В математике конструкция группа Гротендика создает абелеву группу из коммутативного моноида M наиболее универсальным способом в том смысле, что любая абелева группа, содержащая гомоморфный образ M, также будет содержать гомоморфный образ группы Гротендика группы M Конструкция группы Гротендика берет свое название от особого случая в теории категорий, введенного Александром Гротендиком в его доказательстве теоремы Гротендика – Римана – Роха, что привело к развитию K-теории. Этот конкретный случай представляет собой моноид классов изоморфизма объектов абелевой категории с прямой суммой в качестве своей операции.
Содержание
- 1 Группа Гротендика коммутативного моноида
- 1.1 Мотивация
- 1.2 Универсальное свойство
- 1.3 Явные конструкции
- 1.4 Свойства
- 1.5 Пример: целые числа
- 1.6 Пример: положительные рациональные числа
- 1.7 Пример: группа Гротендика многообразия
- 1.8 Пример: группа Гротендика кольца
- 2 Группа Гротендика и расширения
- 2.1 Определение
- 2.2 Примеры
- 2.3 Универсальное свойство
- 3 группы Гротендика точных категорий
- 4 группы Гротендика триангулированных категорий
- 5 Дополнительные примеры
- 6 См. Также
- 7 Ссылки
Группа Гротендика коммутативного моноида
Мотивация
Для коммутативного моноида M «наиболее общая» абелева группа K, возникающая из M, должна быть построена путем введения аддитивных обратных. Такая абелева группа K существует всегда; она называется группой Гротендика группы M. Она характеризуется определенным универсальным свойством и также может быть конкретно построена из M.
Обратите внимание, что наличие нулевого элемента в моноиде работает вразрез с обратным свойством, поскольку встроенный нулевой элемент в K должен иметь обратный элемент , сумма которого с 0 должны одновременно быть 0 и 1, в результате чего . Общая конструкция при наличии нулевых элементов всегда создает тривиальную группу как единственную группу, которая удовлетворяет этому уравнению.
Универсальное свойство
Пусть M - коммутативный моноид. Ее группа Гротендика K является абелевой группой со следующим универсальным свойством: существует гомоморфизм моноидов
такой, что для любого гомоморфизма моноидов
от коммутативного моноида M к абелевой группе A, существует единственный гомоморфизм группы
такой, что
Это выражает тот факт, что любая абелева группа A, содержащая гомоморфный образ M, также будет содержать гомоморфный образ K, причем K является «самой общей» абелевой группой, содержащей гомоморфный образ M.
Явные конструкции
Чтобы построить группу Гротендика K коммутативного моноида M, нужно составить декартово произведение . Две координаты предназначены для представления положительной части и отрицательной части, поэтому соответствует в K.
Сложение на определяется по координатам:
- .
Следующий определяет отношение эквивалентности на , такое, что эквивалентно если, для некоторого элемента k из M, m 1 + n 2 + k = m 2 + n 1 + k (элемент k необходимо, потому что закон отмены выполняется не во всех моноидах). класс эквивалентности элемента (m 1, m 2) обозначается [(m 1, m 2)]. Один определяет K как набор классов эквивалентности. Поскольку операция сложения на M × M согласована с нашим отношением эквивалентности, получается сложение на K, и K становится абелевой группой. Идентификационным элементом K является [(0, 0)], а обратным к [(m 1, m 2)] является [(m 2, m 1)]. Гомоморфизм отправляет элемент m в [(m, 0)].
В качестве альтернативы, группа Гротендика K группы M также может быть построена с использованием генераторов и отношений : обозначение свободная абелева группа, порожденная множеством M, группа Гротендика K является частным от подгруппой, порожденной . (Здесь + 'и -' обозначают сложение и вычитание в свободной абелевой группе , а + обозначает сложение в моноиде M.) Это Конструкция имеет то преимущество, что она может быть выполнена для любой полугруппы M и дает группу, которая удовлетворяет соответствующим универсальным свойствам для полугрупп, то есть «наиболее общую и наименьшую группу, содержащую гомоморфный образ M». Это известно как «групповое пополнение полугруппы» или «группа дробей полугруппы».
