку это понятие происходит из теории алгебраических чисел, проводник обозначается как $f\; =\; f\; (B\; /\; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{f\}\}\; =\; \{\backslash \; mathfrak\; \{f\}\}\; (B\; /\; A)\}$. Явно $f\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{f\}\}\}$состоит из таких элементов a в A, что $a\; B\; \subset \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; aB\; \backslash \; subset\; A\}$. (см. идеализатор в абстрактной алгебре.) Это самый большой идеал в A, который также является идеалом в B. Если S - мультипликативно замкнутое подмножество A, то

$S\; -\; 1\; е\; (B\; /\; A)\; =\; е\; (S\; -\; 1\; B\; /\; S\; -\; 1\; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{f\}\}\; (B\; /\; A)\; =\; \{\backslash \; mathfrak\; \{f\}\; \}\; (S\; ^\; \{-\; 1\}\; B\; /\; S\; ^\; \{-\; 1\}\; A)\}$.

Если B является подкольцом тотального кольца дробей кольца A, то мы можем идентифицировать

$f\; (B\; /\; A)\; =\; Hom\; A\; \; (B,\; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash \; mathfrak\; \{f\}\}\; (B\; /\; A)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; \_\; \{A\}\; (B,\; A)\}$.

Пример : Пусть k будет полем и пусть $A\; =\; k\; [t\; 2,\; t\; 3]\; \subset \; B\; =\; k\; [t]\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; k\; [t\; ^\; \{2\},\; t\; ^\; \{3\}]\; \backslash \; subset\; B\; =\; k\; [t]\}$(т. е. A - координатное кольцо аффинной кривой $x\; 2\; =\; y\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; =\; y\; ^\; \{3\}\}$.) B - интегральное замыкание A в $k\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; (t)\}$. Проводником A в B является идеал $(t\; 2,\; t\; 3)\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; (t\; ^\; \{2\},\; t\; ^\; \{3\})\; A\}$. В более общем смысле, проводник $A\; =\; k\; [[ta,\; tb]]\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; k\; [[t\; ^\; \{a\},\; t\; ^\; \{b\}]]\}$, a, b относительно простое, равно $(tc,\; tc\; +\; 1,\dots )\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; (t\; ^\; \{c\},\; t\; ^\; \{c\; +\; 1\},\; \backslash \; dots)\; A\}$с $c\; =\; (a\; -\; 1)\; (b\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; =\; (a-1)\; (b-1)\}$.

Предположим, что B - целочисленное замыкание области целостности A в поле долей A такой, что A-модуль $B\; /\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; /\; A\}$конечно генерируется. Тогда проводник $f\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{f\}\}\}$из A является идеалом, определяющим поддержку $B\; /\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; /\; A\}$; таким образом, A совпадает с B в дополнении к $V\; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{f\}\})\}$в $Spec\; \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{\; Spec\}\; A\}$. В частности, множество $\{p\; \in \; Spec\; \; A\; \mid \; A\; p\; целозамкнуто\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\}\; \backslash \; in\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; A\; \backslash \; mid\; A\; \_\; \{\backslash \; mathfrak\; \{p\}\; \}\; \{\backslash \; text\; \{целиком\; замкнуто\}\}\; \backslash \}\}$, дополнение к $V\; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{f\}\})\}$, это открытый набор.

Важный, но трудный вопрос - конечность целочисленного замыкания конечно порожденной алгебры. Есть несколько известных результатов.

Целостное замыкание дедекиндовской области в конечном расширении поля дробей является дедекиндовской областью; в частности, нётеровское кольцо. Это следствие теоремы Крулля – Акизуки. В общем, интегральное замыкание нётеровой области размерности не более 2 является нётеровым; Нагата привел пример нётеровой области размерности 3, интегральное замыкание которой не является нётеровым. Более приятное утверждение: интегральное замыкание нётеровой области - это область Крулля (теорема Мори – Нагаты ). Нагата также привел пример нётеровой локальной области размерности 1, в которой интегральное замыкание не является конечным над этой областью.

Пусть A - нётерова интегрально замкнутая область с полем дробей K. Если L / K конечное разделимое расширение, то интегральное замыкание $A\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \text{'}\}$модуля A в L является конечно порожденным A-модулем. Это просто и стандартно (использует тот факт, что след определяет невырожденную билинейную форму.)

