Алгебраическая независимость

редактировать

Линейная независимость элементов расширения поля, которые также не связаны посредством конечных арифметических операций

В абстрактная алгебра, подмножество $S {\ displaystyle S}$ $S$ поля $L {\ displaystyle L}$ $L$ является алгебраически независимым над подполем $K {\ displaystyle K}$ $K$ , если элементы $S {\ displaystyle S}$ $S$ не удовлетворяют никакому не- тривиальному полиномиальному уравнению с коэффициентами в $K {\ displaystyle K}$ $K$ .

В частности, одноэлементный набор ${α} {\ displaystyle \ {\ alpha \}}$ $\ {\ alpha \}$ алгебраически не зависит от $K {\ displaystyle K}$ $K$ тогда и только тогда, когда $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ является трансцендентным над $K {\ displaystyle K}$ $K$ . В общем, все элементы алгебраически независимого множества $S {\ displaystyle S}$ $S$ на $K {\ displaystyle K}$ $K$ по необходимости трансцендентны по сравнению с $K {\ displaystyle K}$ $K$ и по всем расширениям полей по $K {\ displaystyle K}$ $K$ , созданным оставшимися элементами $S {\ displaystyle S}$ $S$ .

Содержание

1 Пример
2 Алгебраическая независимость известных констант
3 Теорема Линдеманна – Вейерштрасса
4 Алгебраические матроиды
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Пример

Два вещественных числа $π {\ displaystyle {\ sqrt {\ pi}}}$ ${\ sqrt {\ pi}}$ и $2 π + 1 Каждое из {\ displaystyle 2 \ pi +1}$ $2 \ pi + 1$ - трансцендентных чисел : они не являются корнями любого нетривиального многочлена, коэффициенты которого являются рациональными числами. Таким образом, каждый из двух одноэлементных наборов ${π} {\ displaystyle \ {{\ sqrt {\ pi}} \}}$ $\ {\ sqrt {\ pi} \}$ и ${2 π + 1} {\ displaystyle \ {2 \ pi +1 \}}$ $\ {2 \ pi + 1 \}$ алгебраически независимы над полем $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ рациональных чисел.

Однако набор ${π, 2 π + 1} {\ displaystyle \ {{\ sqrt {\ pi}}, 2 \ pi +1 \}}$ $\ {\ sqrt {\ pi}, 2 \ pi + 1 \}$ является не алгебраически независимы от рациональных чисел, потому что нетривиальный многочлен

P (x, y) = 2 x 2 - y + 1 {\ displaystyle P (x, y) = 2x ^ {2} -y + 1}

P (x, y) = 2x ^ 2-y +1

равно нулю, когда $x = π {\ displaystyle x = {\ sqrt {\ pi}}}$ $x=\sqrt{\pi}$ и $y = 2 π + 1 {\ displaystyle y = 2 \ pi + 1}$ $y = 2 \ pi + 1$ .

Алгебраическая независимость известных констант

Хотя и $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ , и e известны как трансцендентные, это неизвестно, является ли их набор алгебраически независимым над $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ . На самом деле, даже неизвестно, является ли $π + e {\ displaystyle \ pi + e}$ $\ pi + e$ иррациональным. Нестеренко в 1996 году доказал, что:

числа $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ , $e π {\ displaystyle e ^ {\ pi}}$ $e ^ {\ pi}$ и Γ (1/4) алгебраически независимы по сравнению с $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ .
числа $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ , $e π 3 {\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {3}}}}$ $e ^ {{\ pi {\ sqrt {3}}}}$ и Γ (1/3) алгебраически независимы по сравнению с $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ .
для всех положительных целых чисел $n {\ displaystyle n}$ $n$ , числа $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ и $e π n {\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {n}}}}$ $e ^ {{\ pi {\ sqrt {n}}}}$ алгебраически независимы над $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ .

Теорема Линдеманна – Вейерштрасса

Теорема Линдеманна – Вейерштрасса часто может использоваться для доказательства того, что некоторые наборы алгебраически независимы по $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ . В нем говорится, что всякий раз, когда $α 1,…, α n {\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}}$ $\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}$ являются алгебраическими числами, линейно независимы над $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ , тогда $e α 1,…, e α n {\ displaystyle e ^ {\ alpha _ {1}}, \ ldots, e ^ {\ alpha _ {n}}}$ $e ^ {{\ alpha _ {1}}}, \ ldots, e ^ {{\ alpha _ {n}}}$ также алгебраически независимы по сравнению с $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ .

Алгебраические матроиды

Учитывая расширение поля $L / K {\ displaystyle L / K}$ $L / K$ , которое не является алгебраическим, лемма Цорна может быть используется, чтобы показать, что всегда существует максимальное алгебраически независимое подмножество $L {\ displaystyle L}$ $L$ над $K {\ displaystyle K}$ $K$ . Кроме того, все максимальные алгебраически независимые подмножества имеют одинаковую мощность, известную как степень трансцендентности расширения.

Для каждого набора $S {\ displaystyle S}$ $S$ элементов $L {\ displaystyle L}$ $L$ алгебраически независимые подмножества $S {\ displaystyle S}$ $S$ удовлетворяют аксиомам, которые определяют независимые наборы матроида . В этом матроиде ранг набора элементов является его степенью трансцендентности, а плоскость, созданная набором $T {\ displaystyle T}$ $T$ элементов, является пересечением $L {\ displaystyle L}$ $L$ с полем $K [T] {\ displaystyle K [T]}$ $K [T]$ . Матроид, который может быть сгенерирован таким образом, называется алгебраическим матроидом . Хорошая характеристика алгебраических матроидов не известна, но известно, что некоторые матроиды не являются алгебраическими; наименьшим из них является матроид Вамоса.

. Многие конечные матроиды могут быть представлены матрицей над полем $K {\ displaystyle K}$ $K$ , в котором элементы матроида соответствуют столбцам матрицы, а набор элементов является независимым, если соответствующий набор столбцов является линейно независимым. Каждый матроид с линейным представлением этого типа также может быть представлен как алгебраический матроид, если выбрать неопределенный для каждой строки матрицы и использовать коэффициенты матрицы в каждом столбце для присвоения каждому элементу матроида линейная комбинация этих трансцендентальных. Обратное неверно: не каждый алгебраический матроид имеет линейное представление.

Ссылки

Внешние ссылки

Чен, Джонни. «Алгебраически независимый». MathWorld.