Свойства
На языке теории категорий любая универсальная конструкция порождает функтор ; таким образом, получается функтор из категории коммутативных моноидов в категорию абелевых групп, который переводит коммутативный моноид M в его группу Гротендика K. Этот функтор сопряжен слева с забывчивый функтор из категории абелевых групп в категорию коммутативных моноидов.
Для коммутативного моноида M отображение i: M → K инъективно тогда и только тогда, когда M имеет свойство сокращения , и оно биективно тогда и только тогда, когда M уже является группой.
Пример: целые числа
Простейшим примером группы Гротендика является построение целых чисел из (сложения) натуральных чисел . Во-первых, можно заметить, что натуральные числа (включая 0) вместе с обычным сложением действительно образуют коммутативный моноид Теперь, когда кто-то использует конструкцию группы Гротендика, он получает формальные различия между натуральными числами как элементы n - m, и у каждого есть отношение эквивалентности
- для некоторого .
Теперь определим
Определяет целые числа . В самом деле, это обычная конструкция для получения целых чисел из натуральных чисел. См. «Конструкция» в разделе «Целые числа » для более подробного объяснения.
Пример: положительные рациональные числа
Аналогично, группа Гротендика мультипликативного коммутативного моноида (начиная с 1) состоит из формальных дробей с эквивалентностью
- для некоторых которые, конечно, можно отождествить с положительными рациональными числами.
Пример: группа Гротендика многообразия
Группа Гротендика является фундаментальной конструкцией K-теории. Группа компактного многообразия M определяется как группа Гротендика коммутативного моноида все классы изоморфизма векторных расслоений конечного ранга на M с операцией моноида, заданной прямой суммой. Это дает контравариантный функтор от многообразий к абелевым группам. Этот функтор изучается и расширяется в топологической K-теории.
Пример: группа Гротендика кольца
Нулевая алгебраическая K-группа (не обязательно коммутативного) кольца R - это группа Гротендика моноида, состоящего из классов изоморфизма конечно порожденных проективных модулей над R, с заданной операцией моноида прямой суммой. Тогда - ковариантный функтор от колец к абелевым группам.
Два предыдущих примера взаимосвязаны: рассмотрим случай, когда - это кольцо комплекснозначных гладких функций на компактном многообразии M. В этом случае проективные R-модули двойственны векторным расслоениям над M (по теореме Серра-Свана ). Таким образом, и - это та же группа.
Группа Гротендика и расширения
Определение
Другая конструкция, носящая название группа Гротендика, следующая: Пусть R - конечномерная алгебра над некоторое поле k или, в более общем смысле, артиново кольцо. Затем определите группу Гротендика как абелеву группу, порожденную множеством классов изоморфизма конечно порожденных R-модулей и следующие отношения: для любого короткая точная последовательность
R-модулей добавляет отношение
Из этого определения следует, что для любых двух конечно порожденных R-модулей M и N из-за разделенной короткой точной последовательности.
Примеры
Пусть K будет поле. Тогда группа Гротендика является абелевой группой, порожденной символами для любого конечномерного K-векторного пространства V. Фактически, изоморфен , генератором которого является элемент . Здесь символ для конечного K-векторного пространства V определяется как , размерность векторного пространства V. Предположим, имеется следующая короткая точная последовательность K-векторных пространств.
Поскольку любая короткая точная последовательность векторных пространств расщепляется, выполняется . Фактически, для любых двух конечномерных векторных пространств V и W имеет место следующее.
Следовательно, указанное выше равенство удовлетворяет условию символа в группе Гротендика.
Обратите внимание, что любые два изоморфных Конечномерное K-векторное пространство имеет такую же размерность. Кроме того, любые два конечномерных K-векторных пространства V и W одинаковой размерности изоморфны друг другу. Фактически, каждое конечное n-мерное K-векторное пространство V изоморфно . Таким образом, наблюдение из предыдущего абзаца доказывает следующее уравнение.