Пусть A - конечно порожденная алгебра над полем k, которое является областью целостности с полем дробей K. Если L является конечным расширением K, тогда интегральное замыкание $A\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \text{'}\}$модуля A в L является конечно порожденным A-модулем, а также конечно порожденной k-алгеброй. Результат принадлежит Нётер и может быть показан с помощью леммы нормализации Нётер следующим образом. Ясно, что достаточно показать утверждение, когда L / K либо отделимо, либо чисто неотделимо. Разделимый случай отмечен выше; таким образом, предположим, что L / K полностью неразделимы. По лемме о нормализации A цело над кольцом многочленов $S\; =\; k\; [x\; 1,...,\; x\; d]\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; k\; [x\_\; \{1\},...,\; x\_\; \{d\}]\}$. Поскольку L / K является конечным полностью неотделимым расширением, существует степень q простого числа такая, что каждый элемент L является корнем q-й степени элемента в K. Пусть $k\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \text{'}\}$- конечное расширение поля k, содержащее все корни q-й степени из коэффициентов конечного числа рациональных функций, порождающих L. Тогда имеем: $L\; \subset \; k\; \prime \; (x\; 1\; 1\; /\; q,...,\; xd\; 1\; /\; q).\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \backslash \; subset\; k\; \text{'}(x\_\; \{1\}\; ^\; \{1\; /\; q\},...,\; x\_\; \{d\}\; ^\; \{1\; /\; q\}).\}$Кольцо справа - это поле дробей $k\; \prime \; [x\; 1\; 1\; /\; q,...,\; xd\; 1\; /\; q]\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \text{'}[x\_\; \{1\}\; ^\; \{1\; /\; q\},...,\; x\_\; \{d\}\; ^\; \{1\; /\; q\}]\}$, который является интегралом закрытие S; таким образом, содержит $A\; \text{'}\{\backslash \; displaystyle\; A\text{'}\}$. Следовательно, $A\; \text{'}\{\backslash \; displaystyle\; A\text{'}\}$конечно над S; a fortiori, над A. Результат останется верным, если мы заменим k на Z.

Целостное замыкание полной локальной нётеровой области A в конечном расширении поля частных A конечно над A. Точнее, для локальной Нетерово кольцо R, мы имеем следующие цепочки импликаций:

(i) Полное $\Rightarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Rightarrow\}$A является кольцом Нагаты

(ii) A - область Нагаты $\Rightarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Rightarrow\}$A аналитически неразветвленная $\Rightarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Rightarrow\}$интегральное замыкание завершения $A\; ^\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash widehat\; \{A\}\}\}$is finite over $A\; ^\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash widehat\; \{A\}\}\}$$\Rightarrow \; \{\backslash displaystyle\; \backslash Rightarrow\; \}$the integral closure of A is finite over A.

Noether's normalisation lemma is a theorem in commutative algebra. Given a field K and a finitely generated K-algebra A, the theorem says it is possible to find elements y1, y2,..., ymin A that are algebraically independent over K such that A is finite (and hence integral) over B = K[y1,..., ym]. Thus the extension K ⊂ A can be written as a composite K ⊂ B ⊂ A where K ⊂ B is a purely transcendental extension and B ⊂ A is finite.

In algebraic geometry, a morphism $f\; :\; X\; \to \; Y\; \{\backslash displaystyle\; f:X\backslash to\; Y\}$of schemes is integral if it is affine and if for some (equivalently, every) affine open cover $U\; i\; \{\backslash displaystyle\; U\_\{i\}\}$of Y, every map $f\; -\; 1\; (\; U\; i)\; \to \; U\; i\; \{\backslash displaystyle\; f^\{-1\}(U\_\{i\})\backslash to\; U\_\{i\}\}$is of the form $Spec\; \; (\; A)\; \to \; Spec\; \; (\; B)\; \{\backslash displaystyle\; \backslash operatorname\; \{Spec\}\; (A)\backslash to\; \backslash operatorname\; \{Spec\}\; (B)\}$where A is an integral B-algebra. The class of integral morphisms is more general than the class of finite morphisms because there are integral extensions that are not finite, such as, in many cases, the algebraic closure of a field over the field.

Let A be an integral domain and L (some) algebraic closure of the field of fractions of A. Then the integral closure $A\; +\; \{\backslash displaystyle\; A^\{+\}\}$of A in L is called the absolute integral closureof A. It is unique up to a non-canonical isomorphism. The ring of all algebraic integers is an example (and thus $A\; +\; \{\backslash displaystyle\; A^\{+\}\}$is typically not noetherian.)

• Normal scheme
• Noether normalization lemma
• Algebraic integer
• Splitting of prime ideals in Galois extensions
• Torsor (algebraic geometry)

1. ^The above equation is sometimes called an integral equation and b is said to be integrally dependent on A (as opposed to algebraic dependent.)
2. ^Milne, Theorem 6.4 harvnb error: no target: CITEREFMilne (help )
3. ^Kaplansky, 1.2. Exercise 4.
4. ^Hartshorne 1977, Ch. II, Exercise 5.14
5. ^This proof is due to Dedekind (Milne, ANT). Alternatively, one can use symmetric polynomials to show integral elements form a ring. (loc cit.)
6. ^Chapter 2 of Huneke and Swanson 2006
7. ^Kaplansky 1970, Theorem 42 harvnb error: no target: CITEREFKaplansky1970 (help )
8. ^Bourbaki 2006, Ch 5, §2, Corollary 4 to Theorem 1. harvnb erro r: no target: CITEREFBourbaki2006 (help )
9. ^Matsumura 1970, Ch 2. Theorem 7
10. ^Bourbaki 2006, Ch 5, §1, Proposition 5 harvnb error: no target: CITEREFBourbaki2006 (help )
11. ^Atiyah–MacDonald 1969, Ch 5. Exercise 35 harvnb error: no target: CITEREFAtiyah–MacDonald1969 (help )
12. ^"Section 32.14 (05JW): Universally closed morphisms—The Stacks project". stacks.math.columbia.edu. Retrieved 2020-05-11.
13. ^Stein. Computational Introduction to Algebraic Number Theory (PDF). п. 101.
14. ^An exercise in Atiyah–MacDonald.
15. ^Bourbaki 2006, Ch 5, §1, Proposition 9 harvnb error: no target: CITEREFBourbaki2006 (help )
16. '^Proof: Let $\varphi \; :\; B\; \to \; B\; [\; t\; ]\; \{\backslash displaystyle\; \backslash phi\; :B\backslash to\; B[t]\}$be a ring homomorphism such that $\varphi \; (\; b\; n)\; =\; b\; n\; t\; n\; \{\backslash displaystyle\; \backslash phi\; (b\_\{n\})=b\_\{n\}t^\{n\}\}$if $b\; n\; \{\backslash displaystyle\; b\_\{n\}\}$is homogeneous of degree n. The integral closure of $A\; [\; t\; ]\; \{\backslash displaystyle\; A[t]\}$in $B\; [\; t\; ]\; \{\backslash displaystyle\; B[t]\}$is $A\; \prime \; [\; t\; ]\; \{\backslash displaystyle\; A\text{'}[t]\}$, where $A\; \prime \; \{\backslash displaystyle\; A\text{'}\}$is the integral closure of A in B. If b in B is integral over A, then $\varphi \; (\; b)\; \{\backslash displaystyle\; \backslash phi\; (b)\}$is integral over $A\; [\; t\; ]\; \{\backslash displaystyle\; A[t]\}$; i.e., it is in $A\; \prime \; [\; t\; ]\; \{\backslash displaystyle\; A\text{'}[t]\}$. That is, each coefficient $b\; n\; \{\backslash displaystyle\; b\_\{n\}\}$in the polynomial $\varphi \; (\; b)\; \{\backslash displaystyle\; \backslash phi\; (b)\}$is in A.
17. ^Chapter 12 of Huneke and Swanson 2006
18. ^Swanson 2006, Example 12.2.1 harvnb error: no target: CITEREFSwanson2006 (help )
19. ^Swanson 2006, Exercise 4.9 harvnb error: no target: CITEREFSwanson2006 (help )
20. ^Atiyah–MacDonald 1969, Ch 5. Proposition 5.17 harvnb error: no target: CITEREFAtiyah–MacDonald1969 (help )
21. ^Hartshorne 1977, Ch I. Theorem 3.9 A
22. ^Swanson 2006, Theorem 4.3.4 harvnb error: no target: CITEREFSwanson2006 (help )
23. ^Matsumura 1970, Ch 12
24. ^Chapter 4 of Reid.
25. ^Melvin Hochster, Math 711: Lecture of September 7, 2007

• M. Atiyah, I.G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison–Wesley, 1994. ISBN 0-201-40751-5
• Nicolas Bourbaki, Algèbre commutative, 2006.
• Eisenbud, David, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.
• Kaplansky, Irving (September 1974). Commutative Rings. Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-42454-5.
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
• Matsumura, H (1970), Commutative algebra
• H. Matsumura Commutative ring theory. Translated from the Japanese by M. Reid. Second edition. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8.
• J. S. Milne, "Algebraic number theory." available at http://www.jmilne.org/math/
• Huneke, Craig; Swanson, Irena (2006), Integral closure of ideals, rings, and modules, London Mathematical Society Lecture Note Series, 336, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-68860-4, MR 2266432
• M. Reid, Undergraduate Commutative Algebra, London Mathematical Society, 29, Cambridge University Press, 1995.

• Irena Swanson, Integral closures of ideals and rings
• Do DG-algebras have any sensible notion of integral closure?
• Is $k\; [\; x\; 1,\; \dots ,\; x\; n\; ]\; \{\backslash displaystyle\; k[x\_\{1\},\backslash ldots,x\_\{n\}]\}$always an integral extension of $k\; [\; f\; 1,\; \dots ,\; f\; n\; ]\; \{\backslash displaystyle\; k[f\_\{1\},\backslash ldots,f\_\{n\}]\}$for a regular sequence $(\; f\; 1,\; \dots ,\; f\; n)\; \{\backslash displaystyle\; (f\_\{1\},\backslash ldots,f\_\{n\})\}$?