Следовательно, каждый символ генерируется элементом с целыми коэффициентами, что означает, что изоморфен с генератором .
В общем, пусть будет набором целых чисел. Группа Гротендика - это абелева группа, порожденная символами для любой конечно порожденной абелевой группы A. Сначала отметим, что любая конечная абелева группа G удовлетворяет тому, что . Имеет место следующая короткая точная последовательность, где отображение - это умножение на n.
Точная последовательность подразумевает, что , поэтому каждая циклическая группа имеет свой символ, равный 0. Это, в свою очередь, означает, что каждая конечная абелева группа G удовлетворяет по основной теореме конечных абелевых групп.
Заметим, что по основной теореме конечно порожденных абелевых групп каждая абелева группа A изоморфна прямой сумме подгруппы кручения и абелевой группы без кручения, изоморфной для некоторого неотрицательного целого числа r, называемого rank числа A и обозначаемого . Определите символ как . Тогда группа Гротендика изоморфна с генератором Действительно, наблюдение, сделанное из предыдущего абзаца, показывает, что каждая абелева группа A имеет свой символ то же, что и символ где . Кроме того, ранг абелевой группы удовлетворяет условиям символа группы Гротендика. Предположим, имеется следующая короткая точная последовательность абелевых групп.
Затем тензор с рациональными числами подразумевает следующее уравнение.
Поскольку приведенное выше является короткой точной последовательностью -векторные пробелы, последовательность разбивается. Следовательно, есть следующее уравнение.
С другой стороны, существует также следующее соотношение. Для получения дополнительной информации см. Ранг абелевой группы.
Следовательно, выполняется следующее уравнение.
Следовательно, было показано, что изоморфен с генератором
Универсальное свойство
Группа Гротендика удовлетворяет универсальному свойству. Можно сделать предварительное определение: функция из набора классов изоморфизма в абелеву группу является называется аддитивным, если для каждой точной последовательности имеется Тогда для любого аддитивная функция , существует уникальный групповой гомоморфизм так, что множится на и карту, которая переводит каждый объект из в элемент, представляющий его класс изоморфизма в Конкретно это означает, что удовлетворяет уравнению для каждого конечно сгенерированного -модуля и - единственный гомоморфизм группы, который делает это.
Примерами аддитивных функций являются символьная функция из теории представления : если является конечным размерная -алгебра, тогда можно связать символ на каждый конечномерный -модуль определяется как след -линейной карты, полученной умножением на элемент on .
Выбрав подходящий базис и записав соответствующие матрицы в блочно-треугольной форме, легко увидеть этот символ функции аддитивны в указанном выше смысле. По универсальному свойству это дает нам «универсальный характер» такой, что .
Если и - это групповое кольцо из конечной группы то эта карта символов даже дает естественный изоморфизм и кольцо символов . В теории модульного представления конечных групп может быть полем алгебраическое замыкание конечного поля с p элементами. В этом случае аналогично определенная карта, которая ассоциирует с каждым -модулем его символ Брауэра, также является естественным изоморфизмом на кольцо персонажей Брауэра. Таким образом, группы Гротендика проявляются в теории представлений.
Это универсальное свойство также делает «универсальным приемником» обобщенных характеристик Эйлера. В частности, для каждого ограниченного комплекса объектов в
один имеет канонический элемент
Фактически группа Гротендика была первоначально введена для изучения характеристик Эйлера.
Группы Гротендика точных категорий
Общее обобщение этих двух концепций дает группа Гротендика точной категории . Проще говоря, точная категория - это аддитивная категория вместе с классом выделенных коротких последовательностей A → B → C. Выделенные последовательности называются «точными последовательностями», отсюда и название. Точные аксиомы для этого выделенного класса не имеют значения для построения группы Гротендика.
Группа Гротендика определяется так же, как и раньше, как абелева группа с одним образующим [M] для каждого (класса изоморфизма) объекта (ов) категории и одно отношение